Все задачи
Номер Заголовок и описание
1

Если выписать все натуральные числа меньше 10, кратные 3 или 5, то получим 3, 5, 6 и 9. Сумма этих чисел - 23.

Найдите сумму всех чисел меньше 1000, кратных 3 или 5.

2

Каждый следующий элемент ряда Фибоначчи получается при сложении двух предыдущих. Начиная с 1 и 2, первые 10 элементов будут:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Найдите сумму всех четных элементов ряда Фибоначчи, которые не превышают четыре миллиона.

3

Простые делители числа 13195 - это 5, 7, 13 и 29.

Каков самый большой делитель числа 600851475143, являющийся простым числом?

4

Число-палиндром с обеих сторон (справа налево и слева направо) читается одинаково. Самое большое число-палиндром, полученное умножением двух двузначных чисел – 9009 = 91 × 99.

Найдите самый большой палиндром, полученный умножением двух трёхзначных чисел.

5

2520 - самое маленькое число, которое делится без остатка на все числа от 1 до 10.

Какое самое маленькое число делится нацело на все числа от 1 до 20?

6

Сумма квадратов первых десяти натуральных чисел

1^(2) + 2^(2) + ... + 10^(2) = 385

Квадрат суммы первых десяти натуральных чисел

(1 + 2 + ... + 10)^(2) = 55^(2) = 3025

Следовательно, разность между суммой квадратов и квадратом суммы первых десяти натуральных чисел составляет 3025 − 385 = 2640.

Найдите разность между суммой квадратов и квадратом суммы первых ста натуральных чисел.

7

Выписав первые шесть простых чисел, получим 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Очевидно, что 6-ое простое число - 13.

Какое число является 10001-ым простым числом?

8

Наибольшее произведение четырех последовательных цифр в нижеприведенном 1000-значном числе равно 9 × 9 × 8 × 9 = 5832.

73167176531330624919225119674426574742355349194934
96983520312774506326239578318016984801869478851843
85861560789112949495459501737958331952853208805511
12540698747158523863050715693290963295227443043557
66896648950445244523161731856403098711121722383113
62229893423380308135336276614282806444486645238749
30358907296290491560440772390713810515859307960866
70172427121883998797908792274921901699720888093776
65727333001053367881220235421809751254540594752243
52584907711670556013604839586446706324415722155397
53697817977846174064955149290862569321978468622482
83972241375657056057490261407972968652414535100474
82166370484403199890008895243450658541227588666881
16427171479924442928230863465674813919123162824586
17866458359124566529476545682848912883142607690042
24219022671055626321111109370544217506941658960408
07198403850962455444362981230987879927244284909188
84580156166097919133875499200524063689912560717606
05886116467109405077541002256983155200055935729725
71636269561882670428252483600823257530420752963450

Найдите наибольшее произведение тринадцати последовательных цифр в данном числе.

9

Тройка Пифагора - три натуральных числа a < b < c, для которых выполняется равенство

a^(2) + b^(2) = c^(2)

Например, 3^(2) + 4^(2) = 9 + 16 = 25 = 5^(2).

Существует только одна тройка Пифагора, для которой a + b + c = 1000.
Найдите произведение abc.

10

Сумма простых чисел меньше 10 - это 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Найдите сумму всех простых чисел меньше двух миллионов.

11

В таблице 20×20 (внизу) четыре числа на одной диагонали выделены красным.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Произведение этих чисел 26 × 63 × 78 × 14 = 1788696.

Каково наибольшее произведение четырёх подряд идущих чисел в таблице 20×20 , расположенных в любом направлении (вверх, вниз, вправо, влево или по диагонали)?

12

Последовательность треугольных чисел образуется путем сложения натуральных чисел. К примеру, 7-ое треугольное число будет 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Первые десять треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Перечислим делители первых семи треугольных чисел:

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Как мы видим, 28 - первое треугольное число, у которого более пяти делителей.

Каково первое треугольное число, у которого более пятисот делителей?

13

Найдите первые десять цифр суммы следующих ста 50-значных чисел.

37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
86188088225875314529584099251203829009407770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
75506164965184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
99518671430235219628894890102423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690
14

Следующая повторяющаяся последовательность определена для множества натуральных чисел:

nn/2 (n - чётное)
n → 3n + 1 (n - нечётное)

Используя описанное выше правило и начиная с 13, сгенерируется следующая последовательность:

13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Получившаяся последовательность (начиная с 13 и заканчивая 1) содержит 10 элементов. Хотя это до сих пор и не доказано (проблема Коллатца (Collatz)), предполагается, что все сгенерированные таким образом последовательности оканчиваются 1.

Какой начальный элемент меньше миллиона генерирует самую длинную последовательность?

Примечание: После начала последовательности элементы могут быть больше миллиона.

15

В таблице 2×2 всего существует 6 маршрутов (двигаясь только вниз или вправо), начинающихся в левом верхнем углу и заканчивющихся в правом нижнем.

Сколько существует маршрутов в таблице 20×20?

16

2^(15) = 32768, сумма цифр 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26.

Какова сумма цифр числа 2^(1000)?

17

Если записать числа от 1 до 5 английскими словами (one, two, three, four, five), то используется 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 букв.

Сколько букв понадобится для записи всех чисел от 1 до 1000 (one thousand) включительно?


Примечание: Не считайте пробелы и дефисы. Например, число 342 (three hundred and forty-two) состоит из 23 букв, число 115 (one hundred and fifteen) - из 20 букв. Использование "and" при записи чисел соответствует правилам британского английского.

18

Начиная в вершине треугольника (см. пример ниже) и перемещаясь вниз на смежные числа, максимальная сумма до основания составляет 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

То есть, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Найдите максимальную сумму пути от вершины до основания следующего треугольника:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

Примечание: Так как в данном треугольнике всего 16384 маршрута от вершины до основания, эту задачу можно решить проверяя каждый из маршрутов. Однако похожая Задача 67 с треугольником, состоящим из сотни строк, не решается перебором (brute force) и требует более умного подхода! ;o)

19

Дана следующая информация (однако, вы можете проверить ее самостоятельно):

  • 1 января 1900 года - понедельник.
  • В сентябре, апреле, июне и ноябре 30 дней.
    В феврале 28, в високосный год - 29.
    В остальных месяцах по 31 дню.
  • Високосный год - любой год, делящийся нацело на 4, однако первый год века (ХХ00) является високосным в том и только том случае, если делится на 400.

Сколько воскресений выпадает на первое число месяца в двадцатом веке (с 1 января 1901 года до 31 декабря 2000 года)?

20

n! означает n × (n − 1) × ... × 3 × 2 × 1

Найдите сумму цифр в числе 100!.

21

Пусть d(n) определяется как сумма делителей n (числа меньше n, делящие n нацело).
Если d(a) = b и d(b) = a, где ab, то a и b называются дружественной парой, а каждое из чисел a и b - дружественным числом.

Например, делителями числа 220 являются 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, поэтому d(220) = 284. Делители 284 - 1, 2, 4, 71, 142, поэтому d(284) = 220.

Подсчитайте сумму всех дружественных чисел меньше 10000.

22

Используйте names.txt (правый клик и 'Save Link/Target As...'), текстовый файл размером 46 КБ, содержащий более пяти тысяч имён. Начните с сортировки в алфавитном порядке. Затем подсчитайте алфавитные значения каждого имени и умножьте это значение на порядковый номер имени в отсортированном списке для получения количества очков имени.

Например, если список отсортирован по алфавиту, имя COLIN (алфавитное значение которого 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53) является 938-ым в списке. Поэтому, имя COLIN получает 938 × 53 = 49714 очков.

Какова сумма очков имён в файле?

23

Идеальным числом называется число, у которого сумма его делителей равна самому числу. Например, сумма делителей числа 28 равна 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, что означает, что число 28 является идеальным числом.

Число n называется недостаточным, если сумма его делителей меньше n, и называется избыточным, если сумма его делителей больше n.

Так как число 12 является наименьшим избыточным числом (1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16), наименьшее число, которое может быть записано как сумма двух избыточных чисел, равно 24. Используя математический анализ, можно показать, что все целые числа больше 28123 могут быть записаны как сумма двух избыточных чисел. Эта граница не может быть уменьшена дальнейшим анализом, даже несмотря на то, что наибольшее число, которое не может быть записано как сумма двух избыточных чисел, меньше этой границы.

Найдите сумму всех положительных чисел, которые не могут быть записаны как сумма двух избыточных чисел.

24

Перестановка - это упорядоченная выборка объектов. К примеру, 3124 является одной из возможных перестановок из цифр 1, 2, 3 и 4. Если все перестановки приведены в порядке возрастания, то такой порядок будем называть словарным. Словарные перестановки из цифр 0, 1 и 2 представлены ниже:

012   021   102   120   201   210

Какова миллионная словарная перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9?

25

Последовательность Фибоначчи определяется рекурсивным правилом:

F_(n) = F_(n−1) + F_(n−2), где F_(1) = 1 и F_(2) = 1.

Таким образом, первые 12 членов будут:

F_(1) = 1
F_(2) = 1
F_(3) = 2
F_(4) = 3
F_(5) = 5
F_(6) = 8
F_(7) = 13
F_(8) = 21
F_(9) = 34
F_(10) = 55
F_(11) = 89
F_(12) = 144

Двенадцатый член F_(12) - первый член последовательности, который содержит три цифры.

Каково значение первого члена последовательности Фибоначчи, содержащего 1000 цифр?

26

Единичная дробь имеет 1 в числителе. Десятичные представления единичных дробей со знаменателями от 2 до 10 даны ниже:

^(1)/_(2)0.5
^(1)/_(3)0.(3)
^(1)/_(4)0.25
^(1)/_(5)0.2
^(1)/_(6)0.1(6)
^(1)/_(7)0.(142857)
^(1)/_(8)0.125
^(1)/_(9)0.(1)
^(1)/_(10)0.1

Где 0.1(6) значит 0.166666..., и имеет повторяющуюся последовательность из одной цифры. Видно, что ^(1)/_(7) имеет повторяющуюся последовательность из 6 цифр.

Найдите значение d < 1000, для которого ^(1)/_(d) в десятичном виде содержит самую длинную повторяющуюся последовательность цифр.

27

Эйлер опубликовал свою замечательную квадратичную формулу:

n² + n + 41

Оказалось, что согласно данной формуле можно получить 40 простых чисел, последовательно подставляя значения n от 0 до 39. Однако, при n = 40, 40^(2) + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 делится на 41 без остатка, и, очевидно, при n = 41, 41² + 41 + 41 делится на 41 без остатка.

При помощи компьютеров была найдена невероятная формула  n² − 79n + 1601, согласно которой можно получить 80 простых чисел для последовательных значений n от 0 до 79. Произведение коэффициентов −79 и 1601 равно −126479.

Рассмотрим квадратичную формулу вида:

n² + an + b, где |a| < 1000 и |b| < 1000

где |n| является модулем (абсолютным значением) n.
К примеру, |11| = 11 и |−4| = 4

Найдите произведение коэффициентов a и b квадратичного выражения, согласно которому можно получить максимальное количество простых чисел для последовательных значений n, начиная со значения n = 0.

28

Начиная с числа 1 и двигаясь дальше вправо по часовой стрелке, образуется следующая спираль 5 на 5:

21 22 23 24 25
20  7  8  9 10
19  6  1  2 11
18  5  4  3 12
17 16 15 14 13

Можно убедиться, что сумма чисел в диагоналях равна 101.

Какова сумма чисел в диагоналях спирали 1001 на 1001, образованной таким же способом?

29

Рассмотрим все целочисленные комбинации a^(b) для 2 ≤ a ≤ 5 и 2 ≤ b ≤ 5:

2^(2)=4, 2^(3)=8, 2^(4)=16, 2^(5)=32
3^(2)=9, 3^(3)=27, 3^(4)=81, 3^(5)=243
4^(2)=16, 4^(3)=64, 4^(4)=256, 4^(5)=1024
5^(2)=25, 5^(3)=125, 5^(4)=625, 5^(5)=3125

Если их расположить в порядке возрастания, исключив повторения, мы получим следующую последовательность из 15 различных членов:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Сколько различных членов имеет последовательность a^(b) для 2 ≤ a ≤ 100 и 2 ≤ b ≤ 100?

30

Удивительно, но существует только три числа, которые могут быть записаны в виде суммы четвертых степеней их цифр:

1634 = 1^(4) + 6^(4) + 3^(4) + 4^(4)
8208 = 8^(4) + 2^(4) + 0^(4) + 8^(4)
9474 = 9^(4) + 4^(4) + 7^(4) + 4^(4)

1 = 1^(4) не считается, так как это - не сумма.

Сумма этих чисел равна 1634 + 8208 + 9474 = 19316.

Найдите сумму всех чисел, которые могут быть записаны в виде суммы пятых степеней их цифр.

31

В Англии валютой являются фунты стерлингов £ и пенсы p, и в обращении есть восемь монет:

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p) и £2 (200p).

£2 возможно составить следующим образом:

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p

Сколькими разными способами можно составить £2, используя любое количество монет?

32

Каждое n-значное число, которое содержит каждую цифру от 1 до n ровно один раз, будем считать пан-цифровым; к примеру, 5-значное число 15234, является пан-цифровым, т.к. содержит цифры от 1 до 5.

Произведение 7254 является необычным, поскольку равенство 39 × 186 = 7254, состоящее из множимого, множителя и произведения является пан-цифровым, т.е. содержит цифры от 1 до 9.

Найдите сумму всех пан-цифровых произведений, для которых равенство "множимое × множитель = произведение" можно записать цифрами от 1 до 9, используя каждую цифру только один раз.

ПОДСКАЗКА: Некоторые произведения можно получить несколькими способами, поэтому убедитесь, что включили их в сумму лишь единожды.
33

Дробь ^(49)/_(98) является любопытной, поскольку неопытный математик, пытаясь сократить её, будет ошибочно полагать, что ^(49)/_(98) = ^(4)/_(8), являющееся истиной, получено вычеркиванием девяток.

Дроби вида ^(30)/_(50) = ^(3)/_(5) будем считать тривиальными примерами.

Существует ровно 4 нетривиальных примера дробей подобного типа, которые меньше единицы и содержат двухзначные числа как в числителе, так и в знаменателе.

Пусть произведение этих четырех дробей дано в виде несократимой дроби (числитель и знаменатель дроби не имеют общих сомножителей). Найдите знаменатель этой дроби.

34

145 является любопытным числом, поскольку 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

Найдите сумму всех чисел, каждое из которых равно сумме факториалов своих цифр.

Примечание: поскольку 1! = 1 и 2! = 2 не являются суммами, учитывать их не следует.

35

Число 197 называется круговым простым числом, потому что все перестановки его цифр с конца в начало являются простыми числами: 197, 719 и 971.

Существует тринадцать таких простых чисел меньше 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79 и 97.

Сколько существует круговых простых чисел меньше миллиона?

36

Десятичное число 585 = 1001001001_(2) (в двоичной системе), является палиндромом по обоим основаниям.

Найдите сумму всех чисел меньше миллиона, являющихся палиндромами по основаниям 10 и 2.

(Пожалуйста, обратите внимание на то, что палиндромы не могут начинаться с нуля ни в одном из оснований).

37

Число 3797 обладает интересным свойством. Будучи само по себе простым числом, из него можно последовательно выбрасывать цифры слева направо, число же при этом остается простым на каждом этапе: 3797, 797, 97, 7. Точно таким же способом можно выбрасывать цифры справа налево: 3797, 379, 37, 3.

Найдите сумму единственных одиннадцати простых чисел, из которых можно выбрасывать цифры как справа налево, так и слева направо, но числа при этом остаются простыми.

ПРИМЕЧАНИЕ: числа 2, 3, 5 и 7 таковыми не считаются.

38

Возьмем число 192 и умножим его по очереди на 1, 2 и 3:

192 × 1 = 192
192 × 2 = 384
192 × 3 = 576

Объединяя все три произведения, получим девятизначное число 192384576 из цифр от 1 до 9 (пан-цифровое число). Будем называть число 192384576 объединенным произведением 192 и (1,2,3)

Таким же образом можно начать с числа 9 и по очереди умножать его на 1, 2, 3, 4 и 5, что в итоге дает пан-цифровое число 918273645, являющееся объединенным произведением 9 и (1,2,3,4,5).

Какое самое большое девятизначное пан-цифровое число можно образовать как объединенное произведение целого числа и (1,2, ... , n), где n > 1?

39

Если p - периметр прямоугольного треугольника с целочисленными длинами сторон {a,b,c}, то существует ровно три решения для p = 120:

{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}

Какое значение p ≤ 1000 дает максимальное число решений?

40

Дана иррациональная десятичная дробь, образованная объединением положительных целых чисел:

0.123456789101112131415161718192021...

Видно, что 12-ая цифра дробной части - 1.

Также дано, что d_(n) представляет собой n-ую цифру дробной части. Найдитезначение следующего выражения:

d_(1) × d_(10) × d_(100) × d_(1000) × d_(10000) × d_(100000) × d_(1000000)

41

Будем считать n-значное число пан-цифровым, если каждая из цифр от 1 до nиспользуется в нем ровно один раз. К примеру, 2143 является 4-значным пан-цифровым числом, а такжепростым числом.

Какое существует наибольшее n-значное пан-цифровое простое число?

42

n-ый член последовательности треугольных чисел задается как t_(n) = ½n(n+1). Таким образом, первые десять треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Преобразовывая каждую букву в число, соответствующее ее порядковому номеру в алфавите, и складывая эти значения, мы получим числовое значение слова. Для примера, числовое значение слова SKY равно 19 + 11 + 25 = 55 = t_(10). Если числовое значение слова является треугольным числом, то мы назовем это слово треугольным словом.

Используя words.txt (правый клик и 'Save Link/Target As...'), 16 КБ текстовый файл, содержащий около двух тысяч часто используемых английских слов, определите, сколько в нем треугольных слов.

43

Число 1406357289, является пан-цифровым, поскольку оно состоит из цифр от 0 до 9 в определенном порядке. Помимо этого, оно также обладает интересным свойством делимости подстрок.

Пусть d_(1) будет 1-ой цифрой, d_(2) будет 2-ой цифрой, и т.д. В таком случае, можно заметить следующее:

  • d_(2)d_(3)d_(4)=406 делится на 2 без остатка
  • d_(3)d_(4)d_(5)=063 делится на 3 без остатка
  • d_(4)d_(5)d_(6)=635 делится на 5 без остатка
  • d_(5)d_(6)d_(7)=357 делится на 7 без остатка
  • d_(6)d_(7)d_(8)=572 делится на 11 без остатка
  • d_(7)d_(8)d_(9)=728 делится на 13 без остатка
  • d_(8)d_(9)d_(10)=289 делится на 17 без остатка

Найдите сумму всех пан-цифровых чисел из цифр от 0 до 9, обладающих данным свойством.

44

Пятиугольные числа вычисляются по формуле: P_(n)=n(3n−1)/2. Первые десять пятиугольных чисел:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...

Можно убедиться в том, что P_(4) + P_(7) = 22 + 70 = 92 = P_(8). Однако, их разность, 70 − 22 = 48, не является пятиугольным числом.

Найдите пару пятиугольных чисел P_(j) и P_(k), для которых сумма и разность являются пятиугольными числами и значение D = |P_(k) − P_(j)| минимально, и дайте значение D в качестве ответа.

