Пусть r будет вещетсвенным корнем уравнения x³ = x² + 1.
Каждое натуральное число может быть записано как сумма различных увеличивающихся степеней числа r.
Если мы потребуем, чтобы количество членов было конечно и разница между любыми двумя показателями степени была не меньше трех, тогда такое представление будет уникальным.
Например, 3 = r ^-10 + r ^-5 + r ^-1 + r ² и 10 = r ^-10 + r ^-7 + r ⁶.
Любопытно, что это соотношение сохраняется и для комплексных корней уравнения.

Пусть w(n) будет количеством членов в таком уникальном представлении числа n. Таким образом, w(3) = 4 и w(10) = 3.

Более строго говоря, для всех натуральных чисел n мы имеем:
n = $\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty}$ b_k r^k
при следующих условиях:
b_k равно 0 или 1 для всех k;
b_k + b_k+1 + b_k+2 ≤ 1 для всех k;
w(n) = $\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty}$ b_k конечно.

Пусть S(m) = $\displaystyle \sum_{j=1}^{m}$ w(j²).
Известно, что S(10) = 61 и S(1000) = 19403.

Найдите S(5 000 000).