Равносторонний треугольник с целочисленной длиной стороны $n \ge 3$ разделен на $n^2$ равносторонних треугольников с длиной стороны 1, как показано на изображении ниже.
Вершины этих треугольников образуют треугольную сетку с $\frac{(n+1)(n+2)} 2$ узлами.

Пусть $H(n)$ будет количеством всех правильных шестиугольников, которые можно образовать, соединив соответствующим образом 6 таких точек.

Подпись: "Случай для n=3 с одним возможным шестиугольником."

Например, $H(3)=1$, $H(6)=12$ и $H(20)=966$.

Найдите $\displaystyle \sum_{n=3}^{12345} H(n)$.