45

Треугольные, пятиугольные и шестиугольные числа вычисляются по нижеследующим формулам:

Треугольные   T_(n)=n(n+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
Пятиугольные   P_(n)=n(3n−1)/2   1, 5, 12, 22, 35, ...
Шестиугольные   H_(n)=n(2n−1)   1, 6, 15, 28, 45, ...

Можно убедиться в том, что T_(285) = P_(165) = H_(143) = 40755.

Найдите следующее треугольное число, являющееся также пятиугольным и шестиугольным.

46

Кристиан Гольдбах показал, что любое нечетное составное число можно записать в виде суммы простого числа и удвоенного квадрата.

9 = 7 + 2×1^(2)
15 = 7 + 2×2^(2)
21 = 3 + 2×3^(2)
25 = 7 + 2×3^(2)
27 = 19 + 2×2^(2)
33 = 31 + 2×1^(2)

Оказалось, что данная гипотеза неверна.

Каково наименьшее нечетное составное число, которое нельзя записать в виде суммы простого числа и удвоенного квадрата?

47

Первые два последовательные числа, каждое из которых имеет два отличных простых множителя:

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5

Первые три последовательные числа, каждое из которых имеет три отличных простых множителя:

644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19.

Найдите первые четыре последовательные числа, каждое из которых имеет четыре отличных простых множителя. Каким будет первое число?

48

Сумма 1^(1) + 2^(2) + 3^(3) + ... + 10^(10) = 10405071317.

Найдите последние десять цифр суммы 1^(1) + 2^(2) + 3^(3) + ... + 1000^(1000).

49

Не существует арифметических прогрессий из трех однозначных, двухзначных и трехзначных простых чисел, демонстрирующих это свойство. Однако, существует еще одна четырехзначная возрастающая арифметическая прогрессия.

Какое 12-значное число образуется, если объединить три члена этой прогрессии?

50

Простое число 41 можно записать в виде суммы шести последовательных простых чисел:

41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13

Это - самая длинная сумма последовательных простых чисел, в результате которой получается простое число меньше одной сотни.

Самая длинная сумма последовательных простых чисел, в результате которой получается простое число меньше одной тысячи, содержит 21 слагаемое и равна 953.

Какое из простых чисел меньше одного миллиона можно записать в виде суммы наибольшего количества последовательных простых чисел?

51

Меняя первую цифру числа *3 (двузначного числа, заканчивающегося цифрой 3), оказывается, что шесть из девяти возможных значений - 13, 23, 43, 53, 73 и 83 - являются простыми числами.

При замене третьей и четвертой цифры числа 56**3 одинаковыми цифрами, получаются десять чисел, из которых семь - простые: 56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773 и 56993. Число 56**3 является наименьшим числом, подставление цифр в которое дает именно семь простых чисел. Соответственно, число 56003, будучи первым из полученных простых чисел, является наименьшим простым числом, обладающим указанным свойством.

Найдите наименьшее простое число, которое является одним из восьми простых чисел, полученных заменой части цифр (не обязательно соседних) одинаковыми цифрами.

52

Найдите такое наименьшее положительное целое число x, чтобы 2x, 3x, 4x, 5x и 6x состояли из одних и тех же цифр.

53

Существует ровно десять способов выбора 3 элементов из множества пяти {1, 2, 3, 4, 5}:

123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, и 345

В комбинаторике для этого используется обозначение ^(5)C_(3) = 10.

В общем случае,

^(n)C_(r) =
n!
r!(n−r)!
, где rn, n! = n×(n−1)×...×3×2×1 и 0! = 1.

Это значение превышает один миллион, начиная с n = 23: ^(23)C_(10) = 1144066.

Cколько значений (не обязательно различных)  ^(n)C_(r) для 1 ≤ n ≤ 100 больше одного миллиона?

54

В карточной игре покер ставка состоит из пяти карт и оценивается от самой младшей до самой старшей в следующем порядке:

  • Старшая карта: Карта наибольшего достоинства.
  • Одна пара: Две карты одного достоинства.
  • Две пары: Две различные пары карт
  • Тройка: Три карты одного достоинства.
  • Стрейт: Все пять карт по порядку, любые масти.
  • Флаш: Все пять карт одной масти.
  • Фул-хаус: Три карты одного достоинства и одна пара карт.
  • Каре: Четыре карты одного достоинства.
  • Стрейт-флаш: Любые пять карт одной масти по порядку.
  • Роял-флаш: Десятка, валет, дама, король и туз одной масти.

Достоинство карт оценивается по порядку:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король, туз.

Если у двух игроков получились ставки одного порядка, то выигрывает тот, у кого карты старше: к примеру, две восьмерки выигрывают две пятерки (см. пример 1 ниже). Если же достоинства карт у игроков одинаковы, к примеру, у обоих игроков пара дам, то сравнивают карту наивысшего достоинства (см. пример 4 ниже); если же и эти карты одинаковы, сравнивают следующие две и т.д.

Допустим, два игрока сыграли 5 ставок следующим образом:

Ставка 1-й игрок 2-й игрок Победитель
1 5♥ 5♣ 6♠ 7♠ K♦
Пара пятерок
 2♣ 3♠ 8♠ 8♦ T♦
Пара восьмерок
 2-й игрок
2 5♦ 8♣ 9♠ J♠ A♣
Старшая карта туз
 2♣ 5♣ 7♦ 8♠ Q♥
Старшая карта дама
 1-й игрок
3 2♦ 9♣ A♠ A♥ A♣
Три туза
 3♦ 6♦ 7♦ T♦ Q♦
Флаш, бубны
 2-й игрок
4 4♦ 6♣ 9♥ Q♥ Q♣
Пара дам
Старшая карта девятка
 3♦ 6♦ 7♥ Q♦ Q♠
Пара дам
Старшая карта семерка
 1-й игрок
5 2♥ 2♦ 4♣ 4♦ 4♠
Фул-хаус
Три четверки
 3♣ 3♦ 3♠ 9♠ 9♦
Фул-хаус
Три тройки
 1-й игрок

Файл poker.txt содержит одну тысячу различных ставок для игры двух игроков. В каждой строке файла приведены десять карт (отделенные одним пробелом): первые пять - карты 1-го игрока, оставшиеся пять - карты 2-го игрока. Можете считать, что все ставки верны (нет неверных символов или повторов карт), ставки каждого игрока не следуют в определенном порядке, и что при каждой ставке есть безусловный победитель.

Сколько ставок выиграл 1-й игрок?

Примечание: карты в текстовом файле обозначены в соответствии с английскими наименованиями достоинств и мастей: T - десятка, J - валет, Q - дама, K - король, A - туз; S - пики, C - трефы, H - червы, D - бубны.

55

Если взять число 47, перевернуть его и прибавить к исходному, т.е. найти 47 + 74 = 121, получится палиндром.

Не из всех чисел таким образом сразу получается палиндром. К примеру,

349 + 943 = 1292
1292 + 2921 = 4213
4213 + 3124 = 7337

Т.е., понадобилось 3 итерации для того, чтобы превратить число 349 в палиндром.

Хотя никто еще этого не доказал, считается, что из некоторых чисел, таких как 196, невозможно получить палиндром. Такое число, которое не образует палиндром путем переворачивания и сложения с самим собой, называется числом Личрэла. Ввиду теоретической природы таких чисел, а также цели этой задачи, мы будем считать, что число является числом Личрэла до тех пор, пока не будет доказано обратное. Помимо этого дано, что любое число меньше десяти тысяч либо (1) станет палиндромом меньше, чем за 50 итераций, либо (2) никто, с какой бы-то ни было вычислительной мощностью, не смог получить из него палиндром. Между прочим, 10677 является первым числом, для которого необходимо более 50 итераций, чтобы получить палиндром: 4668731596684224866951378664 (53 итерации, 28-значное число).

На удивление, есть такие палиндромы, которые одновременно являются и числами Личрэла; первое такое число - 4994.

Сколько существует чисел Личрэла меньше десяти тысяч?

ПРИМЕЧАНИЕ: Формулировка задачи была немного изменена 24 апреля 2007 года, чтобы подчеркнуть теоретическую природу чисел Личрэла.

56

Гугол (10^(100)) - гигантское число: один со ста нулями; 100^(100) почти невообразимо велико: один с двумястами нулями. Несмотря на их размер, сумма цифр каждого числа равна всего лишь 1.

Рассматривая натуральные числа вида a^(b), где a, b < 100, какая встретится максимальная сумма цифр числа?

57

Можно убедиться в том, что квадратный корень из двух можно выразить в виде бесконечно длинной дроби.

√ 2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ... ))) = 1.414213...

Приблизив это выражение для первых четырех итераций, получим:

1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5 = 1.4
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)) = 17/12 = 1.41666...
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) = 41/29 = 1.41379...

Следующие три приближения: 99/70, 239/169 и 577/408, а восьмое приближение, 1393/985, является первым случаем, в котором количество цифр в числителе превышает количество цифр в знаменателе.

У скольких дробей длина числителя больше длины знаменателя в первой тысяче приближений выражения?

58

Начиная с 1 и продвигаясь по спирали в направлении против часовой стрелки, получается квадратная спираль с длиной стороны 7

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Интересно заметить, что нечетные квадраты лежат на правой нижней полудиагонали. Еще интереснее то, что среди 13 чисел, лежащих на обеих диагоналях, 8 являются простыми; т.е. отношение составляет 8/13 ≈ 62%.

Если добавить еще один целый слой вокруг изображенной выше спирали, получится квадратная спираль с длиной стороны 9. Если продолжать данный процесс, какой будет длина стороны квадратной спирали, у которой отношение количества простых чисел к количеству всех чисел на обеих диагоналях упадет ниже 10%?

59

Каждый символ в компьютере имеет уникальный код, предпочитаемым является стандарт ASCII (American Standard Code for Information Interchange - Американский стандартный код для обмена информацией). Для примера, A верхнего регистра = 65, звездочка (*) = 42, а k нижнего регистра = 107.

Современный метод шифровки состоит в том, что берется текстовый файл, конвертируется в байты по ASCII, а потом над каждым байтом выполняется операция XOR с определенным значением, взятым из секретного ключа. Преимущество функции XOR состоит в том, что применяя тот же ключ к зашифрованному тексту, получается исходный; к примеру, 65 XOR 42 = 107, тогда 107 XOR 42 = 65.

Для невзламываемого шифрования ключ должен быть такой же длины, что и сам текст, и ключ должен быть составлен из случайных байтов. Тогда, если пользователь хранит зашифрованное сообщение и ключ шифрования в разных местах, то без обеих "половинок" расшифровать сообщение просто невозможно.

К сожалению, этот метод непрактичен для большинства пользователей, поэтому упрощенный метод использует в качестве ключа пароль. Если пароль короче текстового сообщения, что наиболее вероятно, то ключ циклично повторяется на протяжении всего сообщения. Идеальный пароль для этого метода достаточно длинный, чтобы быть надежным, но достаточно короткий, чтобы его можно было запомнить.

Ваша задача была упрощена, так как пароль состоит из трех символов нижнего регистра. Используя cipher1.txt (правый клик и 'Save Link/Target As...'), содержащий зашифрованные коды ASCII, а также тот факт, что сообщение должно содержать распространенные английские слова, расшифруйте сообщение и найдите сумму всех значений ASCII в исходном тексте.


60

Простые числа 3, 7, 109 и 673 достаточно замечательны. Если взять любые два из них и объединить их в произвольном порядке, в результате всегда получится простое число. Например, взяв 7 и 109, получатся простые числа 7109 и 1097. Сумма этих четырех простых чисел, 792, представляет собой наименьшую сумму элементов множества из четырех простых чисел, обладающих данным свойством.

Найдите наименьшую сумму элементов множества из 5 простых чисел, для которых объединение любых двух даст новое простое число.

61

К фигурным (многоугольным) числам относятся треугольные, квадратные, пятиугольные, шестиугольные, семиугольные и восьмиугольные числа, которые расчитываются по следующим формулам:

Треугольные   P_(3,n)=n(n+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
Квадратные   P_(4,n)=n^(2)   1, 4, 9, 16, 25, ...
Пятиугольные   P_(5,n)=n(3n−1)/2   1, 5, 12, 22, 35, ...
Шестиугольные   P_(6,n)=n(2n−1)   1, 6, 15, 28, 45, ...
Семиугольные   P_(7,n)=n(5n−3)/2   1, 7, 18, 34, 55, ...
Восьмиугольные   P_(8,n)=n(3n−2)   1, 8, 21, 40, 65, ...

Упорядоченное множество из трех четырехзначных чисел: 8128, 2882, 8281, обладает тремя интересными свойствами

  1. Множество является цикличным: последние две цифры каждого числа являются первыми двумя цифрами следующего (включая последнее и первое числа).
  2. Каждый тип многоугольника — треугольник (P_(3,127)=8128), квадрат (P_(4,91)=8281) и пятиугольник (P_(5,44)=2882) — представлены различными числами данного множества.
  3. Это — единственное множество четырехзначных чисел, обладающее указанными свойствами.

Найдите сумму элементов единственного упорядоченного множества из шести цикличных четырехзначных чисел, в котором каждый тип многоугольников — треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и восьмиугольник — представлены различными числами этого множества.

62

Можно найти перестановки куба 41063625 (345^(3)), чтобы получить еще два куба: 56623104 (384^(3)) и 66430125 (405^(3)). К слову, 41063625 является наименьшим кубом, для которого ровно три перестановки также являются кубами

Найдите наименьший куб, для которого ровно пять перестановок также являются кубами.

63

Пятизначное число 16807=7^(5) является также пятой степенью натурального числа. Аналогично, девятизначное число 134217728=8^(9) является девятой степенью.

Сколько существует положительных n-значных целых чисел, являющихся также и n-ыми степенями натуральных чисел?

64

Любой квадратный корень является периодическим, если записать его в виде непрерывных дробей в следующей форме:

N = a_(0) +
1
  a_(1) +
1
    a_(2) +
1
      a_(3) + ...

К примеру, рассмотрим √23:

√23 = 4 + √23 — 4 = 4 + 
1
 = 4 + 
1
 
1
√23—4
  1 + 
√23 – 3
7

Продолжив это преобразование, мы получим следующее приближение:

√23 = 4 +
1
  1 +
1
    3 +
1
      1 +
1
        8 + ...

Этот процесс можно обобщить в следующем виде:

a_(0) = 4,  
1
√23—4
 = 
√23+4
7
 = 1 + 
√23—3
7
a_(1) = 1,  
7
√23—3
 = 
7(√23+3)
14
 = 3 + 
√23—3
2
a_(2) = 3,  
2
√23—3
 = 
2(√23+3)
14
 = 1 + 
√23—4
7
a_(3) = 1,  
7
√23—4
 = 
7(√23+4)
7
 = 8 +  √23—4
a_(4) = 8,  
1
√23—4
 = 
√23+4
7
 = 1 + 
√23—3
7
a_(5) = 1,  
7
√23—3
 = 
7(√23+3)
14
 = 3 + 
√23—3
2
a_(6) = 3,  
2
√23—3
 = 
2(√23+3)
14
 = 1 + 
√23—4
7
a_(7) = 1,  
7
√23—4
 = 
7(√23+4)
7
 = 8 +  √23—4

Нетрудно заметить, что последовательность является периодической. Для краткости введем обозначение √23 = [4;(1,3,1,8)], чтобы показать что блок (1,3,1,8) бесконечно повторяется.

Первые десять представлений непрерывных дробей (иррациональных) квадратных корней:

√2=[1;(2)], период=1
√3=[1;(1,2)], период=2
√5=[2;(4)], период=1
√6=[2;(2,4)], период=2
√7=[2;(1,1,1,4)], период=4
√8=[2;(1,4)], период=2
√10=[3;(6)], период=1
√11=[3;(3,6)], период=2
√12= [3;(2,6)], период=2
√13=[3;(1,1,1,1,6)], период=5

Период является нечетным у ровно четырех непрерывных дробей при N ≤ 13.

У скольких непрерывных дробей период является нечетным при N ≤ 10000?

65

Квадратный корень из 2 можно записать в виде бесконечной непрерывной дроби.

√2 = 1 +
1
  2 +
1
    2 +
1
      2 +
1
        2 + ...

Бесконечную непрерывную дробь можно записать, воспользовавшись обозначением √2 = [1;(2)], где (2) указывает на то, что 2 повторяется до бесконечности. Подобным образом, √23 = [4;(1,3,1,8)].

Оказывается, что последовательность частичных значений непрерывных дробей предоставляет наилучшую рациональную аппроксимацию квадратного корня. Рассмотрим приближения √2.

1 +
1
= 3/2
 
2
 
1 +
1
= 7/5
  2 +
1
   
2
 
1 +
1
= 17/12
  2 +
1
 
    2 +
1
 
     
2
 
1 +
1
= 41/29
  2 +
1
    2 +
1
 
      2 +
1
 
       
2
 

Таким образом, последовательность первых десяти приближений для √2 имеет вид:

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ...

Самое удивительное, что важная математическая константа
e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...].

Первые десять членов последовательности приближений для e перечислены ниже:

2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536, ...

Сумма цифр числителя 10-го приближения равна 1+4+5+7=17.

Найдите сумму цифр числителя 100-го приближения непрерывной дроби для e.

66

Рассмотрим квадратные диофантовы уравнения вида:

x^(2) – Dy^(2) = 1

К примеру, для D=13, минимальное решение x составляет 649^(2) – 13×180^(2) = 1.

Можно убедиться в том, что не существует целых положительных решений при D равном квадрату целого числа.

Найдя наименьшие значения решений x при D = {2, 3, 5, 6, 7}, мы получили следующее:

3^(2) – 2×2^(2) = 1
2^(2) – 3×1^(2) = 1
9^(2) – 5×4^(2) = 1
5^(2) – 6×2^(2) = 1
8^(2) – 7×3^(2) = 1

Таким образом, рассматривая минимальные решения x при D ≤ 7, было получено наибольшее значение x при D=5.

Найдите значение D ≤ 1000 для минимальных решений x, при котором получено наибольшее значение x.

67

Начиная с вершины представленного ниже треугольника и переходя к прилежащим числам в следующем ряду, максимальная возможная сумма пройденных чисел по пути от вершины до основания равна 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

Т.е., 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Найти максимальную сумму при переходе от вершины до основания треугольника, представленного текстовым файлом размером 15КБ triangle.txt (щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать 'Save Link/Target As...'), в котором содержится треугольник с одной сотней строк.

ПРИМЕЧАНИЕ: Это намного усложненная версия 18-й задачи. Данную задачу нельзя решить, испробовав каждый возможный вариант, поскольку всего их 2^(99)! Если бы удалось проверять один триллион (10^(12)) вариантов в секунду, потребовалось бы двадцать биллионов лет чтобы испробовать их все. Существует эффективный алгоритм решения данной задачи. ;o)

68

Рассмотрим следующее "магическое" треугольное кольцо, заполненное числами от 1 до 6, с суммой на каждой линии равной 9.


Проходя по направлению часовой стрелки, начав с группы с наименьшим внешним узлом (в данном примере: 4,3,2), каждое решение можно описать единственным образом. К примеру, вышеуказанное решение можно описать множеством: 4,3,2; 6,2,1; 5,1,3.

Существует возможность заполнить кольцо с четырьмя различными суммами на линиях: 9, 10, 11 и 12. Всего существует восемь решений.

