Задача 422
Последовательность точек на гиперболе

Пусть H будет гиперболой, заданной уравнением 12x2 + 7xy - 12y2 = 625.

Далее, определим X как точку (7, 1). Можно заметить, что X принадлежит H.

Теперь определим последовательность точек {Pi : i ≥ 1} на гиперболе H следующим образом:

  • P1 = (13, 61/4).
  • P2 = (-43/6, -4).
  • Для i > 2, Pi - это единственная точка на H отличная от Pi-1 и такая, что прямая PiPi-1 параллельна прямой Pi-2X. Можно показать, что Pi строго и однозначно определена, и что ее координаты всегда рациональны.

Вам дано, что P3 = (-19/2, -229/24), P4 = (1267/144, -37/12) и P7 = (17194218091/143327232, 274748766781/1719926784).

Найдите Pn для n = 1114 следующим образом:
Если Pn = (a/b, c/d), где дроби несократимы и их знаменатели положительны, то в качестве ответа приведите значение (a + b + c + d) mod 1 000 000 007.

Для n = 7 ответ будет 806236837.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net