Задача 314
Мышь на Луне

Луна открыта, и на ней можно получить участок совершенно бесплатно. Однако есть одна тонкость. Вы должны построить стену по периметру участка, который вы содержите, а возведение стен на Луне стоит дорого. Каждой стране выделили квадратный участок размерами 500 м на 500 м, но принадлежать этим странам будут только те площади, которые ограничены стенами. В квадратной сетке расставлен 251001 столб на расстоянии 1 метра друг от друга. Стена должна представлять собой замкнутую ломаную, где каждый отрезок идет от столба к столбу.

Разумеется, большие страны построили стену общей протяженностью 2000 м, покрыв тем самым всю площадь в 250 000 м^(2). Бюджет Герцогства Великого Фенвика поскромнее, поэтому Королевский Программист попросил вас вычислить форму, которая даст наибольшее отношение площадь/протяженность стен.

Вы выполнили некоторые предварительные расчеты на листе бумаги. Для стены протяженностью 2000 метров, которой ограничена площадь в 250 000 м^(2), отошение площадь/протяженность составила 125.
Хоть это и не разрешено правилами, но для понимания того, есть ли вариант получше: если вписать в квадратный участок окружность, то покрываемая площадь составит π*250^(2) м^(2), в свою очередь, периметр будет равен π*500 м. Таким образом, отношение площадь/протяженность также составит 125.

Однако, если Вы отрежете от квадрата четыре треугольника со сторонами 75 м, 75 м и 75√2 м, то покрываемая площадь составит 238750 м^(2), в свою очередь, периметр стены будет равен 1400+300√2 м. Таким образом, отношение площадь/протяженность равно 130.87, что намного лучше.

Найдите максимальное отношение площадь/протяженность.
Ответ приведите с округлением до 8 знаков после десятичной точки в виде десятичной дроби abc.defghijk.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net