СуммаМножество решений
94,2,3; 5,3,1; 6,1,2
94,3,2; 6,2,1; 5,1,3
102,3,5; 4,5,1; 6,1,3
102,5,3; 6,3,1; 4,1,5
111,4,6; 3,6,2; 5,2,4
111,6,4; 5,4,2; 3,2,6
121,5,6; 2,6,4; 3,4,5
121,6,5; 3,5,4; 2,4,6

Объединяя элементы каждой группы, можно образовать 9-тизначную строку. Максимальное значение такой строки для треугольного кольца составляет 432621513.

Используя числа от 1 до 10, в зависимости от расположения, можно образовать 16-тизначные и 17-тизначные строки. Каково максимальное значение 16-тизначной строки для "магического" пятиугольного кольца?


69

Функция Эйлера, φ(n) [иногда ее называют фи-функцией] используется для определения количества чисел, меньших n, которые взаимно просты с n. К примеру, т.к. 1, 2, 4, 5, 7 и 8 меньше девяти и взаимно просты с девятью, φ(9)=6.

n Взаимно простые числа φ(n) n/φ(n)
2 1 1 2
3 1,2 2 1.5
4 1,3 2 2
5 1,2,3,4 4 1.25
6 1,5 2 3
7 1,2,3,4,5,6 6 1.1666...
8 1,3,5,7 4 2
9 1,2,4,5,7,8 6 1.5
10 1,3,7,9 4 2.5

Нетрудно заметить, что максимум n/φ(n) наблюдается при n=6, для n ≤ 10.

Найдите значение n ≤ 1 000 000, при котором значение n/φ(n) максимально.

70

Функция Эйлера, φ(n) [иногда ее называют фи-функцией] используется для определения количества чисел, меньших n, которые взаимно просты с n. К примеру, т.к. 1, 2, 4, 5, 7 и 8 меньше девяти и взаимно просты с девятью, φ(9)=6.
Число 1 считается взаимно простым для любого положительного числа, так что φ(1)=1.

Интересно, что φ(87109)=79180, и, как можно заметить, 87109 является перестановкой 79180.

Найдите такое значение n, 1 < n < 10^(7), при котором φ(n) является перестановкой n, а отношение n/φ(n) является минимальным.

71

Рассмотрим дробь n/d, где n и d являются положительными целыми числами. Если n<d и НОД(n,d)=1, то речь идет о сокращенной правильной дроби.

Если перечислить множество сокращенных правильных дробей для d ≤ 8 в порядке возрастания их значений, получим:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Нетрудно заметить, что дробь 2/5 расположена непосредственно слева от дроби 3/7.

Перечислив множество сокращенных правильных дробей для d ≤ 1 000 000 в порядке возрастания их значений, найдите числитель дроби, расположенной непосредственно слева от дроби 3/7.

72

Рассмотрим дробь n/d, где n и d являются положительными целыми числами. Если n<d и НОД(n,d)=1, то речь идет о сокращенной правильной дроби.

Если перечислить множество сокращенных правильных дробей для d ≤ 8 в порядке возрастания их значений, получим:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Нетрудно заметить, что данное множество состоит из 21 элемента.

Из скольки элементов будет состоять множество сокращенных правильных дробей для d ≤ 1 000 000?

73

Рассмотрим дробь n/d, где n и d являются положительными целыми числами. Если n<d и НОД(n,d)=1, то речь идет о сокращенной правильной дроби.

Если перечислить множество сокращенных правильных дробей для d ≤ 8 в порядке возрастания их значений, получим:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Нетрудно заметить, между дробями 1/3 и 1/2 расположены 3 другие дроби.

Сколько дробей расположено между 1/3 и 1/2 в упорядоченном множестве сокращенных правильных дробей для d ≤ 12 000?

Примечание: Верхний предел был недавно изменен.

74

Число 145 известно благодаря такому свойству, что сумма факториалов его цифр равна 145:

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

Возможно, менее известно число 169 - оно создает самую длинную цепочку чисел, которая возвращается к 169. Оказывается, существует только три таких замкнутых цепи:

169 → 363601 → 1454 → 169
871 → 45361 → 871
872 → 45362 → 872

Нетрудно показать, что ЛЮБОЕ начальное число рано или поздно приведет к замыканию цепи. Например,

69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601 ( → 1454)
78 → 45360 → 871 → 45361 (→ 871)
540 → 145 (→ 145)

Начав с 69, мы получим цепь из пяти неповторяющхися членов, но самая длинная цепь, начинающаяся с числа меньше миллиона, имеет шестьдесят неповторяющихся членов.

Сколько существует цепей, начинающихся с числа меньше миллиона, содержащих ровно шестьдесят неповторяющихся членов?


75

Оказывается, что 12 см - наименьшая длина проволоки, сгибая которую, можно получить прямоугольный треугольник с целыми сторонами, притом лишь единственным способом. Есть и другие примеры.

12 см: (3,4,5)
24 см: (6,8,10)
30 см: (5,12,13)
36 см: (9,12,15)
40 см: (8,15,17)
48 см: (12,16,20)

В противоположность этим примерам, существуют такие длины проволоки (к примеру, 20 см), из которых нельзя получить прямоугольный треугольник с целыми сторонами. Другие же длины позволяют найти несколько возможных решений: к примеру, сгибая проволоку длинной 120 см, можно получить ровно три различных прямоугольных треугольника с целыми сторонами.

120 см: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)

Известно, что длина проволоки составляет L. Для скольких значений L ≤ 1 500 000, сгибая проволоку, можно получить ровно один прямоугольный треугольник с целыми сторонами?

Примечание: Эта задача была недавно изменена. Убедитесь в том, что Вы используете правильные параметры.

76

Число 5 можно записать в виде суммы ровно шестью различными способами::

4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

Сколькими различными способами можно записать число 100 в виде суммы по крайней мере двух целых положительных чисел?

77

Число 10 можно записать в виде суммы простых чисел ровно пятью различными способами:

7 + 3
5 + 5
5 + 3 + 2
3 + 3 + 2 + 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2

Какое наименьшее число можно записать в виде суммы простых чисел по крайней мере пятью тысячами различных способов?

78

Пусть p(n) представляет собой число различных способов, которыми можно разделить монеты на несколько столбиков. К примеру, пять монет можно разделить на несколько столбиков ровно семью различными способами, таким образом p(5)=7.

OOOOO
OOOO   O
OOO   OO
OOO   O   O
OO   OO   O
OO   O   O   O
O   O   O   O   O

Найдите наименьшее значение n для которого p(n) делится на один миллион без остатка.

79

Для проведения операций с банковскими счетами онлайн распространен метод безопасности, заключающийся в том, что пользователя просят указать три случайные символа его кода доступа. К примеру, если код доступа пользователя 531278, у него могут попросить ввести 2-й, 3-й и 5-й символы, и ожидаемым ответом будет 317.

В текстовом файле keylog.txt содержится 50 удачных попыток авторизации.

Учитывая, что три символа кода всегда запрашивают по их порядку в коде, проанализируйте файл с целью определения наиболее короткого секретного кода доступа неизвестной длины.

80

Как известно, если квадратный корень натурального числа не является целым числом, то он является иррациональным числом. Разложение таких квадратных корней на десятичные дроби бесконечно и не имеет никакой повторяющейся последовательности.

Квадратный корень из двух равен 1.41421356237309504880..., а сумма его первых ста цифр после запятой равна 475.

Найдите общую сумму первых ста цифр иррациональных квадратных корней для первых ста натуральных чисел.

81

В представленной ниже матрице 5 на 5 путь с минимальной суммой при движении из верхнего левого угла в нижний правый (шагами только либо направо, либо вниз) выделен красным жирным шрифтом. Его сумма равна 2427.


13167323410318
20196342965150
630803746422111
537699497121956
80573252437331

Найдите сумму наименьшего пути, взяв матрицу 80 на 80 из текстового файла matrix.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 31KБ, двигаясь шагами (либо направо, либо вниз) из верхнего левого угла в нижний правый.

82

Примечание: Данная задача является более сложной версией 81-й задачи.

В представленной ниже матрице 5 на 5 путь от любого элемента левого столбца до любого элемента правого столбца, при передвижении шагами вверх, вниз и вправо, с минимальной суммой выделен красным жирным шрифтом. Его сумма равна 994.


13167323410318
20196342965150
630803746422111
537699497121956
80573252437331

Найдите сумму наименьшего пути, взяв матрицу 80 на 80 из текстового файла matrix.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 31KБ, двигаясь шагами (вверх, вниз, вправо) от левого столбца к правому стобцу.

83

Примечание: Данная задача является намного более сложной версией 81-й задачи.

В представленной ниже матрице 5 на 5 путь с минимальной суммой из верхнего левого угла в нижний правый, при передвижении шагами вверх, вниз, вправо или влево, выделен красным жирным шрифтом. Его сумма равна 2297.


13167323410318
20196342965150
630803746422111
537699497121956
80573252437331

Найдите сумму наименьшего пути, взяв матрицу 80 на 80 из текстового файла matrix.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 31KБ, передвигаясь шагами в любых направлениях (вверх, вниз, вправо, влево) из верхнего левого угла в нижний правый.

84

Стандартная доска игры Монополия выглядит следующим образом:

GO A1 CC1 A2 T1 R1 B1 CH1 B2 B3 JAIL
H2   C1
T2   U1
H1   C2
CH3   C3
R4   R2
G3   D1
CC3   CC2
G2   D2
G1   D3
G2J F3 U2 F2 F1 R3 E3 E2 CH2 E1 FP

Игрок начинает на клетке GO и складывает выпавшие на двух шестигранных кубиках числа, чтобы определить количество клеток, которое он должен пройти по часовой стрелке. Пользуясь только этим правилом, вероятность посещения каждой клетки равна 2,5 %. Однако попадание на G2J (Отправляйтесь в тюрьму), CC (Общественный фонд) и CH (Шанс) меняет распределение.

В дополнение к G2J и одной карте в CC и в CH, которые приказывают игроку отправиться в тюрьму, также если игрок выкидывает три дубля подряд, он не двигается в свой третий ход, а отправляется сразу в тюрьму.

В начале игры карты CC и CH перемешиваются. Когда игрок попадает на клетку CC или CH, он берет верхнюю карту с соответствующей колоды и, после выполнения указанных на ней инструкций, возвращает ее в низ колоды. В каждой колоде 16 карт, однако для решения этой задачи важны только карты, связанные с перемещением игрока. Любые другие инструкции игнорируются и игрок остается на той же клетке.

  • Общественный фонд (2/16 карт):
    1. Пройдите к GO
    2. Идите в JAIL
  • Шанс (10/16 карт):
    1. Пройдите к GO
    2. Идите в JAIL
    3. Идите на C1
    4. Идите на E3
    5. Идите на H2
    6. Идите на R1
    7. Пройдите к следующей R (железнодорожная станция)
    8. Пройдите к следующей R
    9. Пройдите к следующей U (коммунальное предприятие)
    10. Вернитесь назад на 3 клетки

Суть этой задачи заключается в вероятности посещения одной конкретной клетки. То есть, вероятность оказаться на этой клетке по завершении хода. Поэтому ясно, что за исключением G2J, чья вероятность посещения равна нулю, клетка CH будет иметь наименьшую вероятность посещения, потому что в 5/8 случаев игроку придется переместиться на другую клетку, а нас интересует именно клетка, на которой завершится ход игрока. Мы также не будем разделять попадание в тюрьму как посетитель или как заключенный, также не берем во внимание правило, что выкинув дубль, игрок выходит из тюрьмы - предположим, что игроки платят за выход из тюрьмы на следующий же ход после попадания в нее.

Начиная с GO и последовательно нумеруя клетки от 00 до 39, мы можем соединить эти двузначные числа, чтобы получить соответствующую определенному множеству клеток строку.

Статистически можно показать, что три наиболее популярных клетки будут JAIL (6,24%) = Клетка 10, E3 (3,18%) = Клетка 24, и GO (3,09%) = Клетка 00. Итак, их можно перечислить как строку из шести цифр: 102400.

Найдите такую шестизначную строку, если игроки будут использовать вместо двух шестигранных кубиков два четырехгранных.

85

Внимательно сосчитав, можно понять, что в прямоугольной сетке 3 на 2 содержится восемнадцать прямоугольников:

Несмотря на то, что не существует такой прямоугольной сетки, которая содержит ровно два миллиона прямоугольников, найдите площадь сетки с ближайшим количеством прямоугольников.

86

Паук S сидит в одном углу комнаты в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 6 на 5 на 3, а муха F сидит в противоположном углу. Путешествуя по поверхностям комнаты, кратчайший путь "по прямой" от S до F имеет длину 10 и показан на рисунке ниже.


Однако, в любом прямоугольном параллелепипеде существует до трех кандидатов на "кратчайший" путь, и кратчайший путь не всегда имеет целую длину.

Рассматривая все комнаты в форме прямоугольного параллелепипеда с максимальными размерами M на M на M, существует ровно 2060 прямоугольных параллелепипедов, для которых кратчайшее расстояние - целое число, при M = 100, и это - наименьшее значение M, при котором количество решений превышает две тысячи: при M = 99 количество решений равно 1975.

Найдите наименьшее значение M, при котором количество решений превышает один миллион.

87

Наименьшее число, которое можно представить в виде суммы квадрата простого числа, куба простого числа и четвертой степени простого числа, равно 28. Между прочим, существует ровно 4 таких числа меньше пятидесяти, которые можно представить в виде суммы указанным способом:

28 = 2^(2) + 2^(3) + 2^(4)
33 = 3^(2) + 2^(3) + 2^(4)
49 = 5^(2) + 2^(3) + 2^(4)
47 = 2^(2) + 3^(3) + 2^(4)

Сколько чисел до пятидесяти миллионов можно представить в виде суммы квадрата, куба и четвертой степени простых чисел?

88

Каждое натуральное число N, которое можно записать как в виде суммы, так и в виде произведения элементов множества, состоящего из по крайней мере двух натуральных чисел {a_(1), a_(2), ... , a_(k)}, называется числом произведения-суммы: N = a_(1) + a_(2) + ... + a_(k) = a_(1) × a_(2) × ... × a_(k).

К примеру, 6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.

Для заданного множества размером k мы будем называть наименьшее число N, обладающее данным свойством, наименьшим числом произведения-суммы. Наименьшими числами произведения-суммы множеств размером k = 2, 3, 4, 5 и 6 являются следующие числа:

k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2
k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3
k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4
k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6

Отсюда следует, что сумма всех минимальных чисел произведения-суммы при 2≤k<6 равна 4+6+8+12 = 30. Обратите внимание на то, что число 8 учитывалось в сумме лишь один раз.

Т.к. множеством минимальных чисел произведения-суммы при 2≤k<12 является {4, 6, 8, 12, 15, 16}, то их сумма равна 61.

Какова сумма всех минимальных чисел произведения-суммы при 2≤k<12000?

89

Правила записи чисел римскими цифрами позволяют записывать одно и то же число несколькими способами (см. FAQ: Римские числа). Однако, всегда существует "наилучший" способ записи определенного числа.

К примеру, ниже представлены все разрешенные способы записи числа шестнадцать:

IIIIIIIIIIIIIIII
VIIIIIIIIIII
VVIIIIII
XIIIIII
VVVI
XVI

Последнее из них считается наиболее эффективным, поскольку использует наименьшее число римских цифр.

В текстовом файле roman.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 11KБ тысяча чисел записана римскими цифрами правильным, но не обязательно наилучшим способом, т.е. они отсортированы в порядке убывания и подчиняются правилу вычитания пар (для информации об определяющих правилах данной задачи см. FAQ).

Найдите число символов, сэкономленных путем перезаписи каждого числа в его наиболее короткий вид.

Примечание: Можете считать, что все числа в файле содержат не более четырех последовательных одинаковых цифр.

90

На грани кубика нанесены разные цифры (от 0 до 9). То же сделано со вторым кубиком. По-разному располагая два кубика рядом, можно получить различные двузначные числа.

К примеру, можно получить число-квадрат 64:


Между прочим, внимательно выбирая цифры обоих кубиков, можно получить все возможные квадраты меньше сотни: 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64 и 81.

К примеру, один из способов достижения такой цели - нанести цифры {0, 5, 6, 7, 8, 9} на грани одного кубика, а на грани второго - цифры {1, 2, 3, 4, 8, 9}.

Однако, в данной задаче мы разрешаем переворачивать 6 и 9, таким образом, нанеся на грани одного кубика цифры {0, 5, 6, 7, 8, 9}, а на грани другого - {1, 2, 3, 4, 6, 7}, можно получить все девять квадратов. В противном случае невозможно получить 09.

Определяя отдельные порядки нанесения цифр на кубики, нас интересуют только цифры на гранях каждого из них, а не их порядок следования.

{1, 2, 3, 4, 5, 6} равносильно {3, 6, 4, 1, 2, 5}
{1, 2, 3, 4, 5, 6} отличается от {1, 2, 3, 4, 5, 9}

Однако, т.к. мы разрешили переворачивать 6 и 9, оба различных множества предыдущего примера представляют расширенное множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} для получения двузначных чисел.

Сколько различных порядков нанесения цифр на кубики дают возможность получения всех квадратов?

91

Точки P (x_(1), y_(1)) и Q (x_(2), y_(2)) находятся на целых координатах и соединены с началом координат O(0,0), образуя треугольник ΔOPQ.


Существует ровно четырнадцать треугольников с прямым углом, которые можно получить для целых координат в пределах от 0 до 2 включительно, т.е.
0 ≤ x_(1), y_(1), x_(2), y_(2) ≤ 2.


При данных 0 ≤ x_(1), y_(1), x_(2), y_(2) ≤ 50, сколько прямоугольных треугольников можно построить?

92

Последовательность чисел получается путем сложения квадратов цифр предыдущего числа до тех пор, пока не получится уже встречавшееся ранее число.

К примеру,

44 → 32 → 13 → 10 → 11
85 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89

Таким образом, любая последовательность, приводящая к получению 1 или 89, замкнется в бесконечный цикл. Самое удивительное, что ЛЮБОЕ начальное число рано или поздно даст 1 или 89.

Сколько начальных чисел меньше десяти миллионов приведут к получению 89?

93

Используя каждую из цифр множества {1, 2, 3, 4} только один раз, с помощью четырех арифметических действий (+, −, *, /) и скобок можно получить различные положительные целые числа.

К примеру,

8 = (4 * (1 + 3)) / 2
14 = 4 * (3 + 1 / 2)
19 = 4 * (2 + 3) − 1
36 = 3 * 4 * (2 + 1)

Обратите внимание, что объединять цифры, вроде 12 + 34, не разрешается.

Используя множество {1, 2, 3, 4}, можно получить тридцать одно отличное число, среди которых наибольшим является 36. Помимо этого, до обнаружения первого числа, которое нельзя выразить данным способом, были получены все числа от 1 до 28.

Найдите множество четырех отличных цифр a < b < c < d, с помощью которых можно получить максимально длинное множество последовательных натуральных чисел от 1 до n. Ответ дайте объединив числа в строку: abcd.

94

Легко показать, что существуют неравносторонние треугольники с целыми сторонами и площадью. Однако, площадь почти равностороннего треугольника со сторонами 5-5-6 равна 12 квадратным единицам.

Определим почти равносторонний треугольник как равнобедренный треугольник, у которого основание отличается от боковой стороны не более чем на одну единицу.

