Для данного кортежа из чисел длины $n$ создается другой кортеж длины $n$, каждый элемент которого выбран случайным образом из чисел предыдущего кортежа. Например, при исходном кортеже $(2,2,3)$ вероятность того, что $2$ окажется на первой позиции следующего кортежа длины 3 равна $2/3$. Вероятность получить все двойки будет равна $8/27$, а вероятность получить три числа исходного кортежа (в любом порядке) будет равна $4/9$.

Пусть $E(n)$ будет ожидаемым количеством шагов, начиная с кортежа $(1,2,\ldots,n)$ и заканчивая кортежем, в котором все числа одинаковы.

Известно, что $E(3) = 27/7$ и $E(5) = 468125/60701 \approx 7.711982$ округленное до 6 знака после десятичной точки.

Найдите $E(10^3)$. Дайте ваш ответ округленным до 6 знака после десятичной точки.