Пусть $\Bbb R^2$ будет множеством пар вещественных чисел $(x, y)$. Пусть $\pi = 3.14159\cdots\ $.

Рассмотрим функцию $f$ из $\Bbb R^2$ в $\Bbb R^2$, определенную как $f(x, y) = (x^2 - x - y^2, 2xy - y + \pi)$, и ее $n$-ую итеративную композицию $f^{(n)}(x, y) = f(f(\cdots f(x, y)\cdots))$. Например $f^{(3)}(x, y) = f(f(f(x, y)))$. Считается, что пара $(x, y)$ имеет период $n$, если $n$ - наименьшее целое положительное число, такое что $f^{(n)}(x, y) = (x, y)$.

Пусть $P(n)$ обозначает сумму $x$ координат всех точек, чей период не превышает $n$. Любопытно, что $P(n)$ - всегда целое число. Например, $P(1) = 2$, $P(2) = 2$, $P(3) = 4$.

Найдите $P(10^7)$ и приведите в качестве ответа остаток от деления полученного результата на $1\,020\,340\,567$.