Задача 431
Силос с объемом-квадратом

Фермер Фред заказал установку нового силоса на своей ферме и, будучи одержимым вещами квадратной формы, пришел в отчаяние, узнав, что он круглый. Квентин - представитель компании, установившей силос - объяснил, что они производят только цилиндрические силосы, однако находящиеся на квадратной основе. Фреда это не вепечатлило, и он потребовал, чтобы постройку убрали из его фермы.

Смекалистый Квентин объяснил, что, когда сыпучие материалы подаются сверху, образуется конический склон с углом естественного откоса по отношению к горизонту. Например, если этот угол $alpha = 30$ градусов и зерно подается из центра потолка силоса, тогда в направлении верха цилиндра образуется идеальный конус. В случае с этим силосом, имеющим диаметр 6 м, будет зря потрачен (неиспользован) объем примерно 32.648388556 м3. Однако, если зерно подавать из точки, которая находится на потолке силоса на расстоянии $x$ метров от его центра, получится конус с искривленным и наклонным основанием. Он показал Фреду картинку.

Обозначим потраченный зря объем (в кубичеких метрах) как $V(x)$. Если $x = 1.114785284$ (заметьте, три в квадрате знаков после десятичной точки), тогда всего будет потрачено зря $V(1.114785284) approx 36$. Учитывая возможные решения этой задачи, сущетвует только один альтернативный вариант: $V(2.511167869) approx 49$. Будто бы квадрат является королем силоса, восседая в своем величии на вашем зерне.

Глаза Фреда загорелись восторгом от столь элегантного решения, однако, при ближайшем рассмотрении чертежей и рассчетов Квентина он снова упал духом. Фред указал Квентину на то, что не диаметр, а радиус силоса равен 6 метрам, и угол естественного откоса его зерна равен 40 градусам. Однако, если Квентин сможет найти решения для этого конкретного силоса, то Фред с удовольствием оставит его у себя.

Чтобы смекалистый Квентин смог удовлетворить аппетит привередливого Фреда к квадратом, определите значения $x$ для всех возможных значений зря потраченного объема, являющихся квадратами, и вычислите $sum x$, округлив до 9 знаков после десятичной точки.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net