Задача 566
Загадка глазури на торте

Адам играет в следующую игру с тортом со своего дня рождения:

Он отрезает кусок, образующий сектор круга в 60 градусов, и переворачивает кусок вверх ногами так, что глазурь остается снизу.
Потом он поворачивает торт на 60 градусов против часовой стрелки, отрезает прилегающий 60-градусный кусок и переворачивает его.
Он продолжает этот процесс, пока, наконец, после двенадцати шагов, вся глазурь снова не окажется сверху.

Удивительно, но это работает с любым выбранным размером куска, даже если угол отреза иррационален: вся глазурь снова окажется сверху после конечного количества шагов.

Теперь Адам пробует что-то новое: он поочередно отрезает куски размерами $x=\frac{360}{9}$ градусов, $y=\frac{360}{10}$ градусов и $z=\frac{360 }{\sqrt{11}}$ градусов. Превым он отрезает кусок размером x и переворачивает его. Вторым он отрезает кусок размером y и переворачивает его. Третьим он отрезает кусок размером z и переворачивает его. Он повторяет этот процесс с кусками размером x, y и z в таком порядке до тех пор, пока вся глазурь снова не окажется сверху, и обнаруживает, что для этого ему необходимо всего 60 переворотов.

p566-cakeicingpuzzle.gif

Пусть F(a, b, c) будет минимальным количеством переворотов кусков, необходимым для того, чтобы вся глазурь снова оказалась сверху, для кусков размерами $x=\frac{360}{a}$ градусов, $y=\frac{360}{b}$ градусов и $z=\frac{360}{\sqrt{c}}$ градусов.
Пусть $G(n) = \sum_{9 \le a < b < c \le n} F(a,b,c)$ для целых a, b и c.

Вам дано, что F(9, 10, 11) = 60, F(10, 14, 16) = 506, F(15, 16, 17) = 785232.
Вам также дано, что G(11) = 60, G(14) = 58020 и G(17) = 1269260.

Найдите G(53).

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net