Треугольник Пифагора с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ описывается широко известным равенством $a^2+b^2=c^2$. Однако, его можно сформулировать иначе:
Вписанный в окружность радиусом $r$ треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$ является пифагоровым тогда и только тогда, если $a^2+b^2+c^2=8\, r^2$.

Аналогично этому назовем четырехугольник $ABCD$ со сторонами $a$, $b$, $c$ и $d$, вписанный в окружность радиусом $r$, пифагоровым четырехугольником, если $a^2+b^2+c^2+d^2=8\, r^2$.
Далее назовем пифагоров четырехугольник пифагоровым четырехугольником на сетке, если все его четыре вершины являются точками на координатной сетке, расположенными на одинаковом расстоянии $r$ от начала координат $O$ (также являющегося центром описанной окружности).

Пусть $f(r)$ будет количеством различных пифагоровых четырехугольников на сетке, для которых радиус описанной окружности равен $r$. Например, $f(1)=1$, $f(\sqrt 2)=1$, $f(\sqrt 5)=38$ и $f(5)=167$.
Два пифагоровых четырехугольника на сетке с $r=\sqrt 5$ изображены ниже:

Пусть $\displaystyle S(n)=\sum_{d \vert n} f(\sqrt d)$. Например, $S(325)=S(5^2 \cdot 13)=f(1)+f(\sqrt 5)+f(5)+f(\sqrt {13})+f(\sqrt{65})+f(5\sqrt{13})=2370$ и $S(1105)=S(5\cdot 13 \cdot 17)=5535$.

Найдите $S(1411033124176203125)=S(5^6 \cdot 13^3 \cdot 17^2 \cdot 29 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 53 \cdot 61)$.