Определим 123-числа следующим образом:

• 1 - наименьшее 123-число.
• В записи числа в основании 10 могут присутствовать только цифры "1", "2" и "3". Количество раз, которое каждая присутствующая цифра встречается в записи числа, тоже должно быть 123-числом.

Так 2 является 123-числом, потому что состоит из одной цифры "2" и 1 является 123-числом. Также 33 является 123-числом, потому что состоит из двух цифр "3" и 2 является 123-числом.
В то же время, 1111 не является 123-числом, потому что состоит из четырех цифр "1", а 4 не является 123-числом.

Вот первые несколько 123-чисел в возрастающем порядке:
$1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, \ldots$

Пусть $F(n)$ будет $n$-тым 123-числом. Например, $F(4)=11$, $F(10)=31$, $F(40)=1112$, $F(1000)=1223321$ и $F(6000)= 2333333333323$.

Найдите $F(111\,111\,111\,111\,222\,333)$. В качестве ответа приведите остаток от деления полученного результата на $123\,123\,123$.