Если тройка натуральных чисел $(a, b, c)$ удовлетворяет $a^2+b^2=c^2$, ее называют Пифагоровой тройкой. Ни одна тройка $(a, b, c)$ н $е удовлетворяет a^e+b^e=c^e$, когда $e \ge 3$ (последняя теорема Ферма). Однако, если экспоненты левой и правой стороны отличаются, это неправда. Например, $3^3+6^3=3^5$.

Пусть $a, b, c, e, f$ будут натуральными числами, $0 \lt a \lt b$, $e \ge 2$, $f \ge 3$ и $c^f \le N$. Пусть $F(N)$ будет количеством $(a, b, c, e, f)$, таких что $a^e+b^e=c^f$. Известно, что $F(10^3) = 7$, $F(10^5) = 53$ и $F(10^7) = 287$.

Найдите $F(10^{18})$.