Найдите сумму периметров всех почти равносторонних треугольников с целыми боковыми сторонами и площадью, периметр каждого из которых не превышает один миллиард (1 000 000 000).

95

Собственными делителями числа являются все его делители, за исключением самого числа. К примеру, собственными делителями числа 28 являются 1, 2, 4, 7 и 14. Т. к. сумма этих делителей равна 28, будем называть такое число идеальным.

Интересно, что сумма всех собственных делителей числа 220 равна 284, а сумма всех собственных делителей числа 284 равна 220, образуя цепочку их двух чисел. Поэтому числа 220 и 284 называются парой дружественных чисел.

Менее известны цепочки большей длины. К примеру, начиная с числа 12496, образуется цепочка из 5 чисел:

12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 (→ 12496 → ...)

Т. к. эта цепочка оканчивается тем же числом, которым она начиналась, ее называют цепочкой дружественных чисел.

Найдите наименьший член самой длинной цепочки дружественных чисел, ни один элемент которой не превышает один миллион.

96

Су Доку (по-японски значит место числа) - название популярной головоломки. Ее происхождление неизвестно, однако нужно отдать должное Леонарду Эйлеру, который придумал идею похожей, но более сложной головоломки под названием Латинские Квадраты. Целью Су Доку является заменить пустые места (или нули) в сетке 9 x 9 цифрами таким образом, чтобы в каждой строке, колонке и квадрате 3 x 3 содержались все цифры от 1 до 9. Ниже приведен пример типичной исходной головоломки и ее решение.

0 0 3
9 0 0
0 0 1
0 2 0
3 0 5
8 0 6
6 0 0
0 0 1
4 0 0
0 0 8
7 0 0
0 0 6
1 0 2
0 0 0
7 0 8
9 0 0
0 0 8
2 0 0
0 0 2
8 0 0
0 0 5
6 0 9
2 0 3
0 1 0
5 0 0
0 0 9
3 0 0

4 8 3
9 6 7
2 5 1
9 2 1
3 4 5
8 7 6
6 5 7
8 2 1
4 9 3
5 4 8
7 2 9
1 3 6
1 3 2
5 6 4
7 9 8
9 7 6
1 3 8
2 4 5
3 7 2
8 1 4
6 9 5
6 8 9
2 5 3
4 1 7
5 1 4
7 6 9
3 8 2

Правильно составленная головоломка Су Доку имеет единственное решение и может быть решена с помощью логики, однако иногда необходимо применять метод "гадай и проверяй", чтобы исключить неверные варианты (существует очень спорное мнение по этому поводу). Сложность поиска определяет уровень головоломки. Приведенный выше пример считается легким, так как его можно решить прямой дедукцией.

6 КБ текстовый файл sudoku.txt (правый клик и Save Link/Target As...) содержит пятьдесят разных головоломок Су Доку различной сложности, но каждая имеет единственное решение (первая головоломка в файле рассмотрена выше).

Решив все пятьдесят головоломок, найдите сумму трехзначных чисел, находящихся в верхнем левом углу каждого решения. Например, 483 является трехзначным числом, находящимся в верхнем левом углу приведенного выше решения.

97
Body:

Первое из известных простых чисел, длина которого превышает миллион цифр, было открыто в 1999 году. Это - простое число Мерсенна, имеющее вид 2^(6972593)−1; оно состоит ровно из 2 098 960 цифр. Позже были найдены другие простые числа Мерсенна, имеющие вид 2^(p)−1, длина которых еще больше.

Однако, в 2004 году было найдено огромное простое число, не являющееся числом Мессена, которое состоит из 2 357 207 цифр: 28433×2^(7830457)+1.

Найдите последние десять цифр этого простого числа.

98

Заменяя каждую из букв слова "CARE" цифрами 1, 2, 9 и 6, соответственно, получим квадратное число: 1296 = 36^(2). Примечательно, что после осуществления такой подстановки в слове "RACE", также получается квадратное число: 9216 = 96^(2). Слова "CARE" и "RACE" впредь будем называть парой слов - квадратных анаграмм. Помимо этого, решим, что ведущие нули не разрешены, а также что ни одной букве нельзя присвоить цифру, уже присвоенную другой букве.

В текстовом файле words.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 16KБ содержится около двух тысяч распространенных английских слов. Найдите все пары слов - квадратных анаграмм (слово-палиндром не считается своей же анаграммой).

Каким будет наибольшее квадратное число, полученное из любого слова такой пары?

Примечание: Все образованные анаграммы должны содержаться в указанном текстовом файле.

99

Сравнить два числа, записанных в виде степени, как, например, 2^(11) и 3^(7), не так уж трудно, поскольку любой калькулятор подтвердит, что 2^(11) = 2048 < 3^(7) = 2187.

Однако, гораздо сложнее подтвердить, что 632382^(518061) > 519432^(525806), поскольку каждое из чисел содержит более трех миллионов цифр.

Текстовый файл base_exp.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 22КБ содержит тысячу строк с парами основание/показатель степени на каждой строке. Определите номер строки, в которой записано самое большое по своему значению число.

Примечание: Первые две строки файла - числа из примера, приведенного выше.

100

Пусть в коробке лежит двадцать один диск, среди которых пятнадцать окрашены в синий цвет и остальные шесть - в красный. Из коробки случайным образом взяли два диска. Нетрудно показать, что вероятность достать два синих диска равна P(BB) = (15/21)×(14/20) = 1/2.

Следующий вариант условия задачи с ровно 50%-ным шансом случайным образом достать 2 синих диска - это коробка с 85 синими дисками и 35 красными.

Найдите первое условие задачи для общего числа дисков больше 10^(12) = 1 000 000 000 000, и определите количество дисков, находящихся в коробке.

101

Если нам известны первые k членов некоторой последовательности, то это еще не значит, что мы сможем с уверенностью определить значение следующего члена, поскольку существует бесконечное множество полиномиальных функций, которыми можно описать такую последовательность.

К примеру, рассмотрим последовательность чисел-кубов. Такую последовательность можно определить образующей функцией:
u_(n) = n^(3): 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...

Предположим, что нам известны только два первых члена такой последовательности. Руководствуясь принципом "чем проще, тем лучше", мы предполагаем линейную зависимость и предсказываем следующее значение равным 15 (общая разность равна 7). Даже если нам известны первые три члена последовательности, согласно тому же принципу простоты, следует предположить квадратичную зависимость.

Определим OP(k, n) как n-ый член оптимальной полиномиальной образующей функции для первых k членов последовательности. Очевидно, что OP(k, n) даст точные значения членов последовательности при nk, а первым неверным членом будет OP(k, k+1). В таком случае полиномиальную функцию назовем плохой.

В частности, если бы нам был известен только первый член последовательности, наиболее разумным было бы предположить постоянство; т.е. при n ≥ 2, OP(1, n) = u_(1).

Таким образом, получим следующие значения OP(k, n) для последовательности кубов:

OP(1, n) = 1 1, 1, 1, 1, ...
OP(2, n) = 7n−6 1, 8, 15, ...
OP(3, n) = 6n^(2)−11n+6      1, 8, 27, 58, ...
OP(4, n) = n^(3) 1, 8, 27, 64, 125, ...

Понятно, что при k ≥ 4 не существует ни одной плохой полиномиальной функции.

Рассмотрим сумму значений первых неверных членов, которые образованы плохими полиномиальными функциями (отмечены выше красным). Получим: 1 + 15 + 58 = 74.

Дана следующая полиномиальная образующая функция 10-й степени:

u_(n) = 1 − n + n^(2)n^(3) + n^(4)n^(5) + n^(6)n^(7) + n^(8)n^(9) + n^(10)

Найдите сумму значений первых неверных членов, которые образованы плохими полиномиальными функциями.

102

На декартову координатную плоскость случайным образом нанесены три точки, координаты которых -1000 ≤ x, y ≤ 1000. В итоге образуется треугольник.

Рассмотрим следующие два треугольника:

A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)

Нетрудно убедиться в том, что треугольник ABC содержит внутри себя начало координат, а треугольник XYZ - нет.

Найдите, сколько из перечисленных в текстовом файле triangles.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 27KБ тысячи "случайных" треугольников, содержат внутри себя начало координат.

Примечание: первые две строки данного файла представляют собой координаты точек для двух рассмотренных выше треугольников.

103

Пусть S(A) представляет собой сумму элементов множества А размером n. Будем называть это множество особым суммарным множеством, если для любых двух непустых и непересекающихся подмножеств B и C справедливо следующее:

  1. S(B) ≠ S(C); т.е. суммы элементов подмножеств не могут быть равными.
  2. Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).

Если минимизировать сумму S(A) при заданном значении n, получим оптимальное особое суммарное множество. Ниже даны первые пять оптимальных особых суммарных множеств.

n = 1: {1}
n = 2: {1, 2}
n = 3: {2, 3, 4}
n = 4: {3, 5, 6, 7}
n = 5: {6, 9, 11, 12, 13}

Похоже на то, что для заданного оптимального множества A = {a_(1), a_(2), ... , a_(n)}, следующим оптимальным множеством будет множество вида B = {b, a_(1)+b, a_(2)+b, ... ,a_(n)+b}, где b - "средний" элемент предыдущей строки.

Применяя данное "правило", можно было бы ожидать, что оптимальным множеством при n = 6 станет A = {11, 17, 20, 22, 23, 24}, у которого S(A) = 117. Однако, данное множество не является оптимальным, поскольку мы всего-лишь применили алгоритм нахождения близкого к оптимальному множества. Оптимальным множеством при for n = 6 будет A = {11, 18, 19, 20, 22, 25}, у которого S(A) = 115. Этому множеству соответствует строка 111819202225.

Дано, что A является оптимальным особым суммарным множеством при n = 7. Найдите строку, соответствующую этому множеству.

Примечание: Данная задача имеет также отношение к задачам №105 и №106.

104

Последовательность Фибоначчи определяется следующим рекуррентным выражением:

F_(n) = F_(n−1) + F_(n−2), где F_(1) = 1 и F_(2) = 1.

Оказывается, что число F_(541), состоящее из 113 цифр, является первым числом Фибоначчи, у которого последние девять цифр образуют пан-цифровое число с цифрами от 1 до 9 (оно содержит все цифры от 1 до 9, но не обязательно в порядке возрастания). А число F_(2749), состоящее из 575 цифр, является первым числом Фибоначчи, у которого первые девять цифр образуют пан-цифровое число с цифрами от 1 до 9.

Известно, что число F_(k) является первым числом Фибоначчи, у которого как первые, так и последние девять цифр образуют пан-цифровые числа. Найдите k.

105

Пусть S(A) представляет собой сумму элементов множества А размером n. Будем называть это множество особым суммарным множеством, если для любых двух непустых и непересекающихся подмножеств B и C справедливо следующее:

  1. S(B) ≠ S(C); т.е. суммы элементов подмножеств не могут быть равными.
  2. Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).

К примеру, {81, 88, 75, 42, 87, 84, 86, 65} не является особым суммарным множеством, поскольку 65 + 87 + 88 = 75 + 81 + 84. В свою очередь, {157, 150, 164, 119, 79, 159, 161, 139, 158} удовлетворяет обоим правилам для всех возможных комбинаций пар подмножеств и его S(A) = 1286.

В текстовом файле sets.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 4KБ записана сотня множеств, содержащих от семи до двенадцати элементов (два примера, рассмотренные выше, являются первыми двумя множествами в файле). Найдите все особые суммарные множества A_(1), A_(2), ..., A_(k) и найдите значение S(A_(1)) + S(A_(2)) + ... + S(A_(k)).

Примечание: Данная задача имеет также отношение к задачам №103 и №106.

106

Пусть S(A) представляет собой сумму элементов множества А размером n. Будем называть это множество особым суммарным множеством, если для любых двух непустых и непересекающихся подмножеств B и C справедливо следующее:

  1. S(B) ≠ S(C); т.е. суммы элементов подмножеств не могут быть равными.
  2. Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).

Для этой задачи предположим, что данное множество состоит из n строго возрастающих элементов и оно уже соответствует второму правилу.

К удивлению, из 25 возможных пар подмножеств, которые можно получить из множества при n = 4, лишь одну из них надо проверить на равенство (первое условие). Подобным образом, при n = 7, лишь 70 из 966 пар подмножеств надо проверить на равенство.

Сколько пар подмножеств необходимо проверить на равенство из общего числа 261625 пар, которые можно образовать при n = 12?

Примечание: Данная задача имеет также отношение к задачам №103 и №105.

107

Представленная ниже ненаправленная сеть состоит из семи вершин и двенадцати граней, общий вес которых равен 243.


Ту же сеть можно представить в виде матрицы, как это показано ниже.

    ABCD EFG
A-161221---
B16--1720--
C12--28-31-
D211728-181923
E-20-18--11
F--3119--27
G---231127-

Однако, данную сеть можно оптимизировать, убрав из нее несколько граней таким образом, чтобы все вершины сети оставались соединенными в одну сеть. Наиболее экономичный вариант такой сети показан ниже. Общий вес ее граней равен 93, что на 243 − 93 = 150 меньше, чем у исходной сети.


В текстовом файле network.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 6KБ в виде матрицы задана сеть, у которой сорок вершин. Найдите наибольший выигрыш в суммарном весе граней, который можно достигнуть, удаляя избыточные грани так, чтобы в то же время все узлы оставались соединенными в одну сеть.

108

В представленном ниже равенстве x, y и n являются целыми положительными числами.

1

x
+
1

y
=
1

n

При n = 4 существуют ровно три различных решения:

1

5
+
1

20
=
1

4
1

6
+
1

12
=
1

4
1

8
+
1

8
=
1

4

Каково наименьшее значение n, при котором число различных решений превышает одну тысячу?

Примечание: Данная задача является более простым вариантом 110 -й задачи. Перед тем, как браться за нее, настоятельно рекомендуем Вам решить данную задачу.

109

Играя в "Дартс", игрок бросает три дротика в мишень, разделенную на двадцать секций одинакового размера, которые пронумерованы от одного до двадцати.


Очки за попадание дротика определяются номером секции, в которую он попал. Дротик, попавший за пределы зеленого/красного внешнего кольца получает ноль очков. Области черного и бежевого цвета, заключенные внутри этого кольца начисляют очки этого сектора. В свою очередь, попадание в зеленое/красное внешнее или среднее кольцо начисляет двойные и тройные очки соответственно.

В центре мишени расположены два концентрических круга, которые называют "яблочком". За попадание во внешний круг "яблочка" начисляют 25 очков, а за попадание во внутренний - в два раза больше, т. е. 50 очков.

Существует много различных вариантов правил игры, но наиболее популярной является игра, при которой игроки начинают со счета 301 или 501, и, кто первый уменьшит свои общие очки до нуля, тот и победил. Однако, часто принято играть по системе "броском в удвоение ", согласно которой игрок должен бросить последний дротик в зону удвоенных очков (в том числе и "яблочко" в центре мишени). Любое другое попадание, уменьшившее очки игрока до единицы или нижк, приведет к тому, что очки за этот подход из трех дротиков "прогорают".

Когда текущие очки игрока позволяют закончить игру в один ход, это называется "выписыванием", и наибольшее возможное выписывание составляет 170: T20 T20 D25 (две тройные 20-ки и удвоенное "яблочко").

Существует ровно одиннадцать различных способов выписаться с 6 очков:


D3

 

 
D1 D2  
S2 D2  
D2 D1  
S4 D1  
S1 S1 D2
S1 T1 D1
S1 S3 D1
D1 D1 D1
D1 S2 D1
S2 S2 D1

Обратите внимание на то, что D1 D2 отличается от D2 D1, т. к. они оканчиваются разными удвоенными значениями. В свою очередь, S1 T1 D1 не отличается от T1 S1 D1.

Помимо этого, рассматривая возможные комбинации, мы не будем учитывать промахи. К примеру, D3 эквивалентно 0 D3 и 0 0 D3.

Невероятно, но всего существует 42336 различных способов выписаться.

Сколькими различными способами игрок может выписаться с менее, чем 100 очками?

110

В представленном ниже равенстве x, y и n являются целыми положительными числами.

1

x
+
1

y
=
1

n

При n = 4 существуют ровно три различных решения:

1

5
+
1

20
=
1

4
1

6
+
1

12
=
1

4
1

8
+
1

8
=
1

4

Нетрудно убедиться в том, что при n = 1260 существует 113 различных решений, и это значение n является наименьшим, при котором общее число решений превышает одну сотню.

Чему равно наименьшее значение n, при котором число различных решений превышает четыре миллиона?

Примечание: Данная задача намного сложнее 108-й задачи, и, поскольку для прямого подбора требуются куда большие вычислительные возможности, чем существуют на сегодняшний день, необходима грамотная реализация решения.

111

Рассматривая четырехзначные простые числа с повторяющимися цифрами, становится очевидным, что все цифры не могут быть одинаковыми: 1111 делится без остатка на 11, 2222 без остатка на 22, и так далее. Но существует девять четырехзначных чисел, которые имеют 3 единицы:

1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111

Будем считать, что M(n, d) показывает максимальное количество повторений цифры в n-значном простом числе, где d - повторяющаяся цифра, N(n, d) указывает на количество таких простых чисел, а S(n, d) равно сумме всех таких простых чисел.

Таким образом, M(4, 1) = 3 является максимальным числом повторения цифр четырехзначного простого числа, сама повторяющаяся цифра является единицей, и существует N(4, 1) = 9 таких простых чисел, сумма которых равна S(4, 1) = 22275. Оказывается, что для цифры d = 0 можно получить повторение этой цифры всего два раза, однако количество таких простых чисел равно N(4, 0) = 13

Аналогичным способом получим следующие результаты для четырехзначных простых чисел.

Цифра, d M(4, d) N(4, d) S(4, d)
0 2 13 67061
1 3 9 22275
2 3 1 2221
3 3 12 46214
4 3 2 8888
5 3 1 5557
6 3 1 6661
7 3 9 57863
8 3 1 8887
9 3 7 48073

При значениях d от 0 до 9, сумма всех S(4, d) равна 273700.

Найдите сумму всех S(10, d).

112

Если, читая число слева направо, ни одна цифра не превышает цифру справа от нее, то такое число называется возрастающим; например, 134468.

Таким же образом, если ни одна цифра не превышает цифру слева от нее, число называется убывающим; например, 66420.

Назовем положительное целое число, не являющееся ни убывающим, ни возрастающим, "прыгучим" числом; например, 155349.

Очевидно, не существует прыгучих чисел меньше ста, однако больше половины чисел до одной тысячи (525) являются прыгучими. Вообще, первое число, пропорция прыгучих чисел до которого достигает 50% - это 538.

Удивительно, но далее прыгучие числа становятся все более и более распространенными, и когда мы достигнем 21780, пропорция прыгучих чисел будет равна 90%.

Найдите наименьшее число, пропорция прыгучих чисел до которого составляет ровно 99%.

113

Если, читая число слева направо, ни одна цифра не превышает цифру справа от нее, то такое число называется возрастающим; например, 134468.

Таким же образом, если ни одна цифра не превышает цифру слева от нее, число называется убывающим; например, 66420.

Назовем положительное целое число, не являющеся ни убывающим, ни возрастающим, "прыгучим" числом; например, 155349.

При увеличении n увеличивается пропорция прыгучих чисел меньше n. Таким образом, существует только 12951 непрыгучее число до миллиона, и только 277032 непрыгучих числа до 10^(10).

