Для неотрицательного целого числа $k$ тройка натуральных чисел $(p,q,r)$ называется $k$-смещенной пифагоровой тройкой, если $$p^2 + q^2 + k = r^2$$

$(p, q, r)$ называется примитивной, если $\gcd(p, q, r)=1$.

Пусть $P_k(n)$ будет количеством примитивных k-смещенных пифагоровых троек таких что $1 \le p \le q \le r$ и $p + q + r \le n$.
Например, $P_0(10^4) = 703$ и $P_{20}(10^4) = 1979$.

Определим $$\displaystyle S(m,n)=\sum_{k=0}^{m}P_k(n)$$ Известно, что $S(10,10^4) = 10956$.

Найдите $S(10^2,10^8)$