Задача 65
Приближения e

Квадратный корень из 2 можно записать в виде бесконечной непрерывной дроби.

√2 = 1 +
1
  2 +
1
    2 +
1
      2 +
1
        2 + ...

Бесконечную непрерывную дробь можно записать, воспользовавшись обозначением √2 = [1;(2)], где (2) указывает на то, что 2 повторяется до бесконечности. Подобным образом, √23 = [4;(1,3,1,8)].

Оказывается, что последовательность частичных значений непрерывных дробей предоставляет наилучшую рациональную аппроксимацию квадратного корня. Рассмотрим приближения √2.

1 +
1
= 3/2
 
2
 
1 +
1
= 7/5
  2 +
1
   
2
 
1 +
1
= 17/12
  2 +
1
 
    2 +
1
 
     
2
 
1 +
1
= 41/29
  2 +
1
    2 +
1
 
      2 +
1
 
       
2
 

Таким образом, последовательность первых десяти приближений для √2 имеет вид:

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ...

Самое удивительное, что важная математическая константа
e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...].

Первые десять членов последовательности приближений для e перечислены ниже:

2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536, ...

Сумма цифр числителя 10-го приближения равна 1+4+5+7=17.

Найдите сумму цифр числителя 100-го приближения непрерывной дроби для e.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net