Сколько чисел меньше гугола (10^(100)) не являются "прыгучими"?

114

В ряд в семь единиц длиной помещены красные блоки длиной как минимум три единицы так, что любые два красных блока (которые могут быть и разной длины) разделены между собой хотя бы одним черным квадратом. Существует ровно семнадцать способов этого достичь.

 

Сколькими способами может быть заполнен ряд длиной в пятьдесят единиц?

ПРИМЕЧАНИЕ: Несмотря на то, что в примере выше это невозможно проиллюстрировать, в общем случае разрешено использовать блоки разной длины. Например, ряд длиной в восемь единиц может быть заполнен так: красный (3), черный (1), красный (4).

115

ПРИМЕЧАНИЕ: это - более сложный вариант задачи 114.

В ряд длиной n единиц помещены красные блоки длиной по крайней мере m единиц так, что любые два красных блока (длины которых могут и отличаться) разделены между собой хотя бы одним черным квадратом.

Пусть функция числа заполнений F(m, n) указывает количество способов, которыми можно заполнить ряд.

К примеру, F(3, 29) = 673135 и F(3, 30) = 1089155.

Это значит, что при заданном значении m = 3, значение n = 30 является наименьшим, при котором значение функции числа заполнений превышает один миллион.

Аналогичным образом, при заданном значении m = 10, можно убедиться в том, что F(10, 56) = 880711 и F(10, 57) = 1148904, так что n = 57 является наименьшим значением, при котором значение функции числа заполнений превышает один миллион.

Дано, что m = 50. Найдите наименьшее значение n, при котором значение функции числа заполнений превысит один миллион.

116

В ряду черных квадратных плиток заменяют часть плиток цветными продолговатыми плитками, выбирая из красных (длиной две единицы), зеленых (длиной три) и синих (длиной четыре).

Если выбрать красные плитки, то замену можно осуществить ровно семью способами

 

Если выбрать зеленую плитку - таких способов только три.

 

И, наконец, если выбрать синюю плитку, то способов всего два.

Учитывая, что плитки нельзя смешивать, заменить черную плитку ряда длиной пять единиц можно всего 7 + 3 + 2 = 12 способами.

Сколькими способами можно заменить черную плитку из ряда длиной пятьдесят единиц на цветную, если плитки разных цветов нельзя смешивать и необходимо установить по крайней мере одну цветную плитку?

Примечание: Эта задача похожа на 117-ю задачу.

117

Комбинируя черные квадратные плитки с продолговатыми разноцветными: красными длиной две единицы, зелеными длиной три единицы и синими плитками длиной четыре единицы, можно покрыть ряд длиной в пять единиц ровно пятнадцатью различными способами.

 

Сколькими способами можно покрыть плиткой ряд длиной в пятьдесят единиц?

Примечание: Эта задача похожа на 116-ю задачу.

118

Используя все цифры от 1 до 9 только один раз и объединяя их в произвольном порядке для получения десятичных целых чисел, можно образовать различные множества. Интересен случай множества {2,5,47,89,631}, в котором все элементы являются простыми числами.

Сколько можно образовать различных множеств, состоящих только из простых элементов и в которых каждая цифра встречается только один раз?

119

Интересно число 512, поскольку оно является суммой своих цифр, возведенной в некоторую степень: 5 + 1 + 2 = 8, и 8^(3) = 512. Другой пример числа с такими свойствами 614656 = 28^(4).

Определим a_(n) как n-й член этой последовательности и подчеркнем, что число должно состоять хотя бы из двух цифр, чтобы образовать сумму.

Дано, что a_(2) = 512 и a_(10) = 614656.

Найдите a_(30).

120

Пусть r будет остатком от деления (a−1)^(n) + (a+1)^(n) на a^(2).

К примеру, если a = 7 и n = 3, то r = 42: 6^(3) + 8^(3) = 728 ≡ 42 mod 49. При изменении n будет изменяться и r, однако, для a = 7 оказывается, что r_(max) = 42.

Найдите r_(max) для 3 ≤ a ≤ 1000, .

121

В сумке лежит один красный диск и один синий диск. Азартная игра с дисками заключается в том, что игрок случайным образом достает один диск и записывает его цвет. После каждого хода диск возвращается в сумку, куда добавляется дополнительный красный диск. После этого процесс повторяется – игрок случайным образом достает новый диск.

Игрок платит £1 за игру и выигрывает, если к концу игры достает больше синих дисков, чем красных.

Если игра состоит из 4 ходов, вероятность выигрыша для игрока составляет 11/120, поэтому максимальный призовой фонд в данном случае должен составлять £10 во избежание убытка крупье. Отметим, что любая выплата производится целым числом фунтов стерлингов, а также включает в себя стоимость игры в размере £1, так что в данном примере игрок выиграет £9.

Найдите максимальный призовой фонд для одной игры с 15 ходами.

122

Наиболее простой способ нахождения n^(15) требует выполнения 14 умножений:

n × n × ... × n = n^(15)

Если воспользоваться "двойным" методом, n^(15) можно найти, выполнив 6 умножений:

n × n = n^(2)
n^(2) × n^(2) = n^(4)
n^(4) × n^(4) = n^(8)
n^(8) × n^(4) = n^(12)
n^(12) × n^(2) = n^(14)
n^(14) × n = n^(15)

Однако, количество умножений можно еще уменьшить – до 5 умножений:

n × n = n^(2)
n^(2) × n = n^(3)
n^(3) × n^(3) = n^(6)
n^(6) × n^(6) = n^(12)
n^(12) × n^(3) = n^(15)

Определим m(k) как минимальное количество умножений для нахождения n^(k). К примеру, m(15) = 5.

Найдите m(k) для 1 ≤ k ≤ 200.

123

Пусть p_(n)n-й член последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, ..., а r – остаток от деления (p_(n)−1)^(n) + (p_(n)+1)^(n) на p_(n)^(2).

К примеру, при n = 3, p_(3) = 5, и 4^(3) + 6^(3) = 280 ≡ 5 mod 25.

Наименьшее значение n, при котором остаток превышает 10^(9), составляет 7037.

Найдите наименьшее значение n, при котором остаток превышает 10^(10).

124

Радикалом числа n, rad(n), является произведение уникальных простых множителей числа n. К примеру, 504 = 2^(3) × 3^(2) × 7, таким образом, rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42.

Если подсчитать rad(n) для 1n ≤ 10 и упорядочить их по rad(n), а затем по n для одинаковых значений радикалов, получим

Неупорядоченная функция
 
Упорядоченная функция

n

rad(n)


n

rad(n)

k
1
1
 
1
1
1
2
2
 
2
2
2
3
3
 
4
2
3
4
2
 
8
2
4
5
5
 
3
3
5
6
6
 
9
3
6
7
7
 
5
5
7
8
2
 
6
6
8
9
3
 
7
7
9
10
10
 
10
10
10

Пусть E(k) – k-ый элемент в упорядоченной колонне n; к примеру, E(4) = 8, а E(6) = 9.

Найдите E(10000), если функция rad(n) упорядочена для 1 ≤ n ≤ 100000.

125

Число-палиндром 595 интересно тем, что его можно записать в виде суммы последовательных квадратов: 6^(2) + 7^(2) + 8^(2) + 9^(2) + 10^(2) + 11^(2) + 12^(2).

Существует ровно одиннадцать чисел-палиндромов меньше тысячи, которые можно записать в виде суммы последовательных квадратов. Сумма этих одиннадцати чисел равна 4164. Заметим, что 1 = 0^(2) + 1^(2) не входит в их число, поскольку в данной задаче рассматриваются только квадраты положительных целых чисел.

Найдите сумму всех чисел меньше 10^(8), которые являются палиндромами и могут быть записаны в виде суммы последовательных квадратов.

126

Минимальное количество единичных кубов, необходимое для покрытия всех видимых граней прямоугольного параллелепипеда размерами 3 x 2 x 1, составляет двадцать два.


Если мы добавим второй слой кубов на полученное тело, то потребуется еще сорок шесть кубов для покрытия каждой видимой грани. Для третьего слоя понадобится еще семьдесят восемь кубов, а для четвертого – сто восемнадцать кубов, покрывающих каждую грань тела.

Однако, для покрытия граней прямоугольного параллелепипеда размерами 5 x 1 x 1 первым слоем, требуются те же двадцать два куба; похожим образом, для первого слоя каждого из прямоугольных параллелепипедов размерами 5 x 3 x 1, 7 x 2 x 1, и 11 x 1 x 1 требуется сорок шесть кубов.

Определим C(n) как число прямоугольных параллелепипедов, содержащих n кубов в одном из своих слоев. Таким образом, C(22) = 2, C(46) = 4, C(78) = 5, и C(118) = 8.

Оказывается, что 154 – наименьшее значение n, при котором C(n) = 10.

Найдите наименьшее значение n, при котором C(n) = 1000.

127

Радикалом числа n, rad(n), называют произведение простых множителей этого числа. К примеру, 504 = 2^(3) × 3^(2) × 7, так что rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42.

Определим тройку положительных целых чисел (a, b, c) как abc-совпадение, если:

  1. НОД(a, b) = НОД(a, c) = НОД(b, c) = 1
  2. a < b
  3. a + b = c
  4. rad(abc) < c

К примеру, (5, 27, 32) является abc-совпадением, т.к.:

  1. НОД(5, 27) = НОД(5, 32) = НОД(27, 32) = 1
  2. 5 < 27
  3. 5 + 27 = 32
  4. rad(4320) = 30 < 32

Оказывается, что abc-совпадения достаточно редки и существует всего тридцать одно abc-совпадение при значениях c < 1000 с соответствующей c = 12523.

Найдите c при c < 120000.

Примечание: Данная задача была недавно изменена. Убедитесь в том, что Вы используете верные параметры.

128

Шестиугольная плитка с номером 1 окружена кольцом из шести других шестиугольных плиток, которые нумеруются от 2 до 7 против часовой стрелки, начиная с плитки, находящейся ровно сверху от 1.

Новые кольца из плиток, которые добавляются по тому же принципу, нумеруются числами от 8 до 19, от 20 до 37, от 38 до 61, и т.д. На рисунке ниже показаны первые 3 кольца.

Найдем разности между плиткой n и каждой из шести соседних плиток и определим PD(n) как число разностей, являющихся простыми числами.

К примеру, идя по часовой стрелке вокруг плитки 8, разности равны: 12, 29, 11, 6, 1 и 13. Таким образом, PD(8) = 3.

Подобным образом, разности вокруг плитки 17 равны: 1, 17, 16, 1, 11, и 10, так что PD(17) = 2.

Можно показать, что максимальное значение PD(n) = 3.

Если записать все номера плиток, для которых PD(n) = 3, в возрастающем порядке, формируя последовательность, то 10-й член этой последовательности будет 271.

Найдите 2000-ую плитку в этой последовательности.

129

Число, полностью состоящее из единиц называется репьюнитом. Определим R(k) как репьюнит длиной k; к примеру, R(6) = 111111.

Дано, что n – положительное целое число, а НОД(n, 10) = 1. Можно показать, что всегда существует такое значение k, для которого R(k) делится нацело на n. Пусть A(n) будет наименьшим таким значением k; к примеру, A(7) = 6 и A(41) = 5.

Наименьшее значение n, при котором A(n) впервые превышает десять, равно 17.

Найдите наименьшее значение n, при котором A(n) впервые превысит один миллион.

130

Число, полностью состоящее из единиц называется репьюнитом. Определим R(k) как репьюнит длиной k; к примеру, R(6) = 111111.

Дано, что n – положительное целое число, а НОД(n, 10) = 1. Можно показать, что всегда существует такое значение k, для которого R(k) делится нацело на n. Пусть A(n) будет наименьшим таким значением k; к примеру, A(7) = 6 и A(41) = 5.

Известно, что для всех простых чисел p > 5, число p − 1 делится на A(p) без остатка. К примеру, при p = 41, A(41) = 5, а 40 делится на 5 без остатка.

В то же время, существуют редкие составные числа, которые также подчиняются этому правилу; пример первых пяти чисел: 91, 259, 451, 481 и 703.

Найдите сумму первых двадцати пяти составных чисел n для которых
НОД(n, 10) = 1, а n − 1 делится на A(n) без остатка.

131

Для некоторых простых чисел p существуют такие целые положительные числа n, что выражение n^(3) + n^(2)p является идеальным кубом.

К примеру, при p = 19, 8^(3) + 8^(2)×19 = 12^(3).

Наиболее поразителен тот факт, что для каждого простого числа, обладающего таким свойством, существует уникальное значение n, и есть всего четыре таких простых числа меньше ста.

Сколько простых чисел меньше миллиона обладает этим замечательным свойством?

132

Число, полностью состоящее из единиц, называется репьюнитом. Определим R(k) как репьюнит длиной k.

К примеру, R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091. Сумма этих простых множителей равна 9414.

Найдите сумму первых сорока простых множителей R(10^(9)).

133

Число, полностью состоящее из единиц, называется репьюнитом. Определим R(k) как репьюнит длиной k; к примеру, R(6) = 111111.

Рассмотрим репьюниты вида R(10^(n)).

Несмотря на то, что ни R(10), ни R(100), ни R(1000) не делится нацело на 17, R(10000) делится на 17 без остатка. Однако, нет такого значения n, при котором R(10^(n)) будет делиться на 19 нацело. Вообще, замечательно то, что числа 11, 17, 41 и 73 являются единственными простыми числами меньше ста, которые могут быть простыми множителями R(10^(n)).

Найдите сумму всех простых чисел меньше ста тысяч, которые не могут быть простыми множителями ни для какого R(10^(n)).

134

Рассмотрим последовательные простые числа p_(1) = 19 и p_(2) = 23. Можно убедиться, что 1219 является наименьшим числом, которое содержит число p_(1) в своих последних цифрах, и в то же время делится на p_(2).

К слову, за исключением пары p_(1) = 3 и p_(2) = 5, для каждой пары последовательных простых чисел, таких, что p_(2) > p_(1), существуют такие числа n, у которых последние цифры совпадают с числом p_(1), и, в то же время, число n делится на p_(2) без остатка. Пусть S – наименьшее из таких значений n.

Найдите S для каждой пары последовательных простых чисел при 5 ≤ p_(1) ≤ 1000000.

135

Дано, что положительные целые числа x, y, z – последовательные члены арифметической прогрессии. Наименьшее положительное целое число n, при котором уравнение x^(2)y^(2)z^(2) = n имеет 2 решения, составляет n = 27:

34^(2) − 27^(2) − 20^(2) = 12^(2) − 9^(2) − 6^(2) = 27

Оказывается, что n = 1155 – наименьшее значение n, при котором уравнение имеет ровно десять решений.

При скольких значениях n меньше одного миллиона уравнение имеет ровно десять отличных решений?

136

Положительные целые числа x, y, z являются членами арифметической прогрессии, а n – положительное целое число. Уравнение x^(2)y^(2)z^(2) = n имеет ровно одно решение при n = 20:

13^(2) − 10^(2) − 7^(2) = 20

Между прочим, существует двадцать пять значений n меньше ста, при которых уравнение имеет единственное решение.

При скольких значениях n меньше пятидесяти миллионов уравнение имеет ровно одно решение?

137

Рассмотрим бесконечный полиномиальный ряд A_(F)(x) = xF_(1) + x^(2)F_(2) + x^(3)F_(3) + ..., где F_(k) - k-ый член последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., т.е. F_(k) = F_(k−1) + F_(k), F_(1) = 1 и F_(2) = 1.

В данной задаче нас интересуют такие значения x, при которых A_(F)(x) является положительным целым числом.

Удивительно, но A_(F)(1/2)  =  (1/2)×1 + (1/2)^(2)×1 + (1/2)^(3)×2 + (1/2)^(4)×3 + (1/2)^(5)×5 + ...
   =  1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ...
   =  2

Соответствующие значения x для первых пяти натуральных чисел приведены в таблице ниже.

xA_(F)(x)
√2−11
1/22
(√13−2)/33
(√89−5)/84
(√34−3)/55

Если x - рациональное число, то будем называть A_(F)(x) золотым слитком, т.к. такие значения встречаются все реже и реже. Так, например, 10-й золотой слиток равен 74049690.

Найдите 15-й золотой слиток.

138

Рассмотрим равнобедренный треугольник с длиной основания b = 16 и длиной боковой стороны L = 17.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно заметить, что высота такого треугольника h = √(17^(2) − 8^(2)) = 15, что на единицу меньше длины основания.

При b = 272 и L = 305 мы получаем h = 273, что на единицу больше длины основания, и это второй наименьший треугольник со свойством h = b ± 1.

Найдите L для двенадцати наименьших равнобедренных треугольников обладающих свойством h = b ± 1, где b и L - положительные целые числа.

139

Пусть числами (a, b, c) представлены три стороны прямоугольного треугольника с целыми сторонами. Объединив четыре такие треугольника, можно получить квадрат с длиной стороны c.

К примеру, треугольники (3, 4, 5) можно совместить, тем самым образовав квадрат со стороной 5 и прорезью размерами 1 на 1 в его середине. Нетрудно подсчитать, что квадрат со стороной 5 можно покрыть двадцатью пятью квадратными плитками со стороной 1.

В то же время, если воспользоваться треугольниками (5, 12, 13), размеры прорези составят 7 на 7, и квадратной плиткой с такой стороной не получится покрыть квадрат со стороной 13.

Дано, что периметр прямоугольного треугольника меньше ста миллионов. Для скольких Пифагоровых треугольников возможно такое покрытие квадратной плиткой, площадь которой равна площади прорези в образованном квадрате?

140

Рассмотрим бесконечный полиномиальный ряд A_(G)(x) = xG_(1) + x^(2)G_(2) + x^(3)G_(3) + ..., где G_(k) - k-ый член рекуррентного соотношения второго порядка: G_(k) = G_(k−1) + G_(k−2), G_(1) = 1 и G_(2) = 4, т.е. 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... .

В данной задаче нас интересуют такие значения x, при которых A_(G)(x) является положительным целым числом.

Соответствующие значения x для первых пяти натуральных чисел приведены в таблице ниже.

xA_(G)(x)
(√5−1)/41
2/52
(√22−2)/63
(√137−5)/144
1/25

Если x - рациональное число, то будем называть A_(G)(x) золотым слитком, т.к. такие значения встречаются все реже и реже. Так, например, 20-й золотой слиток равен 211345365.

Найдите сумму первых тридцати золотых слитков.

141

При делении положительного целого числа n на d частное и остаток равны q и r соответственно. Помимо этого, числа d, q и r являются положительными целыми числами, которые являются последовательными членами геометрической прогрессии (не обязательно в таком порядке).

К примеру, при делении 58 на 6 получено частное 9 и остаток 4. Несложно заметить, что числа 4, 6, 9 являются последовательными членами геометрической прогрессии (знаменатель прогрессии 3/2).
Такие числа n будем называть прогрессирующими.

Некоторые прогрессирующие числа, такие как 9 и 10404 = 102^(2) также являются идеальными квадратами.
Сумма всех прогрессирующих идеальных квадратов меньше сотни равна 124657.

Найдите сумму всех прогрессирующих идеальных квадратов меньше одного триллиона (10^(12)).

142

Найдите наименьшее значение x + y + z с целыми числами x > y > z > 0 такими, что x + y, x − y, x + z, x − z, y + z, y − z все являются квадратами целых чисел.

