При возведении $(1+\sqrt 7)$ в целочисленную степень $n$ мы всегда получим число вида $(a+b\sqrt 7)$.
Запишем $(1+\sqrt 7)^n = \alpha(n) + \beta(n)\sqrt 7$.

Для данного числа $x$ определим $g(x)$ как наименьшее натуральное чило $n$, такое что: $$\begin{align} \alpha(n) &\equiv 1 \pmod x\qquad \text{и }\\ \beta(n) &\equiv 0 \pmod x\end{align} $$ и $g(x) = 0$, если такого значения $n$ не существует. Например, $g(3) = 0$, $g(5) = 12$.

Далее определим $$ G(N) = \sum_{x=2}^{\strut N} g(x)$$ Известно, что $G(10^2) = 28891$ и $G(10^3) = 13131583$.

Найдите $G(10^6)$.