Задача 473
Фи-цифровая система счисления

Пусть $varphi$ будет золотым сечением: $varphi=frac{1+sqrt{5}}{2}.$
Стоит заметить, что возможно записать любое положительное целое число как сумму степеней $varphi$, даже если мы потребуем, чтобы каждая степень $varphi$ использовалась в этой сумме не больше одного раза.
Даже в таком случае такое представление не будет уникальным.
Мы можем сделать его уникальным потребовав, чтобы оно было конечным и в нем не использовались степени с последовательными показателями.
Например: $2=varphi+varphi^{-2}$ и $3=varphi^{2}+varphi^{-2}$

Чтобы записать эту сумму степеней $varphi$, мы будем использовать строку из 0 и 1 с точкой, показывающей начало отрицательных показателей.
Назовем такую запись Фи-цифровой системой счисления.
So $1=1_{varphi}$, $2=10.01_{varphi}$, $3=100.01_{varphi}$ и $14=100100.001001_{varphi}$.
Строки, представляющие числа 1, 2 и 14 в Фи-цифровой системе счисления - палиндромы, в то время как строка, представляющая число 3 - нет.
(Фи-цифровая точка не находится ровно посередине строки).

Сумма всех положительных целых чисел, не превышающих 1000 и чьи представления в Фи-цифровой системе счисления - палиндромы, равна 4345.

Найдите сумму всех положительных целых чисел, не превышающих $10^{10}$ и чьи представления в Фи-цифровой системе счисления - палиндромы.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net