Задача 624
Одна решка - хорошо, а две - лучше

Честную монету повторно подбрасывают, пока не выпадут две последовательные решки. Положим, что это происходит на $(M-1)$-ый м $M$-ый бросок.
Пусть $P(n)$ будет вероятностью, что $M$ делится на $n$. Например, результаты РР, РОРР и ОРООРР все считаются в $P(2)$, однако, ОРР и РООРР - нет.

Известно, что $P(2) =\frac 3 5$ и $P(3)=\frac 9 {31}$. Действительно, можно показать, что $P(n)$ всегда рациональное число.

Для простого числа $p$ и несократимой дроби $\frac a b$ определим $Q(\frac a b,p)$ как наименьшое положительное $q$, для которого $a \equiv b q \pmod{p}$.
Например $Q(P(2), 109) = Q(\frac 3 5, 109) = 66$, потому что $5 \cdot 66 = 330 \equiv 3 \pmod{109}$ и 66 - наименьшее такое положительное число.
Похожим образом, $Q(P(3),109) = 46$.

Найдите $Q(P(10^{18}),1\,000\,000\,009)$.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net