Вернемся к функции бланманже из задачи №226: $T(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty\dfrac{s(2^nx)}{2^n}$, где $s(x)$ - расстояние от $x$ до ближайшего целого числа.

Для положительных целых чисел $k, t, r$ запишем $$F(k, t, r) = (2^{2k} - 1)T\left(\frac{(2^t + 1)^r}{2^k + 1}\right).$$ Можно показать что $F(k, t, r)$ всегда будет целым числом.
Например, $F(3, 1, 1) = 42$, $F(13, 3, 3) = 23093880$ и $F(103, 13, 6) \equiv 878922518\pmod {1\,000\,062\,031}$.

Найдите $F(10^{18} + 31, 10^{14} + 31, 62)$. В качестве ответа приведите остаток от деления полученного числа на $1\,000\,062\,031$.