Задача 285
Пифагорские ставки

Альберт выбирает положительное целое число k, после чего два вещественных числа a, b случайно выбираются с равномерным распределением на интервале [0,1].
Затем вычисляется квадратный корень суммы (k·a+1)^(2) + (k·b+1)^(2), а результат округляется до ближайшего целого числа. Если результат равен k, Альберту начисляется k очков; в противном случае, ему ничего не начисляется.

К примеру, пусть k = 6, a = 0.2 и b = 0.85. Тогда (k·a+1)^(2) + (k·b+1)^(2) = 42.05.
Квадратный корень из 42.05 равен 6.484... После округления до ближайшего целого числа, получен результат, равный 6.
Полученный результат совпадает с загаданным числом k, так что ему начисляют 6 очков.

Можно показать, что если Альберт сыграет 10 раз подряд, загадывая k = 1, k = 2, ..., k = 10, то ожидаемое количество его общих очков составит 10.20914 (после округления до 5 знаков после десятичной точки).

Какое количество очков ожидается, если он сыграет 10^(5) раз, последовательно загадывая k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 10^(5)? Ответ округлите до 5 знаков после десятичной точки.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net