Задача 137
Золотые слитки Фибоначчи

Рассмотрим бесконечный полиномиальный ряд A_(F)(x) = xF_(1) + x^(2)F_(2) + x^(3)F_(3) + ..., где F_(k) - k-ый член последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., т.е. F_(k) = F_(k−1) + F_(k), F_(1) = 1 и F_(2) = 1.

В данной задаче нас интересуют такие значения x, при которых A_(F)(x) является положительным целым числом.

Удивительно, но A_(F)(1/2)  =  (1/2)×1 + (1/2)^(2)×1 + (1/2)^(3)×2 + (1/2)^(4)×3 + (1/2)^(5)×5 + ...
   =  1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ...
   =  2

Соответствующие значения x для первых пяти натуральных чисел приведены в таблице ниже.

xA_(F)(x)
√2−11
1/22
(√13−2)/33
(√89−5)/84
(√34−3)/55

Если x - рациональное число, то будем называть A_(F)(x) золотым слитком, т.к. такие значения встречаются все реже и реже. Так, например, 10-й золотой слиток равен 74049690.

Найдите 15-й золотой слиток.

Оригинал
 
© Проект Эйлера | Translated problems from ProjectEuler.net