Квадратные корни с нечетным периодом

Задача 64

Предыдущая
Оригинал
Следующая

Любой квадратный корень является периодическим, если записать его в виде непрерывных дробей в следующей форме:

√N = a0 +
1
  a1 +
1
    a2 +
1
      a3 + ...

К примеру, рассмотрим √23:

√23 = 4 + √23 — 4 = 4 + 
1
  = 4 + 
1
 
1
√23—4
   1 + 
√23 – 3
7

Продолжив это преобразование, мы получим следующее приближение:

√23 = 4 +
1
  1 +
1
    3 +
1
      1 +
1
        8 + ...

Этот процесс можно обобщить в следующем виде:

a0 = 4,  
1
√23—4
  = 
√23+4
7
  = 1 + 
√23—3
7
a1 = 1,  
7
√23—3
  = 
7(√23+3)
14
  = 3 + 
√23—3
2
a2 = 3,  
2
√23—3
  = 
2(√23+3)
14
  = 1 + 
√23—4
7
a3 = 1,  
7
√23—4
  = 
7(√23+4)
7
  = 8 +  √23—4
a4 = 8,  
1
√23—4
  = 
√23+4
7
  = 1 + 
√23—3
7
a5 = 1,  
7
√23—3
  = 
7(√23+3)
14
  = 3 + 
√23—3
2
a6 = 3,  
2
√23—3
  = 
2(√23+3)
14
  = 1 + 
√23—4
7
a7 = 1,  
7
√23—4
  = 
7(√23+4)
7
  = 8 +  √23—4

Нетрудно заметить, что последовательность является периодической. Для краткости введем обозначение √23 = [4;(1,3,1,8)], чтобы показать что блок (1,3,1,8) бесконечно повторяется.

Первые десять представлений непрерывных дробей (иррациональных) квадратных корней:

√2=[1;(2)], период = 1
√3=[1;(1,2)], период = 2
√5=[2;(4)], период = 1
√6=[2;(2,4)], период = 2
√7=[2;(1,1,1,4)], период = 4
√8=[2;(1,4)], период = 2
√10=[3;(6)], период = 1
√11=[3;(3,6)], период = 2
√12= [3;(2,6)], период = 2
√13=[3;(1,1,1,1,6)], период = 5

Период является нечетным у ровно четырех непрерывных дробей при N ≤ 13.

У скольких непрерывных дробей период является нечетным при N ≤ 10000?