Любой квадратный корень является периодическим, если записать его в виде непрерывных дробей в следующей форме:
| √N = a0 + | 1 |
||
| a1 + | 1 |
||
| a2 + | 1 |
||
| a3 + ... | |||
К примеру, рассмотрим √23:
| √23 = 4 + √23 — 4 = 4 + | 1 |
= 4 + | 1 |
|
1 √23—4 |
1 + | √23 – 3 7 |
||
Продолжив это преобразование, мы получим следующее приближение:
| √23 = 4 + | 1 |
|||
| 1 + | 1 |
|||
| 3 + | 1 |
|||
| 1 + | 1 |
|||
| 8 + ... | ||||
Этот процесс можно обобщить в следующем виде:
| a0 = 4, | 1 √23—4 |
= | √23+4 7 |
= 1 + | √23—3 7 |
|
| a1 = 1, | 7 √23—3 |
= | 7(√23+3) 14 |
= 3 + | √23—3 2 |
|
| a2 = 3, | 2 √23—3 |
= | 2(√23+3) 14 |
= 1 + | √23—4 7 |
|
| a3 = 1, | 7 √23—4 |
= | 7(√23+4) 7 |
= 8 + | √23—4 | |
| a4 = 8, | 1 √23—4 |
= | √23+4 7 |
= 1 + | √23—3 7 |
|
| a5 = 1, | 7 √23—3 |
= | 7(√23+3) 14 |
= 3 + | √23—3 2 |
|
| a6 = 3, | 2 √23—3 |
= | 2(√23+3) 14 |
= 1 + | √23—4 7 |
|
| a7 = 1, | 7 √23—4 |
= | 7(√23+4) 7 |
= 8 + | √23—4 |
Нетрудно заметить, что последовательность является периодической. Для краткости введем обозначение √23 = [4;(1,3,1,8)], чтобы показать что блок (1,3,1,8) бесконечно повторяется.
Первые десять представлений непрерывных дробей (иррациональных) квадратных корней:
√2=[1;(2)], период = 1
√3=[1;(1,2)], период = 2
√5=[2;(4)], период = 1
√6=[2;(2,4)], период = 2
√7=[2;(1,1,1,4)], период = 4
√8=[2;(1,4)], период = 2
√10=[3;(6)], период = 1
√11=[3;(3,6)], период = 2
√12= [3;(2,6)], период = 2
√13=[3;(1,1,1,1,6)], период = 5
Период является нечетным у ровно четырех непрерывных дробей при N ≤ 13.
У скольких непрерывных дробей период является нечетным при N ≤ 10000?