143

Пусть АBC - треугольник с углами, не превышающими 120 градусов. Пусть X - любая точка, лежащая в треугольнике, такая, что XA = p, XB = q, и XC = r.

Ферма поспорил с Торричелли, сможет ли тот найти такое положение точки Х, чтобы сумма p + q + r была минимальной.

Торричелли смог доказать, что если построить на каждой из сторон треугольника АВС по равностороннему треугольнику - AOB, BNC и AMC, то описанные окружности, проведенные вокруг каждого из этих равносторонних треугольников пересекутся в одной точке Т, расположенной внутри треугольника. Более того, он доказал, что в точке Т, названной точкой Торричелли/Ферма, сумма p + q + r минимальна. Еще более выдающимся фактом является то, что можно показать справедливость равенства AN = BM = CO = p + q + r, причем AN, BM и CO также пересекаются в точке Т.

Если сумма p + q + r минимальна, а также если все числа a, b, c, p, q и r являются положительными и целыми, то такой треугольник АВС будем называть треугольником Торричелли. К примеру, a = 399, b = 455, c = 511 является примером треугольника Торричелли, у которого p + q + r = 784.

Найдите сумму всех отличных друг от друга значений p + q + r ≤ 120000 в треугольниках Торричелли.

Примечание: Данная задача недавно была изменена. Убедитесь в том, что Вы используете верные параметры.

144

В лазерной физике под "белой камерой" подразумевают систему зеркал, которая действует подобно линии задержки для лазерного луча. Луч входит в камеру, "скачет" по ней, отражаясь от зеркал, и, в конце концов, находит выход из неё.

Мы рассмотрим конкретную белую камеру в виде эллипса, заданного уравнением 4x^(2) + y^(2) = 100

Чтобы луч мог попасть в белую камеру (и выйти из нее), верхняя часть эллипса −0.01 ≤ x ≤ +0.01 удалена.

В данной задаче световой луч начинает движение в точке (0.0,10.1) снаружи белой камеры, и первое отражение от зеркала происходит в точке (1.4,-9.6).

Каждый раз, когда лазерный луч достигает поверхности эллипса, он меняет направление согласно закону отражения: "угол падения равен углу отражения". Т.е. и падающий луч, и отраженный луч образуют одинаковые углы с нормалью к плоскости зеркала в точке падения луча.

На рисунке слева красной линией показаны первые два падения лазерного луча на стенки белой камеры; синей линией показана касательная к эллипсу в первой точке падения луча.

Наклон m этой касательной линии в любой точке данного эллипса равен: m = −4x/y.

Нормаль, проведенная к точке падения луча, перпендикулярна касательной.

Анимация справа показывает первые 10 отражений лазерного луча.

Сколько раз лазерный луч ударится об внутреннюю стенку белой камеры перед тем, как выйдет из нее?

145

Некоторые положительные целые числа n обладают следующим свойством: сумма [ n + перевернутое(n) ] состоит исключительно из нечетных (десятичных) цифр. К примеру, 36 + 63 = 99 и 409 + 904 = 1313. Такие числа будем называть переворачиваемыми. Таким образом, 36, 63, 409, и 904 являются переворачиваемыми. Ни n, ни перевернутое(n) не могут начинаться с нулей.

В пределах одной тысячи существует 120 переворачиваемых чисел.

Сколько переворачиваемых чисел существует в пределах одного миллиарда (10^(9))?

146

Наименьшее положительное целое число n, для которого числа n^(2)+1, n^(2)+3, n^(2)+7, n^(2)+9, n^(2)+13, и n^(2)+27 являются последовательными простыми числами, равно 10. Сумма всех таких чисел n, не превышающих один миллион, равна 1242490.

Какова сумма всех таких целых чисел n в пределах 150 миллионов?

147

В диагонально заштрихованную решетку 3x2 всего можно вместить 37 различных прямоугольников, как это показано на схеме ниже.

Существует 5 решеток меньше 3x2, при этом учитывается различие между вертикальным и горизонтальным измерением, т.е.: 1x1, 2x1, 3x1, 1x2 и 2x2. Если все эти решетки являются диагонально заштрихованными, то в каждую из них можно вместить следующее количество прямоугольников:

1x1: 1
2x1: 4
3x1: 8
1x2: 4
2x2: 18

Добавив все эти значения к имеющимся 37, полученным решеткой 3х2, в итоге получим 72 прямоугольника, которые можно вместить в решетки, размеры которых не превышают 3x2.

Сколько различных прямоугольников можно вместить в решетки, размеры которых не превышают 47x43?

148

Можно легко показать, что ни один из элементов в первых семи рядах треугольника Паскаля не делится на 7:

             1
           1    1
         1    2    1
       1    3    3    1
     1    4    6    4    1
   1    5   10   10    5    1
1    6   15   20   15    6    1

Однако, если мы проверим первые сто рядов, то обнаружим, что только 2361 из 5050 элементов не делятся на 7.

Найдите количество элементов, которые не делятся на 7, в первом миллиарде (10^(9)) рядов треугольника Паскаля.

149

Взглянув в таблицу ниже, легко убедиться в том, что максимально возможная сумма соседних чисел в любом направлении (горизонтальном, вертикальном, обоих диагональных) равна 16 (= 8 + 7 + 1).

−2532
9−651
3273
−18−4  8

Теперь, давайте повторим поиск, но на этот раз в гораздо более крупных масштабах:

Для начала, сгенерируем четыре миллиона псевдо-случайных чисел с помощью особой формы "запаздывающего генератора Фибоначчи":

Для 1 ≤ k ≤ 55, s_(k) = [100003 − 200003k + 300007k^(3)] (modulo 1000000) − 500000.
Для 56 ≤ k ≤ 4000000, s_(k) = [s_(k−24) + s_(k−55) + 1000000] (modulo 1000000) − 500000.

Таким образом, s_(10) = −393027 и s_(100) = 86613.

Затем члены s упорядочиваются в виде таблицы размерами 2000×2000, при этом первыми 2000 числами последовательно заполняется первая строка, следущими 2000 числами - вторая строка, и т.д.

Наконец, найдите наибольшую сумму любого количества соседних записей в любом направлении (по горизонтали, по вертикали и по диагонали).

150

В треугольном массиве положительных и отрицательных целых чисел мы хотим найти такой под-треугольник, чтобы сумма всех чисел, из которых он состоит, была по возможности меньшей.

В примере ниже отчетливо видно, что выделенный треугольник удовлетворяет условию, т.к. его сумма равна −42.

Мы собираемся сделать такой треугольный массив с одной тысячей строк, поэтому нам необходимо сгенерировать 500500 псевдослучайных числа s_(k) в диапазоне ±2^(19), воспользовавшись определенным типом генератора случайных чисел (известен как "линейный конгруэнтный генератор") следующим образом:

t := 0
при k = 1 до k = 500500:
    t := (615949*t + 797807) modulo 2^(20)
    s_(k) := t−2^(19)

Таким образом: s_(1) = 273519, s_(2) = −153582, s_(3) = 450905 и т.д.

После этого наш треугольный массив формируется из полученных псевдо-случайных чисел следующим образом:

s_(1)
s_(2)  s_(3)
s_(4)  s_(5)  s_(6) 
s_(7)  s_(8)  s_(9)  s_(10)
...

Под-треугольники можно начинать с любого элемента массива и продолжать их вниз настолько, насколько это необходимо (выбирая два элемента на следующей строке, три элемента на идущей через одну строке и т.д.).
"Сумма под-треугольника" определяется как сумма всех его элементов.
Найдите наименьшую возможную сумму под-треугольника.

151

Типография выполняет 16 заказов каждую неделю, для каждого заказа требуется лист специальной бумаги формата A5.

Каждый понедельник старший работник открывает новый конверт, содержащий большой лист специальной бумаги формата A1.

Далее он разрезает его пополам, получая два листа формата A2. Потом он разрезает один из них пополам на два листа формата A3, и так далее до тех пор, пока он не получит лист формата A5, необходимый для первого задания на этой неделе.

Все неиспользованные листы складываются обратно в конверт.

В начале каждого последующего заказа старший работник берет из конверта случайный кусок бумаги. Если он имеет формат A5, его тут же используют. Если он больше, то работник снова режет его пополам, пока не получит то, что нужно, а все оставшиеся листы всегда складывает обратно в конверт.

Исключая первый и последний заказ на неделе, найдите ожидаемое количество раз (в течение недели), которое старший работник обнаруживает в конверте всего один лист бумаги.

Дайте ответ, округленный до шестого знака после десятичной точки (x.xxxxxx) .

152

Существует несколько путей, как записать число 1/2 как сумму обратных квадратов разных целых чисел.

Например, могут быть использованы числа {2,3,4,5,7,12,15,20,28,35}:

Вообще, используя только целые числа от 2 до 45 включительно, существует ровно три способа это сделать. Другие два: {2,3,4,6,7,9,10,20,28,35,36,45} и {2,3,4,6,7,9,12,15,28,30,35,36,45}.

Сколькими способами можно записать число 1/2, как сумму обратных квадратов различных целых чисел от 2 до 80 включительно?

153

Как известно, уравнение x^(2)=-1 не имеет решений в области действительных значений x.
Однако, если ввести мнимое число i, то у такого уравнения будет два решения: x=i и x=-i.
Если продолжить, то уравнение (x-3)^(2)=-4 имеет два комплексных решения: x=3+2i и x=3-2i.
x=3+2i и x=3-2i, которые называют сопряженными друг другу.
Числа вида a+bi принято называть комплексными числами.
В общем случае, числа a+bi и abi являются комплексно-сопряженными.

Целое Гаусса - это такое комплексное число a+bi, для которого a и b являются целыми числами.
Обычные целые числа также являются целыми Гаусса (при b=0).
Для того чтобы отличить такие числа от целых Гаусса, у которых b ≠ 0, будем называть их "рациональными целыми числами."
Целое Гаусса называют делителем рационального целого числа, если результат деления также является целым Гаусса.
К примеру, если мы разделим 5 на 1+2i, то полученное выражение можно упростить следующим способом:
Домножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряженное значение числа 1+2i: 1−2i.
Получим .
Таким образом, 1+2i является делителем числа 5.
Обратите внимание, что 1+i не является делителем числа 5, поскольку .
Также заметьте, что если целое Гаусса (a+bi) является делителем рационального целого числа n, то комплексно сопряженное ему число (abi) также будет являться делителем n.

Между прочим, для числа 5 существует 6 делителей с положительной вещественной частью: {1, 1 + 2i, 1 − 2i, 2 + i, 2 − i, 5}.
Ниже приведена таблица всех делителей для первых пяти положительных рациональных целых чисел:

n Делители целых Гаусса
с положительной веществ. частью
Сумма s(n)
этих делителей
111
21, 1+i, 1-i, 25
31, 34
41, 1+i, 1-i, 2, 2+2i, 2-2i,413
51, 1+2i, 1-2i, 2+i, 2-i, 512

В таком случае, для делителей с положительными вещественными частями, мы можем найти следующую сумму: .

При 1 ≤ n ≤ 10^(5), s(n)=17924657155.

Чему равна сумма s(n), если 1 ≤ n ≤ 10^(8)?

154

Треугольная пирамида составлена из шаров таким образом, что каждый шар лежит ровно на трех шарах нижнего уровня.

Итак, рассчитаем количество путей, ведущих из вершины к каждому шару:

Каждый путь начинается в вершине и следует вниз к одному из трех шаров, находящихся под текущим положением.

В результате выходит, что количество путей до определенного шара равно сумме количеств возможных путей до шаров, находящихся над ним (в зависимости от положения, над ним может находиться до трех шаров).

Таким образом получаем пирамиду Паскаля, где числа на каждом уровне n равны коэффициентам разложения трехчлена (x + y + z)^(n).

Сколько коэффициентов разложения (x + y + z)^(200000) делятся на 10^(12)?

155

Электрическая цепь состоит исключительно из одинаковых конденсаторов емкости C.
Конденсаторы можно соединять как последовательно, так и параллельно, получая таким образом подцепи, которые можно также соединять либо последовательно, либо параллельно, тем самым образуя более сложные цепи. Процесс повторяется до получения конечной схемы.

С помощью такой простой процедуры, используя до n одинаковых конденсаторов, мы можем создать ряд схем с различными конечными емкостями. К примеру, используя до n=3 конденсаторов ёмкостью 60 мкФ, можно получить 7 различных значений емкости:

Если это число различных значений емкости обозначить как D(n), в соответствии с описанной выше процедурой, можно найти: D(1)=1, D(2)=3, D(3)=7 ...

Найдите D(18).

Напоминание: При параллельном соединении конденсаторов C_(1), C_(2) и т.д. их общая емкость равна C_(Т) = C_(1) + C_(2) +...,
в свою очередь, при последовательном соединении общая емкость находится через:

156

Начиная с нуля, натуральные числа записываются в основании 10 следующим способом:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12....

Рассмотрим цифру d=1. Записывая по порядку каждое из n чисел, мы обновляем счетчик единиц, и полученное значение назовем f(n,1). В таком случае, первые значения f(n,1) будут следующими:

nf(n,1)
00
11
21
31
41
51
61
71
81
91
102
114
125

Заметим, что f(n,1) никогда не принимает значение 3.
Таким образом, первыми двумя решениями уравнения f(n,1)=n будут n=0 и n=1. Следующее решение равно n=199981.

Аналогичным образом, значение функции f(n,d) равно числу встретившихся цифр d, при записи всех целых чисел от 0 до n.
Между прочим, для каждой цифры d ≠ 0, первое решение уравнения f (n,d)=n равно 0.

Пусть s(d) является суммой всех решений, для которых f(n,d)=n.
Известно, что s(1)=22786974071.

Найдите s(d), где 1 ≤ d ≤ 9.

Примечание: если при некоторых значениях n функция f(n,d) равна n для более, чем одного значения d, то полученное значение n прибавляется вновь при каждой цифре d, для которой f(n,d)=n.

157

Рассмотрим уравнение Диофанта ^(1)/_(a)+^(1)/_(b)= ^(p)/_(10^(n)), где a, b, p, n - положительные целые числа, притом ab.
При n=1 у этого уравнения 20 корней, которые перечислены ниже:

^(1)/_(1)+^(1)/_(1)=^(20)/_(10) ^(1)/_(1)+^(1)/_(2)=^(15)/_(10) ^(1)/_(1)+^(1)/_(5)=^(12)/_(10) ^(1)/_(1)+^(1)/_(10)=^(11)/_(10) ^(1)/_(2)+^(1)/_(2)=^(10)/_(10)
^(1)/_(2)+^(1)/_(5)=^(7)/_(10) ^(1)/_(2)+^(1)/_(10)=^(6)/_(10) ^(1)/_(3)+^(1)/_(6)=^(5)/_(10) ^(1)/_(3)+^(1)/_(15)=^(4)/_(10) ^(1)/_(4)+^(1)/_(4)=^(5)/_(10)
^(1)/_(4)+^(1)/_(20)=^(3)/_(10) ^(1)/_(5)+^(1)/_(5)=^(4)/_(10) ^(1)/_(5)+^(1)/_(10)=^(3)/_(10) ^(1)/_(6)+^(1)/_(30)=^(2)/_(10) ^(1)/_(10)+^(1)/_(10)=^(2)/_(10)
^(1)/_(11)+^(1)/_(110)=^(1)/_(10) ^(1)/_(12)+^(1)/_(60)=^(1)/_(10) ^(1)/_(14)+^(1)/_(35)=^(1)/_(10) ^(1)/_(15)+^(1)/_(30)=^(1)/_(10) ^(1)/_(20)+^(1)/_(20)=^(1)/_(10)

Сколько решений имеет такое уравнение при 1 ≤ n ≤ 9?

158

Взяв три разные буквы из 26-буквенного латинского алфавита, можно составить строки по три символа.
Примерами являются "abc", "hat", "zyx".
Если мы рассмотрим три приведенных примера, то заметим, что в строке "abc" два символа идут в алфавитном порядке после своего соседа слева.
В "hat" есть только один символ, идущий в алфавите после своего соседа слева. В строке же "zyx" ни один символ не идет в алфавите после своего соседа слева.
Всего существует 10 400 строк длиной в 3 символа, в которых ровно один символ идет в алфавите после своего соседа слева.

Рассмотрим строки из n ≤ 26 различных букв латинского алфавита.
Для каждого n, p(n) - это количество строк длиной n, в которых ровно один символ идет в алфавите после своего соседа слева.

Каково максимальное значение p(n)?

159

Сложное число может быть разложено на множители разными путями. К примеру, если исключить умножение на единицу, 24 может быть разложено семью разными способами:

24 = 2x2x2x3
24 = 2x3x4
24 = 2x2x6
24 = 4x6
24 = 3x8
24 = 2x12
24 = 24

Напомним, что цифровой корень числа по основанию 10 можно найти, складывая цифры этого числа, и повторяя этот процесс, пока в результате не получится число меньше 10. Таким образом, цифровой корень числа 467 равен 8.

Назовем Суммой Цифровых Корней (СЦК) сумму цифровых корней каждого из множителей числа.
Таблица ниже демонстрирует все значения СЦК для числа 24.

Разложение на множителиСумма Цифровых Корней
2x2x2x3
9
2x3x4
9
2x2x6
10
4x6
10
3x8
11
2x12
5
24
6

Максимальная СЦК для 24 равна 11.
Функция mdrs(n) возвращает максимальную СЦК для числа n. Таким образом, mdrs(24)=11.
Найдите mdrs(n) для 1 < n < 1 000 000.

160

Для каждого N пусть f(N) будет последними пятью цифрами перед крайними справа нулями в N!.
Для примера,

9! = 362880, поэтому f(9)=36288
10! = 3628800, поэтому f(10)=36288
20! = 2432902008176640000, поэтому f(20)=17664

Найдите f(1 000 000 000 000).

161

Триомино - это фигура, состоящая из трех квадратов, соединенных сторонами. Существует два основных вида:

Если принять во внимание все возможные расположения, то получим шесть фигур:

Любое поле n на m, если nxm делится на три, может быть выложено триомино.
Если рассматривать варианты выкладки, полученные путем поворота или отражения, как разные, то существует 41 способ выложить поле 2 на 9 триомино:

Сколькими способами можно выложить триомино поле 9 на 12?

162

В шестнадцатиричной системе исчисления числа представлены 16 разными цифрами:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Шестнадцатиричное число AF, записанное десятичными числами, равно 10·16 + 15 = 175.

В трехзначных шестнадцатиричных числах 10A, 1A0, A10 и A01 присутствуют только цифры 0, 1 и A.
Как и в десятичной системе, в шестнадцатиричной мы пишем числа без ведущих нулей.

Сколько существует шестнадцатиричных чисел, имеющих не больше шестнадцати цифр и в которых каждая из цифр 0, 1 и A встречается как минимум один раз?
Дайте ответ в виде шестнадцатиричного числа.

(Символы A, B, C, D, E и F - в верхнем регистре, без предшествующего или последующего обозначения шестнадцатиричной системы и без ведущих нулей, к примеру, 1A3F, а не 1a3f, не 0x1a3f, не $1A3F, не #1A3F и не 0000001A3F)

163

Рассмотрим равносторонний треугольник, в котором проведены медианы, как в треугольнике размер 1 на рисунке ниже.

