Задача 143
Исследование точки Торричелли у треугольников

Пусть АBC - треугольник с углами, не превышающими 120 градусов. Пусть X - любая точка, лежащая в треугольнике, такая, что XA = p, XB = q, и XC = r.

Ферма поспорил с Торричелли, сможет ли тот найти такое положение точки Х, чтобы сумма p + q + r была минимальной.

Торричелли смог доказать, что если построить на каждой из сторон треугольника АВС по равностороннему треугольнику - AOB, BNC и AMC, то описанные окружности, проведенные вокруг каждого из этих равносторонних треугольников пересекутся в одной точке Т, расположенной внутри треугольника. Более того, он доказал, что в точке Т, названной точкой Торричелли/Ферма, сумма p + q + r минимальна. Еще более выдающимся фактом является то, что можно показать справедливость равенства AN = BM = CO = p + q + r, причем AN, BM и CO также пересекаются в точке Т.

Если сумма p + q + r минимальна, а также если все числа a, b, c, p, q и r являются положительными и целыми, то такой треугольник АВС будем называть треугольником Торричелли. К примеру, a = 399, b = 455, c = 511 является примером треугольника Торричелли, у которого p + q + r = 784.

Найдите сумму всех отличных друг от друга значений p + q + r ≤ 120000 в треугольниках Торричелли.

Примечание: Данная задача недавно была изменена. Убедитесь в том, что Вы используете верные параметры.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net