Двое играют в следующую игру: в начале каждый игрок втайне загадывает целое число - первый игрок из $1,...,n$, а второй из $1,...,m$. Затем они по очереди ходят начиная с первого игрока. Тот, чей сейчас ход, предъявляет множество чисел, а его соперник сообщает, содержит ли это множество загаданное им число. Игрок, первым правильно отгадавший множество из одного единственного числа, побеждает и заканчивает игру.

Пусть $p(m,n)$ будет вероятностью победы первого игрока, если оба игрока следуют оптимальной стратегии. Например $p(1, n) = 1$ и $p(m, 1) = 1/m$.

Также известно, что $p(7,5) \approx 0.51428571$.

Найдите $\displaystyle \sum_{i=0}^{20}\sum_{j=0}^{20} p(7^i, 5^j)$ и дайте ваш ответ округленным до 8 знака после десятичной точки.