Шестнадцать треугольников различного размера, местоположения или поворота могут быть найдены в этом треугольнике. Используя треугольники размера 1 как строительные блоки, можно образовать бóльшие треугольники, как, например, размера 2 на рисунке выше. Сто четыре треугольника различного размера, местоположения или поворота могут быть найдены в треугольнике размера 2.

Видно, что треугольник размера 2 состоит из четырех треугольных блоков размера 1. Треугольник размера 3 будет состоять из девяти треугольных блоков размера 1, а треугольник размера n, таким образом, будет состоять из n^(2)треугольников размера 1.

Если мы обозначим общее количество треугольников в треугольнике размера n как T(n), то

T(1) = 16
T(2) = 104

Найдите T(36).

164

Сколько существует двадцатизначных чисел n (без ведущих нулей) таких, что сумма никаких трех идущих подряд цифр в числе n не превышает 9?

165

Отрезок однозначно определяется своими двумя конечными точками.
Рассматривая два отрезка на геометрической плоскости, возможны три варианта:
у отрезков нет общих точек, есть одна общая точка или бесконечное множество общих точек.

Более того, если у двух отрезков одна общая точка, то возможно, что эта общая точка является одним из концов либо одного отрезка, либо обоих. Если общая точка двух отрезков не является конечной точкой ни одного из них, то такая точка лежит на обоих отрезках.
Будем называть общую точку T двух отрезков L_(1) и L_(2) истинной точкой пересечения отрезков L_(1) и L_(2), если T является единственной общей точкой отрезков L_(1) и L_(2), и, одновременно, Т лежит на обоих отрезках (не являясь концом ни одного из них).

Рассмотрим три отрезка L_(1), L_(2), и L_(3):

L_(1): от (27, 44) до (12, 32)
L_(2): от (46, 53) до (17, 62)
L_(3): от (46, 70) до (22, 40)

Нетрудно убедиться в том, что у отрезков L_(2) и L_(3) есть истинная точка пересечения. Отметим, что, т.к. одна из конечных точек L_(3): (22,40) лежит на отрезке L_(1), она не является истинной точкой пересечения. У отрезков L_(1) и L_(2) нет общих точек. Таким образом, у этих трех отрезков есть одна истинная точка пересечения.

Теперь, повторим то же самое для 5000 отрезков. Для этого, сгенерируем 20000 псевдослучайных чисел, воспользовавашись так называемым алгоритмом Blum-Blum-Shub:

s_(0) = 290797

s_(n+1) = s_(n)×s_(n) (modulo 50515093)

t_(n) = s_(n) (modulo 500)

Для построения каждого отрезка воспользуемся четырьмя последовательными числами t_(n). Это значит, что первый отрезок определяется следующими координатами:

от (t_(1), t_(2)) до (t_(3), t_(4))

Первые четыре числа, сгенерированные с помощью этого алгоритма, будут равны 27, 144, 12 и 232. Таким образом, первый отрезок будет задаваться точками (27,144) и (12,232).

Сколько различных истинных точек пересечения можно найти у 5000 отрезков?

166

Поле 4x4 заполнено цифрами d, 0 ≤ d ≤ 9.

Можно заметить, что на поле

6 3 3 0
5 0 4 3
0 7 1 4
1 2 4 5

сумма каждого ряда и каждого столбца равна 12. К тому же, сумма всех диагоналей тоже равна 12.

Сколькими способами можно заполнить поле 4x4 цифрами d, 0 ≤ d ≤ 9, так, чтобы все ряды, столбцы и обе диагонали имели одинаковую сумму?

167

Для двух положительных целых чисел a и b последовательность Улама U(a,b) определяется следующим образом: U(a,b)_(1) = a, U(a,b)_(2) = b и для k > 2, U(a,b)_(k) равно наименьшему целому числу, превышающему U(a,b)_((k-1)), которое может быть единственным способом записано в виде суммы двух различных предыдущих членов U(a,b).

Например, последовательность U(1,2) начинается так:
1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8;
5 = 1 + 4 = 2 + 3 сюда не относится, потому что имеет два представления в виде суммы двух предыдущих членов, равно как и 7 = 1 + 6 = 3 + 4.

Найдите U(2,2n+1)_(k) для 2 ≤ n ≤10, где k = 10^(11).

168

Рассмотрим число 142857. Мы можем повернуть его вправо, переставив последнюю цифру (7) в начало, таким образом получая 714285.
Можно убедиться, что 714285=5×142857.
Это демонстрирует необычное свойство числа 142857: оно является делителем своего поворота вправо.

Найдите последние 5 цифр суммы всех целых n, 10 < n < 10^(100), имеющих такое свойство.

169

Определим f(0)=1 и f(n) как количество различных способов представления n, как суммы целых степеней числа 2, используя каждую степень не более, чем дважды.

Например, f(10)=5, так как существует пять способов выражения 10:

1 + 1 + 8
1 + 1 + 4 + 4
1 + 1 + 2 + 2 + 4
2 + 4 + 4
2 + 8

Чему равно f(10^(25))?

170

Возьмем число 6 и помножим его по отдельности на 1273 и 9854:

6 × 1273 = 7638
6 × 9854 = 59124

Соединив эти два произведения, получим пан-цифровое число от 1 до 9: 763859124. Назовем его "соединенное произведение 6 и (1273,9854)". Заметим, что соединение трех исходных чисел, 612739854 - тоже пан-цифровое число от 1 до 9.

То же самое может быть проделано с пан-цифровыми числами от 0 до 9.

Каково наибольшее 10-значное пан-цифровое число от 0 до 9, являющееся соединенным произведением целого числа с двумя или более другими целыми числами, такими, что соединение исходных чисел тоже дает 10-значное пан-цифровое число от 0 до 9?

171

Для положительного целого числа n, пусть f(n) будет суммой квадратов его цифр (по основанию 10), т.е.

f(3) = 3^(2) = 9,
f(25) = 2^(2) + 5^(2) = 4 + 25 = 29,
f(442) = 4^(2) + 4^(2) + 2^(2) = 16 + 16 + 4 = 36

Найдите последние девять цифр суммы всех n, 0 < n < 10^(20), таких, что f(n) является квадратом целого числа.

172

Сколько существует 18-значных чисел n (без ведущих нулей) таких, что никакая цифра не встречается в n более трех раз?

173

Определим квадратную кладку как квадратный контур с квадратным "отверстием" посередине, так, чтобы вся фигура имела вертикальную и горизонтальную симметрию. Например, используя ровно тридцать две квадратных плитки, мы можем выложить две различных квадратных кладки:

Из ста плиток, не обязательно использez все плитки сразу, возможно выложить сорок одну различную квадратную кладку.

Сколько можно выложить различных квадратных кладок, используя до миллиона плиток?

174

Определим квадратную кладку как квадратный контур с квадратным "отверстием" посередине, так, чтобы вся фигура имела вертикальную и горизонтальную симметрию.

Если даны восемь плиток, возможна только одна кладка: квадрат 3x3 с отверстием 1x1 посередине. Используя ровно тридцать две квадратных плитки, мы можем выложить две различных квадратных кладки.

Если t обозначает количество использованных плиток, будем говорить, что t = 8 имеет тип L(1), а t = 32 имеет тип L(2).

Пусть N(n) будет количеством таких t ≤ 1000000, что t имеет тип L(n); например, N(15) = 832.

Чему равно N(n) для 1 ≤ n ≤ 10?

175
Определим f(0)=1 и f(n) как число способов записи n в виде суммы степеней двойки, где каждая степень встречается не более двух раз.

К примеру, f(10)=5, т.к. число 10 можно выразить 5 различными способами:
10 = 8+2 = 8+1+1 = 4+4+2 = 4+2+2+1+1 = 4+4+1+1

Можно показать, что для каждой дроби p/q (p>0, q>0) существует по крайней мере одно целое число n, для которого
f(n)/f(n-1)=p/q.

К примеру, наименьшее значение n, при котором f(n)/f(n-1)=13/17, равно 241.
В двоичной форме записи это число 241 равно 11110001.
Читая это число от старшего бита к младшему, встречаем 4 единицы, 3 нуля и 1 единицу. Последовательность 4,3,1 будем называть сокращенным двоичным разложением числа 241.

Найдите сокращенное двоичное разложение для наименьшего значения n, при котором
f(n)/f (n-1)=123456789/987654321.

Ответ запишите в виде целых чисел, разделенных запятыми (без пробелов).
176

Четыре прямоугольных треугольника со сторонами (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) и (12,35,37) имеют один катет, равный 12. Можно показать, что не существует иных прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон, имеющих катет длиной 12.

Найдите наименьшее целое число, которое является длиной катета ровно 47547 различных прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон.

177

Пусть ABCD будет выпуклым четырехугольником с диагоналями AC и BD. В каждой вершине диагональ образует углы с двумя сторонами, таким образом получается всего восемь углов.

Например, при вершине A находятся два угла: CAD и CAB.

Назовем такой четырехугольник, в котором все восемь углов имеют целое значение при измерении в градусах, "четырехугольником с целыми углами". Примером четырехугольника с целыми углами являются квадрат, где все углы равны 45°. Другой пример - DAC = 20°, BAC = 60°, ABD = 50°, CBD = 30°, BCA = 40°, DCA = 30°, CDB = 80°, ADB = 50°.

Каково общее количество неподобных четырехугольников с целыми углами?

Примечание: в своих расчетах можете предположить, что угол является целым, если он отличается от целого значения не больше, чем на 10^(-9).

178
Рассмотрим число 45656.
Заметим, что любые две подряд идущие цифры в нем различаются на единицу.
Число, в котором любые две подряд идущие цифры различаются на единицу, называется ступенчатым числом.
Пан-цифровое число содержит каждую десятичную цифру от 0 до 9 хотя бы один раз.
Сколько существует пан-цифровых ступенчатых чисел меньше 10^(40)?
179

Найдите количество целых чисел 1 < n < 10^(7), для которых n и n + 1 имеют одинаковое количество положительных делителей. Например, число 14 имеет положительные делители 1, 2, 7, 14, а число 15 - 1, 3, 5, 15.

180

Рассмотрим три функции для любого целого n

f_(1,n)(x,y,z) = x^(n+1) + y^(n+1)z^(n+1)
f_(2,n)(x,y,z) = (xy + yz + zx)*(x^(n-1) + y^(n-1)z^(n-1))
f_(3,n)(x,y,z) = xyz*(x^(n-2) + y^(n-2)z^(n-2))

и их комбинацию

f_(n)(x,y,z) = f_(1,n)(x,y,z) + f_(2,n)(x,y,z) − f_(3,n)(x,y,z)

Назовем (x,y,z) золотой тройкой порядка k, если x, y и z являются рациональными числами вида a / b где
0 < a < bk, и существует хотя бы одно целое n такое, что f_(n)(x,y,z) = 0.

Пусть s(x,y,z) = x + y + z.
Пусть t = u / v будет суммой всех различных s(x,y,z) для всех золотых троек (x,y,z) порядка 35.
Все s(x,y,z) и t должны быть в несократимой форме.

Найдите u + v.

181

Три черных объекта B и один белый объект W могут быть сгруппированы следующими семью способами:

(BBBW)(B,BBW)(B,B,BW)(B,B,B,W) (B,BB,W)(BBB,W)(BB,BW)

Сколькими способами могут быть сгруппированы шестьдесят черных объектов B и сорок белых объектов W?

182

Алгоритм шифрования RSA основывается на следующей процедуре:

Генерация двух различных простых чисел p и q.
Вычисление n=pq и φ=(p-1)(q-1).
Поиск целого числа e, 1<e<φ, такого, что НОД(e,φ)=1.

Сообщение в этой системе представлено в виде числа, принадлежащего интервалу [0,n-1].
Шифруемый текст каким-нибудь способом преобразовывается в такие сообщения (числа, принадлежащие интервалу [0,n-1]).
Чтобы зашифровать текст, для каждого сообщения m, необходимо вычислить c=m^(e) mod n.

Для дешифровки текста выполняется следующая процедура: найти такое d, чтобы ed=1 mod φ, затем для каждого зашифрованного сообщения c вычислить m=c^(d) mod n.

Существуют такие значения e и m, что m^(e) mod n=m.
Сообщения m, для которых m^(e) mod n=m, будем называть открытыми.

Проблема выбора e состоит в том, что не должно быть слишком много открытых сообщений.
К примеру, пусть p=19 и q=37.
Тогда n=19*37=703 и φ=18*36=648.
Если выберем e=181, то, несмотря на то, что НОД(181,648)=1, окажется, что все возможные сообщения
m (0≤m<n-1) будут открытыми после вычисления m^(e) mod n.
Для любого верного выбора e существуют некоторые открытые сообщения.
Важно, чтобы число таких открытых сообщений было минимальным.

Дано: p=1009 и q=3643.
Найдите сумму всех значений e, 1<e<φ(1009,3643) и НОД(e,φ)=1, для которых число открытых сообщений будет минимальным.

183

Пусть N - положительное целое число, и пусть N можно разбить на k равных частей r = N/k, таких, что N = r + r + ... + r.
Пусть P - произведение этих частей, P = r × r × ... × r = r^(k).

К примеру, если 11 разбить на пять равных частей, 11 = 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2, то P = 2.2^(5) = 51.53632.

Пусть M(N) = P_(max) при заданном значении N.

Оказывается, что для N = 11 максимум можно найти, разбив число 11 на четыре равные части, что в итоге даст P_(max) = (11/4)^(4), т.е. M(11) = 14641/256 = 57.19140625 - получена непериодическая десятичная дробь.

Однако, при N = 8 максимум можно найти, разбив это число на три равные части, так что M(8) = 512/27. В итоге получена периодическая десятичная дробь.

Пусть D(N) = N, если M(N) является периодической дробью и D(N) = -N, если M(N) является непериодической дробью.

Например, ΣD(N) для 5 ≤ N ≤ 100 равна 2438.

Найдите ΣD(N), если 5 ≤ N ≤ 10000.

184

Рассмотрим I_(r) как множество точек (x,y) с целочисленными координатами, находящихся внутри круга радиусом r с центром в начале координат, т.е. x^(2) + y^(2) < r^(2).

Для радиуса 2, I_(2) содержит девять точек (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1) и (1,-1). Существует восемь треугольников, чьи все вершины находятся в точках I_(2), и которые содержат внутри себя начало координат. Два из них показаны ниже, остальные можно получить из этих двух путем вращения.

Для радиуса 3 существует 360 треугольников, содержащих внутри себя начало координат и имеющих в качестве вершин точки I_(3), а для I_(5) это число равно 10600.

Сколько существует треугольников, содержащих внутри себя начало координат и имеющих в качестве вершин точки I_(105)?

185

Игра "Числовой ум" является вариантом хорошо известной игры "Быки и коровы".

Вместо цветных колышков, вам необходимо угадать секретную последовательность цифр. После каждой попытки вам говорят только, во скольки местах вы правильно угадали цифру. Итак, если была загадана последовательность 1234, а ваша попытка - 2036, вам скажут, что вы угадали одну цифру; однако, вам НЕ скажут, что другая правильная цифра находится не в том месте.

Например, даны следующие попытки для 5-значной секретной последовательности:

90342 ;2 правильных
70794 ;0 правильных
39458 ;2 правильных
34109 ;1 правильная
51545 ;2 правильных
12531 ;1 правильная

Загаданная последовательность 39542 - единственная возможная.

Основываясь на следующих попытках,

5616185650518293 ;2 правильных
3847439647293047 ;1 правильная
5855462940810587 ;3 правильных
9742855507068353 ;3 правильных
4296849643607543 ;3 правильных
3174248439465858 ;1 правильная
4513559094146117 ;2 правильных
7890971548908067 ;3 правильных
8157356344118483 ;1 правильная
2615250744386899 ;2 правильных
8690095851526254 ;3 правильных
6375711915077050 ;1 правильная
6913859173121360 ;1 правильная
6442889055042768 ;2 правильных
2321386104303845 ;0 правильных
2326509471271448 ;2 правильных
5251583379644322 ;2 правильных
1748270476758276 ;3 правильных
4895722652190306 ;1 правильная
3041631117224635 ;3 правильных
1841236454324589 ;3 правильных
2659862637316867 ;2 правильных,

найдите единственную возможную загаданную 16-значную последовательность.

186

Вот несколько записей загруженной телефонной системы с миллионом пользователей:

CallerCalled
1200007100053
2600183500439
3600863701497
.........

В строке № n телефонный номер звонящего и вызываемый номер являются Caller(n) = S_(2n-1) и Called(n) = S_(2n) соответственно, где S_(1,2,3,...) образуются "Генератором Фибоначчи с задержкой":

При 1 ≤ k ≤ 55, S_(k) = [100003 - 200003k + 300007k^(3)] (modulo 1000000)
При 56 ≤ k, S_(k) = [S_(k-24) + S_(k-55)] (modulo 1000000)

Если Caller(n) = Called(n), то предполагается, что пользователь ошибся в наборе номера, и вызов не происходит. В противном случае вызов происходит успешно.

Оговорим, что начиная с первой строки, любая пара пользователей X и Y - друзья, если X звонит Y или наоборот. Аналогично, X будет другом друга Z, если X является другом Y, который, в свою очередь является другом Z; и так далее, с образованием более длинных цепочек.

Номер премьер-министра 524287. После скольких удачных звонков, не считая неправильный набор, 99% пользователей (включая самого премьер-министра), окажутся друзьями премьер-министра, друзьями его друзей и т.д.?

187

Сложное число - это число, имеющее по крайней мере два простых делителя. Например, 15 = 3 × 5; 9 = 3 × 3; 12 = 2 × 2 × 3.

Существует десять сложных чисел до тридцати, имеющих ровно два, не обязательно различных, простых делителя: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26.

Сколько сложных целых чисел n < 10^(8) имеют ровно два, не обязательно различных, простых делителя?

188

Супервозведение в степень, или тетрация числа a по положительному целому числу b, обозначенная a↑↑b или ^(b)a, рекурсивно определяется так:

a↑↑1 = a,
a↑↑(k+1) = a^((a↑↑k)).

Таким образом, 3↑↑2 = 3^(3) = 27, отсюда 3↑↑3 = 3^(27) = 7625597484987 и 3↑↑4 примерно равно 10^(3.6383346400240996*10^12).

Найдите последние 8 цифр числа 1777↑↑1855.

189

Рассмотрим следующее расположение 64 треугольников:

Мы хотим раскрасить внутренность каждого треугольника одним из трех цветов - синим, красным или зеленым - так, чтобы никакие два соседних треугольника не были одного цвета. Такая раскраска будет считаться правильной. Здесь мы подразумеваем, что два треугольника являются соседними, если они имеют общую сторону.
Примечание: если треугольники имеют только общую вершину, они соседними не являются.

Например, вот правильная раскраска приведенной выше сетки:

Раскраска C', образованная из раскраски C путем поворота или отражения считается отличной от C, если только они не совпадают.

Сколько существует различных раскрасок приведенного выше поля?

190

Пусть S_(m) = (x_(1), x_(2), ... , x_(m)) - m-мерный кортеж положительных чисел, обладающих свойством x_(1) + x_(2) + ... + x_(m) = m, для которых P_(m) = x_(1) * x_(2)^(2) * ... * x_(m)^(m) максимально.

К примеру, можно убедиться в том, что [P_(10)] = 4112 ([ ] обозначает функцию целой части числа).

Найдите Σ[P_(m)] для 2 ≤ m ≤ 15.

