Задача 564
Максимальные многоугольники

Отрезок длиной $2n-3$ случайным образом разделен на $n$ отрезков с целочисленными длинами ($n \ge 3$). Последовательность длин отрезков, образованных этим разделением, далее используются в качестве длин последовательных сторон выпуклого $n$-угольника, образованного таким образом, чтобы его площадь была максимальной. Все $\binom{2n-4} {n-1}$ способов разделить исходный отрезок имеют одинаковую вероятность.

Пусть $E(n)$ будет ожидаемым значением площади, полученной описанным выше способом.
Например, для $n=3$ единственно возможное разделение отрезка длиной $3$ дает три отрезка длиной $1$, которые образуют равносторонний треугольник с площадью $\frac 1 4 \sqrt{3}$. Поэтому, $E(3)=0.433013$, округленное до $6$ знаков после десятичной точки.
Для $n=4$ возможно найти $4$ различных целочисленных разделения, каждое из которых состоит из трех отрезков длиной $1$ и одного отрезка длиной $2$. Все эти разделения дают один и тот же макисмальный четырехугольник с площадью \frac 3 4 \sqrt{3}$, таким образом, $E(4)=1.299038$, округленное до $6$ знаков после десятичной точки.

Пусть $S(k)=\displaystyle \sum_{n=3}^k E(n)$.
Например, $S(3)=0.433013$, $S(4)=1.732051$, $S(5)=4.604767$ и $S(10)=66.955511$, округленные до $6$ знаков после десятичной точки.

Найдите $S(50)$, округленное до $6$ знаков после десятичной точки.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net