Мы складываем $n$ тарелок в $k$ непустых стопок так, что все стопки имеют разный размер. Определим $f(n,k)$ как наибольшее возможное количество тарелок в самой маленькой стопке. Например, когда $n = 10$ и $k = 3$, стопки размеров $2,3,5$ являются самым лучшим решением, и таким образом $f(10,3) = 2$. 10 тарелок невозможно разделить на 5 непустых стопок различных размеров, поэтому $f(10,5) = 0$.

Определим $F(n)$ как сумму $f(n,k)$ для всех возможных количеств стопок $k\ge 1$. Например, $F(100) = 275$.

Далее определим $S(N) = \displaystyle\sum_{n=1}^N F(n)$. Известно, что $S(100) = 12656$.

Найдите $S(10^{16})$. В качестве ответа приведите остаток от деления полученного результата на $1\,000\,000\,007$.