Задача 744
Что? Где? Когда?

"Что? Где? Когда?" - это телевизионное шоу, в котором команда экспертов пытается отвечать на вопросы. Ниже описана упрощенная версия игры.

Она начинается с $2n+1$ конвертов. Из них $2n$ конвертов содержат вопросы, а в одном лежит Красная карточка.

В каждом раунде случайно выбирается один из оставшихся конвертов. Если в конверте оказывается Красная карточка, игра заканчивается. Если же в конверте находится вопрос, эксперт на него отвечает. Если ответ правильный, эксперт получает очко, в противном случае очкол получают зрители. Игра как правило заканчивается, когда или специалист, или зрители достигают $n$ очков.

Предположим, что эксперт дает правильный ответ с фиксированной вероятностью $p$. Пусть $f(n,p)$ будет вероятностью, что игра закончится обычным образом (т.е. Красная карточка не будет открыта).

Известно, что, округленные до 10 знака после десятичной точки,
$f(6,\frac{1}{2})=0.2851562500$,
$f(10,\frac{3}{7})=0.2330040743$,
$f(10^4,0.3)=0.2857499982$.

Найдите $f(10^{11},0.4999)$ и дайте ваш ответ округленным до 10 знака после десятичной точки.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net