Определим $g(n, m)$ как наибольшее целое число $k$, такое что $2^k$ делит нацело $\binom{n}m$. Например, $\binom{12}5 = 792 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$, отсюда $g(12, 5) = 3$. Теперь определим $F(n) = \max \{ g(n, m) : 0 \le m \le n \}$. $F(10) = 3$ и $F(100) = 6$.

Пусть $S(N)$ = $\displaystyle\sum_{n=1}^N{F(n)}$. Известно, что $S(100) = 389$ и $S(10^7) = 203222840$.

Найдите $S(10^{16})$.