Определим оператор $\mathcal{I}$ как функцию \[\mathcal{I}(x,y) = (1+x+y)^2+y-x\] и $\mathcal{I}$-выражения как арифметические выражения, составленные только из имен переменных и применения оператора $\mathcal{I}$. Имя переменной может состоять из одной или нескольких букв. Например, все три выражения $x$, $\mathcal{I}(x,y)$ и $\mathcal{I}(\mathcal{I}(x,ab),x)$ являются $\mathcal{I}$-выражениями.

Для двух $\mathcal{I}$-выражений $e_1$ и $e_2$, таких что уравнение $e_1=e_2$ имеет решение среди неотрицательных целых чисел, определим наименьшее одновременное значение $e_1$ и $e_2$ как минимальное значение, принимаемое $e_1$ и $e_2$ в таком решении. Если уравнение $e_1=e_2$ не имеет решения среди неотрицательных целых чисел, определим наименьшее одновременное значение $e_1$ и $e_2$ как равное $0$. Например, рассмотрим следующие три $\mathcal{I}$-выражения: \[\begin{array}{l}A = \mathcal{I}(x,\mathcal{I}(z,t))\\ B = \mathcal{I}(\mathcal{I}(y,z),y)\\ C = \mathcal{I}(\mathcal{I}(x,z),y)\end{array}\] Наименьшее одновременное значение $A$ и $B$ равно $23$, что соответствует $x=3,y=1,z=t=0$. С другой стороны, $A=C$ не имеет решения среди неотрицательных целых чисел, поэтому наименьшее одновременное значение $A$ и $C$ равно $0$. Общая сумма наименьших одновременных пар, образованных $\mathcal{I}$-выражениями из $\{A,B,C\}$ равна $26$.

Найдите сумму наименьших одновременных значений всех пар $\mathcal{I}$-выражений, образованных различными выражениями из файла I-expressions.txt (пары $(e_1,e_2)$ и $(e_2,e_1)$ считаются идентичными). В качестве ответа приведите последние девять цифр полученного числа.