Задача 318
2011 девяток

Рассмотрим действительное число √2+√3.
При вычислении четных степеней √2+√3 получим:
(√2+√3)2 = 9.898979485566356...
(√2+√3)4 = 97.98979485566356...
(√2+√3)6 = 969.998969071069263...
(√2+√3)8 = 9601.99989585502907...
(√2+√3)10 = 95049.999989479221...
(√2+√3)12 = 940897.9999989371855...
(√2+√3)14 = 9313929.99999989263...
(√2+√3)16 = 92198401.99999998915...

Похоже, что число последовательных девяток в начале дробной части этих степеней не уменьшается.
Более того, можно доказать, что дробная часть числа (√2+√3)2n стремится к 1 при больших значениях n.

Рассмотрим все действительные числа вида √p+√q, где p и q - положительные целые числа, при этом p<q, такие, что дробная часть (√p+√q) 2n стремится к 1 при больших значениях n.

Пусть C(p,q,n) - число последовательных девяток в начале дробной части числа
(√p+√q)2n.

Пусть N(p,q) - такое минимальное значение n, что C(p,q,n) ≥ 2011.

Найдите N(p,q), если p+q ≤ 2011.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net