В этой игре используется коробка, содержащая $N$ нечестных монет и $N$ честных монет. Честные монеты имеют 50% вероятность выпадения решки, в то время как нечестные - 75%.

Игрок начинает с 0 очков, который во время игры может стать отрицательным.

В каждом раунде игрок берет случайную монету из коробки и пытается угадать ее тип - честная или нечестная. Перед этим он может подбросить монету произвольное количество раз. Однако каждый бросок уменьшает счет очков на 1. Игрок может в любой момент решить прекратить подбрасывать монету и попытаться угадать ее тип. Если догадка оказывается верной, игрок получает 20 очков, в противном случае он теряет 50 очков. Затем игроку сообщается тип монеты и она выходит из игры.

После $2N$ ранудов в коробке ничего не остается и игра заканчивается. Пусть $S(N)$ будет ожидаемым числом очков игрока в конце игры, предполагая, что игрок следует оптимальной стратегии для достижения максимального ожидаемого числа очков.

Известно, что $S(1) = 20.558591$, , округленное до шестого знака после десятичной точки.

Найдите $S(50)$. Дайте ваш ответ округленным до шестого знака после десятичной точки.