На круговой трассе обшей длиной в $2n$ на расстоянии $n$ друг от друга находятся две машины, расположенные в одном направлении.
Машины двигаются по очереди. В свою очередь машина с одинаковыми вероятностями проезжает вперед на расстояние $1$, $2$ или $3$.
Погоня заканчивается, когда движущаяся машина догоняет или перегоняет другую машину. Движущаяся машина считается победившей.

Пусть $S(n)$ будет разницей между вероятностями победы каждой из машин.
Например, при $n = 2$ вероятности победы каждой из машин равны $\frac 9 {11}$ и $\frac 2 {11}$. Таким образом, $S(2) = \frac 7 {11}$.

Пусть $\displaystyle T(N) = \sum_{n = 2}^N S(n)$.

Известно, что округленное до 8 знака после десятичной точки $T(10) = 2.38235282$.

Найдите $T(10^{14})$. Дайте ваш ответ округленным до 8 знака после десятичной точки.