Два игрока играют с одной кучкой камней начального размера $n$. Они по очереди берут камни из кучки в соответствии со следующими правилами, зависящими от заданного вещественного числа $r > 0$:

• В первый ход первый игрок может взять $k$ камней, где $1 \le k \lt n$.
• Если один игрок взял $m$ камней за ход, то на следующий ход его противник может взять $k$ камней, где $1 \le k \le \lfloor r \cdot m \rfloor$.

Тот, кто больше не может сделать разрешенный ход, проигрывает игру.

Пусть $L(r)$ будет множеством начальных размеров кучки $n$, при которых у второго игрока есть выигрышная стратегия. Например, $L(0.5) = \{1\}$, $L(1) = \{1, 2, 4, 8, 16, \dots\}$, $L(2) = \{1, 2, 3, 5, 8, \dots\}$.

Вещественное число $q \gt 0$ является переходным значением, если $L(s)$ отличается от $L(t)$ для всех $s < q < t$.
Пусть $T(i)$ будет $i$-м переходным значением. Например, $T(1) = 1$, $T(2) = 2$, $T(22) \approx 6.3043478261$.

Найдите $T(123456)$ и дайте ваш ответ округленным до $10$ цифр после десятичной точки.