Используя только один честный шестигранный кубик и один честный пятигранный кубик, попробуем эмулировать честный $n$-гранный кубик.

Например, один из способов эмулировать 28-гранный кубик описывается следующей процедурой:

1. Бросить оба кубика, что даст два целых числа $1\le p\le 6$ и $1\le q\le 5$.
2. Скомбинировать эти два числа в $r = 5(p-1) + q$, что даст целое число $1\le r\le 30$.
3. Если $r\le 28$, вернуть значение $r$ и остановиться.
4. В противном случае (если $r$ равно 29 или 30), снова бросить оба кубика, что даст два целых числа $1\le s\le 6$ и $1\le t\le 5$.
5. Вычислить $u = 30(r-29) + 5(s-1) + t$, что даст целое число $1\le u\le 60$.
6. Если $u>4$, вернуть значение $((u-5)\bmod 28) + 1$ и остановиться.
7. >В противном случае (если $1\le u\le 4$), бросить шестигранный кубик дважды, что даст два целых числа $1\le v\le 6$ и $1\le w\le 6$.
8. Вычислить $x = 36(u-1) + 6(v-1) + w$, что даст целое число $1\le x\le 144$.
9. Если $x>4$, вернуть значение $((x-5)\bmod 28) + 1$ и остановиться.
10. В противном случае (если $1\le x\le 4$), присвоить значение $u:=x$ и вернуться к шагу 7.

Ожидаемое число бросков в этой процедуре равно 2.142476 (округленное до шестого знака после десятичной точки). Заметим, что бросок обоих кубиков одновременно считается за два броска.

Существуют и более сложные процедуры для эмулирования 28-гранного кубика, которые приводят к меньшему среднему количеству бросков. Однако приведенная выше процедура привлекательна тем, что последовательность бросаемых кубиков предопределена: независимо от исхода она следует (D5,D6,D5,D6,D6,D6,D6,...) и прерывается по завершении процесса. Более того, среди всех процедур для $n=28$ с данным ограничением эта процедура оптимальна с точки зрения минимизации ожидаемого количества необходимых бросков.

Различные значения $n$ чаще всего будут использовать различные предопределенные последовательности. Например, для $n=8$ последовательность (D5,D5,D5,...) приведет к оптимальной процедуре, которая в среднем потребует 2.083333... бросков кубиков.

Определим $R(n)$ как ожидаемое количество бросков кубиков для оптимальной процедуры при эмуляции $n$-гранного кубика, используя только пятигранный и шестигранный кубик с учетом только тех процедур, в которых последовательность бросаемых кубиков предопределена. Таким образом, $R(8) \approx 2.083333$ и $R(28) \approx 2.142476$.

Пусть $S(n) = \displaystyle\sum_{k=2}^n R(k)$. Известно, что $S(30) \approx 56.054622$.

Найдите $S(1000)$. Приведите ваш ответ округленным до 6 знака после десятичной точки.