Задача 460
Движение муравья

Муравей путешествует по Евклидовой плоскости из точки A(0, 1) в точку B(d, 1) для целого d.

Для каждого шага муравей, находящийся в точке (x0, y0) выбирает одну из точек решетки (x1, y1), которая удовлетворяет x1 ≥ 0 и y1 ≥ 1, и идет по прямой в точку (x1, y1) с постоянной скоростью v. Значение v зависит от y0 и y1 следующим образом:

  • Если y0 = y1, значение v равно y0.
  • Если y0y1, значение v равно (y1 - y0) / (ln(y1) - ln(y0)).

На картинке слева показан один из возможных путей для d = 4. Сначала муравей идет из A(0, 1) в P1(1, 3) со скоростью (3 - 1) / (ln(3) - ln(1)) ≈ 1.8205. В таком случае затраченное время равно sqrt(5) / 1.8205 ≈ 1.2283.
Из P1(1, 3) в P2(3, 3) муравей движется со скоростью 3, поэтому затраченное время равно 2 / 3 ≈ 0.6667. Из P2(3, 3) в B(4, 1) муравей движется со скоростью (1 - 3) / (ln(1) - ln(3)) ≈ 1.8205, поэтому затраченное время равно sqrt(5) / 1.8205 ≈ 1.2283.
Итого муравей потратил на передвижение время, равное 1.2283 + 0.6667 + 1.2283 = 3.1233.

На картинке справа показан другой путь. Его прохождение займет в сумме время, равное 0.98026 + 1 + 0.98026 = 2.96052. Можно показать, что это - быстрейший путь для d = 4.

Пусть F(d) будет количеством времени, необходимым для прохождения кратчайшего пути. Например, F(4) ≈ 2.960516287.
Можно показать, что F(10) ≈ 4.668187834 и F(100) ≈ 9.217221972.

Найдите F(10000). Приведите ответ округленным до девяти знаков после десятичной точки.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net