Предположив, что две точки выбраны случайным образом (с равномерным распределением) внутри прямоугольника, возможно определить ожидаемое значение расстояния между этими двумя точками.

Например, ожидаемое расстояние между двумя случайными точками в единичном квадрате примерно равно 0.521405, в то время как ожидаемое расстояние между двумя случайными точками в прямоугольнике с длинами сторон 2 и 3 примерно равно 1.317067.

Теперь определим полую квадратную пластинку размером n как квадрат с целочисленной длиной стороны, равной n ≥ 3, состоящий из n² единичных квадратов, из которого удален прямоугольник, состоящий из x × y единичных квадратов (1 ≤ x,y ≤ n - 2) и лежащий внутри изначального квадрата.

Для n = 3 существует всего одна полая квадратная пластинка:

Для n = 4 можно найти 9 различных полых квадратных пластинок, среди которых некоторые являются зеркальным отражением других:

Пусть S(n) будет суммой ожидаемых расстояний между двумя случайными точками в каждой возможной полой квадратноq пластинке размера n. Эти две точки должны лежать на площади, оставшейся после удаления внутреннего прямоугольника, т.е. в закрашенных серым областях на рисунках выше.

Например, S(3) = 1.6514 и S(4) = 19.6564, округленные до четвертого знака после десятичной точки.

Найдите значение S(40), округленное до четвертого знака после десятичной точки.