191

Некоторая школа предлагает денежные награды детям с хорошей посещаемостью и пунктуальностью. Если их не было три дня подряд, или же они опоздали более чем на одно занятие, они лишаются своего приза.

Во время n-дневного периода для каждого ребенка записывается третичная последовательность, состоящая из L (late - опоздал), O (on time - вовремя) и A (absent - отсутствовал).

Несмотря на то, что существует 81 третичная последовательность для 4-хдневного периода, ровно сорок три из них приведут к получению призов:

OOOO OOOA OOOL OOAO OOAA OOAL OOLO OOLA OAOO OAOA
OAOL OAAO OAAL OALO OALA OLOO OLOA OLAO OLAA AOOO
AOOA AOOL AOAO AOAA AOAL AOLO AOLA AAOO AAOA AAOL
AALO AALA ALOO ALOA ALAO ALAA LOOO LOOA LOAO LOAA
LAOO LAOA LAAO

Сколько "призовых" последовательностей существует для 30-дневного периода?

192

Пусть x - действительное число.
Наилучшая аппроксимация x для ограниченного знаменателя d - рациональная дробь r/s в сокращенной форме, у которой sd, такая, что любое рациональное число, которое ближе к x, чем к r/s, имеет знаменатель больше d:

|p/q-x| < |r/s-x| ⇒ q > d

К примеру, наилучшая аппроксимация √13 для знаменателя, ограниченного значением 20, составляет 18/5. В свою очередь, для знаменателя, ограниченного значением 30, наилучшая аппроксимация √13 равна 101/28.

Найдите сумму всех знаменателей наилучших аппроксимаций √n, при ограничении на знаменатель равном 10^(12), где n не является идеальным квадратом и 1 < n ≤ 100000.

193

Положительное целое число n называется бесквадратным, если оно не делится ни на один квадрат простого числа. Таким образом, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 являются бесквадратными, а 4, 8, 9, 12 - нет.

Сколько существует бесквадратных чисел до 2^(50)?

194

Рассмотрим графы, составленные из элементов A: и B: , где элементы соединяются вдоль вертикальных сторон, как в графе .

Конфигурация типа (a,b,c) является графом, построенным из a элементов A и b элементов B, где вершины графа раскрашены, используя до c различных цветов так, что никакие две соседних вершины не раскрашены одинаково.
Соединенный граф выше является примером конфигурации типа (2,2,6), вообще - типа (2,2,c) для всех c ≥ 4.

Пусть N(a,b,c) будет количеством возможных конфигураций типа (a,b,c).
Например, N(1,0,3) = 24, N(0,2,4) = 92928 и N(2,2,3) = 20736.

Найдите последние 8 цифр N(25,75,1984).

195

Назовем треугольник с целочисленными длинами сторон и только одним углом в 60 градусов 60-градусным треугольником.
Пусть r будет радиусом вписанной в такой 60-градусный треугольник окружности.

Существует 1234 60-градусных треугольников, для которых r ≤ 100.
Пусть T(n) будет количеством 60-градусных треугольников, для которых rn, то есть
T(100) = 1234,  T(1000) = 22767 и  T(10000) = 359912.

Найдите T(1053779).

196

Построим треугольник из всех положительных целых чисел следующим способом:

 1
 2  3
 4  5  6
 7  8  9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
. . .

Каждое целое число в треугольнике имеет до восьми соседей.

Множество из трех простых чисел называется простой тройкой, если одно из трех простых чисел имеет другие два в качестве соседей в треугольнике.

Например, во втором ряду простые числа 2 и 3 являются элементами простой тройки.

Если рассмотреть 8 ряд, он содержит два простых числа - 29 и 31 - являющихся элементами какой-нибудь простой тройки.
Если рассмотреть 9 ряд, он содержит только одно простое число, являющееся элементом какой-нибудь простой тройки: 37.

Определим S(n) как сумму простых чисел ряда n, являющихся элементами какой-нибудь простой тройки.
Тогда S(8)=60 и S(9)=37.

Вам дано, что S(10000)=950007619.

Найдите  S(5678027) + S(7208785).

197

Дана функция f(x) = ⌊2^(30.403243784-x^(2))⌋ × 10^(-9) ( ⌊ ⌋ - функция пол),
последовательность u_(n) задана как u_(0) = -1 и u_(n+1) = f(u_(n)).

Найдите u_(n) + u_(n+1) для n = 10^(12).
Дайте свой ответ с 9 знаками после десятичной точки.

198
Наилучшая аппроксимация действительного числа x для знаменателя с ограничением d - рациональное число r/s (сокращенная дробь), у которого sd, такое, чтобы у любого рационального числа p/q, которое ближе к x, чем к r/s, было в силе q>d.

Обычно, наилучшая аппроксимация вещественного числа однозначно определена для любых границ знаменателя. Однако, есть несколько исключений, к примеру, 9/40 наилучшим образом аппроксимирует 1/4 и 1/5 при ограничении знаменателя равном 6. Будем называть вещественное число x двусторонним, если существует по крайней мере одно ограничение знаменателя, при котором число x имеет две аппроксимации. Очевидно, что двустороннее число должно быть рациональным.

Сколько существует двусторонних чисел x = p/q, 0 < x < 1/100, знаменатель q которых не превышает 10^(8)?

199

Три круга одинаковых радиусов помещены в большой круг так, что каждая пара кругов касается друг друга и внутренние круги не пересекаются. Остается четыре незакрытых "пробела", которые надо итеративно заполнить касающимися кругами.

После каждой итерации, круг максимально возможного радиуса помещается в каждый пробел, тем самым создавая еще пробелы для следующей итерации. После 3 итераций (на рисунке), осталось 108 пробелов, и доля непокрытой кругами площади большого круга равна 0.06790342, округлив до восьмого знака после десятичной точки.

Какая доля площади останется непокрыта кругами после 10 итераций?
Дайте ответ, округленный до восьмого знака после десятичной точки в виде x.xxxxxxxx .

200

Определим скуб как число вида p^(2)q^(3), где p и q - различные простые числа.
Например, 200 = 5^(2)2^(3) или 120072949 = 23^(2)61^(3).

Первые пять скубов: 72, 108, 200, 392 и 500.

Интересно, что 200 также является первым числом, которое нельзя превратить в простое число, изменив только одну цифру. Такие числа будем называть простыми-стойкими. Следующий простой-стойкий скуб, который содержит в себе подстроку "200" равен 1992008.

Найдите 200-й простой-стойкий скуб, который содержит подстроку "200".

201

Пусть sum(A) - сумма элементов для любого множества чисел A.
Рассмотрим множество B = {1,3,6,8,10,11}.
Существует ровно 20 подмножеств B, которые состоят из трех элементов, а суммы этих подмножеств имеют следующие значения:

sum({1,3,6}) = 10,
sum({1,3,8}) = 12,
sum({1,3,10}) = 14,
sum({1,3,11}) = 15,
sum({1,6,8}) = 15,
sum({1,6,10}) = 17,
sum({1,6,11}) = 18,
sum({1,8,10}) = 19,
sum({1,8,11}) = 20,
sum({1,10,11}) = 22,
sum({3,6,8}) = 17,
sum({3,6,10}) = 19,
sum({3,6,11}) = 20,
sum({3,8,10}) = 21,
sum({3,8,11}) = 22,
sum({3,10,11}) = 24,
sum({6,8,10}) = 24,
sum({6,8,11}) = 25,
sum({6,10,11}) = 27,
sum({8,10,11}) = 29.

Некоторые из этих сумм встречаются более одного раза, другие - уникальны.
Пусть U(A,k) - множество уникальных сумм k-элементных подмножеств A. В нашем примере, U(B,3) = {10,12,14,18,21,25,27,29} а sum(U(B,3)) = 156.

Теперь, рассмотрим 100-элементное множество S = {1^(2), 2^(2), ... , 100^(2)}.
S содержит 100891344545564193334812497256 50-элементных подмножеств.

Определите сумму всех целых чисел, которые являются уникальными суммами 50-элементных подмножеств S. Другими словами, найдите sum(U(S,50)).

202

Три зеркала расположены в форме равностороннего треугольника так, что их отражающие поверхности направлены внутрь. В каждой вершине треугольника есть бесконечно маленькое отверстие, через которое может пройти луч лазера.

Назовем вершины A, B и C. Есть 2 способа, которыми луч лазера может войти через вершину C, отразиться от поверхностей 11 раз и выйти через ту же вершину: один показан на картинке ниже, а другой является обратным первому.

Существует 80 840 способов, как луч лазера может войти через вершину C, отразиться 1 000 001 раз и выйти через ту же вершину.

Сколькими способами может лазерный луч войти через вершину C, отразиться 12 017 639 147 раз и выйти через ту же вершину?

203

Коэффициенты многочлена ^(n)C_(k) можно упорядочить в виде треугольника Паскаля следующим образом:

1
11
121
1331
14641
15101051
16152015 61
172135352171
.........

Нетрудно заметить, что первые восемь рядов треугольника Паскаля содержат двенадцать отличных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 и 35.

Положительное целое число n называется бесквадратным, если n не делится ни на один квадрат простого числа. Среди всех двенадцати отличных чисел первых восьми рядов треугольника Паскаля, все, кроме 4 и 20, являются бесквадратными. Сумма всех отличных бесквадратных чисел первых восьми рядов равна 105.

Найдите сумму всех различающихся бесквадратных чисел в пределах первого 51 ряда треугольника Паскаля.

204

Число Хэмминга - такое положительное число, которое не имеет простых сомножителей больше 5.
Таким образом, несколько первых чисел Хэмминга: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15.
В пределах 10^(8) существует 1105 чисел Хэмминга.

Будем называть положительное число обобщенным числом Хэмминга типа n, если у него нет простых сомножителей, превышающих n.
Следовательно, числа Хэмминга являются также и обобщенными числами Хэмминга типа 5.

Сколько обобщенных чисел Хэмминга типа 100 можно насчитать в пределах 10^(9)?

205

У Петра есть девять четырехгранных (пирамидальных) игральных костей, грани которых пронумерованы 1, 2, 3, 4.
У Николая есть шесть шестигранных (кубических) игральных костей, грани которых пронумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Петр и Николай бросают кости и сравнивают, сколько выпало в сумме. У кого в сумме выпало больше - то победил. Ничьей считается ситуация, когда у обоих игроков в сумме выпало одинаковое число.

Какова вероятность, что Пирамидальный Петр выиграет у Кубического Николая? Дайте ответ, округленный до седьмого знака после десятичной точки в форме 0.abcdefg

206

Найдите единственное возможное положительное целое число, чей квадрат имеет форму 1_2_3_4_5_6_7_8_9_0,
где каждое “_” обозначает одну цифру.

207

Для некоторых положительных целых чисел k существует целочисленное разложение вида  4^(t) = 2^(t) + k,
где 4^(t), 2^(t), и k являются положительными целыми числами, а t - вещественное число.

Первые два такие разложения: 4^(1) = 2^(1) + 2 и 4^(1.5849625...) = 2^(1.5849625...) + 6.

Разложения, в которых t также является целым числом, называются идеальными.
Пусть P(m) - соотношение идеальных разложений при km для любого m ≥ 1.
Соответственно, P(6) = 1/2.

В нижеприведенной таблице перечислены некоторые значения P(m)

   P(5) = 1/1
   P(10) = 1/2
   P(15) = 2/3
   P(20) = 1/2
   P(25) = 1/2
   P(30) = 2/5
   ...
   P(180) = 1/4
   P(185) = 3/13

Найдите наименьшее m, при котором P(m) < 1/12345.

208

Траектория движения работа представляет собой череду дуг в одну пятую часть окружности (72°) со свободным выбором направления следующей дуги (по или против часовой стрелке) для каждого следующего шага, однако разворот на месте запрещен.

Один из 70 932 возможных замкнутых путей, состоящих из 25 дуг, с начальным направлением на север таков:

Сколько возможных замкнутых путей (последняя дуга оканчивается в точке начала пути) длиной в 70 дуг может пройти робот, если его первоначальное направление - север?
(Любая дуга может быть пройдена несколько раз).

209

Таблица истинности логики с k-входами - это порядок присвоения одного выходного бита k входным битам (двоичным цифрам, 0 [false] или 1 [true]). К примеру, так выглядят двоичные 2-входовые таблицы истинности для операций логического И (AND), а также исключающего ИЛИ (XOR):

x y x AND y
000
010
100
111
x y x XOR y
000
011
101
110

Сколько 6-входовых двоичных таблиц истинности τ удовлетворят следующей формуле

τ(a, b, c, d, e, f) AND τ(b, c, d, e, f, a XOR (b AND c)) = 0

для всех возможных 6-разрядных входов (a, b, c, d, e, f)?

210
Рассмотрим множество S(r) точек (x,y) с целочисленными координатами, удовлетворяющими неравенству |x| + |y| ≤ r.
Пусть O будет точкой (0,0), и C - точкой (r/4,r/4).
Пусть N(r) будет количеством точек B в S(r) таких, что треугольник OBC имеет тупой угол, т.е. его наибольший угол α удовлятворяет неравенству 90°<α<180°.
Так, к примеру, N(4)=24 и N(8)=100.

Чему равно N(1 000 000 000)?

211

Пусть для положительного целого n, σ_(2)(n) будет суммой квадратов его делителей. Для примера,

σ_(2)(10) = 1 + 4 + 25 + 100 = 130.

Найдите сумму всех n, 0 < n < 64 000 000, таких, что σ_(2)(n) является квадратом целого числа.

212

Выравненный по осям прямоугольный параллелепипед, определяемый параметрами { (x_(0),y_(0),z_(0)), (dx,dy,dz) }, состоит из таких точек (X,Y,Z), для которых x_(0) ≤ X < x_(0)+dx, y_(0) < Y ≤ y_(0)+dy и z_(0) ≤ Z ≤ z_(0)+dz. Объем прямоугольного параллелепипеда есть произведение dx × dy × dz. Общий объем набора прямоугольных параллелепипедов равен объему объединенных прямоугольных параллелепипедов, и, в случае их перекрытия, он будет меньше суммы отдельных объемов.

Пусть C_(1),...,C_(50000) - набор 50000 выравненных по осям прямоугольных параллелепипедов, параметры каждого прямоугольного параллелепипеда C_(n) представлены ниже:

x_(0) = S_(6n-5) modulo 10000
y_(0) = S_(6n-4) modulo 10000
z_(0) = S_(6n-3) modulo 10000
dx = 1 + (S_(6n-2) modulo 399)
dy = 1 + (S_(6n-1) modulo 399)
dz = 1 + (S_(6n) modulo 399)

где S_(1),...,S_(300000) получают с помощью "генератора Фибоначчи с задержкой":

For 1 ≤ k ≤ 55, S_(k) = [100003 - 200003k + 300007k^(3)]   (modulo 1000000)
For 56 ≤ k, S_(k) = [S_(k-24) + S_(k-55)]   (modulo 1000000)

Таким образом, параметры C_(1): {(7,53,183),(94,369,56)}, параметры C_(2): {(2383,3563,5079),(42,212,344)}, и т.д.

Общий объем первых 100 прямоугольных параллелепипедов C_(1),...,C_(100) равен 723581599.

Чему равен общий объем всех 50000 прямоугольных параллелепипедов C_(1),...,C_(50000)?

213

Поле в 30×30 квадратов содержит 900 блох, изначально - по одной блохе на квадрат.
Когда звучит колокол, каждая блоха прыгает в случайный прилежащий квадрат (обычно возможно 4 варианта, кроме блох, находящихся на краю или в углу поля).

Какое ожидается число незанятых квадратов после того, как колокол прозвонит 50 раз? Дайте ответ, округленный до шести знаков после десятичной точки.

214

Пусть φ будет функцией Эйлера, т.е. для натурального числа n, φ(n) равна числу таких k, 1 ≤ kn, для которых НОД(k,n) = 1.

Перебирая φ, каждое положительное целое число генерирует убывающую последовательность чисел, оканчивающуюся 1.
Например, если мы начнем с 5, будет сгенерирована последовательность 5,4,2,1.
Вот список всех последовательностей с длиной 4:

5,4,2,1
7,6,2,1
8,4,2,1
9,6,2,1
10,4,2,1
12,4,2,1
14,6,2,1
18,6,2,1

Только две из этих последовательностей начинаются с простого числа. Сумма их первых чисел равна 12.

Чему равна сумма всех простых чисел меньше 40 000 000, которые генерируют последовательность с длиной 25?

215

Рассмотрим задачу постройки стены из кирпичей размеров 2×1 и 3×1 (горизонтальный×вертикальный размер), причем такой, чтобы для прочности соседние по горизонтали кирпичи не образовывали последовательных вертикальных рядов, другими словами - чтобы вертикальные швы не образовывали "сплошную трещину".

Для примера, следующая стена 9×3 не годится из-за сплошной трещины, обозначенной красным:

Существует восемь способов построить стену размером 9×3 без трещин. Это можно обозначить как W(9,3) = 8.

Вычислите W(32,10).

216

Рассмотрим числа t(n) в виде t(n) = 2n^(2)-1, где n > 1.
Первые такие числа - 7, 17, 31, 49, 71, 97, 127 и 161.
Оказывается, что только 49 = 7*7 и 161 = 7*23 не являются простыми числами.
Для n ≤ 10000 существуют 2202 числа t(n), являющихся простыми числами.

Сколько чисел t(n) являются простыми для n ≤ 50 000 000 ?

217

Положительное целое число, имеющее k десятичных цифр, называется уравновешенным, если сумма его первых ⌈^(k)/_(2)⌉ цифр равна сумме его последних ⌈^(k)/_(2)⌉ цифр, где ⌈x⌉, читается округление вверх x - наименьшее целое число ≥ x, таким образом ⌈π⌉ = 4 и ⌈5⌉ = 5.

Так, к примеру, все палиндромы уравновешены, равно как и число 13722.

Пусть T(n) будет суммой всех уравновешенных чисел меньше 10^(n).
Таким образом, T(1) = 45, T(2) = 540 и T(5) = 334795890.

Найдите T(47) mod 3^(15).

218

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a=7, b=24 и c=25. Площадь этого треугольника равна 84, и делится на совершенные числа 6 и 28.
К тому же, это - примитивный прямоугольный треугольник, так как НОД(a,b) = 1 и НОД(b,c) = 1.
Также, c - квадрат целого числа.

Назовем прямоугольный треугольник идеальным, если
- это - примитивный прямоугольный треугольник;
- его гипотенуза является квадратом целого числа.

Назовем прямоугольный треугольник сверх-идеальным, если
- это - идеальный прямоугольный треугольник, и
- его площадь делится на совершенные числа 6 и 28.

Сколько существует идеальных прямоугольных треугольников с c≤10^(16), в то же время не являющихся сверх-идеальными?

219

Пусть A и B - двоичные последовательности (последовательности из 0 и 1).
Если A равно length(A) крайним левым битам B, то говорят, что A, является префиксом B.
Например, 00110 является префиксом 001101001, но не 00111 или 100110.

Беспрефиксный код размером n - это такой набор из n отличных битовых последовательностей, в котором ни одна последовательность не является префиксом другой последовательности. К примеру, ниже представлен беспрефиксный код размером 6:

0000, 0001, 001, 01, 10, 11

Теперь предположим, что цена передачи бита '0' - один пенс, а цена передачи бита '1' составляет 4 пенса.
Тогда, общая стоимость выше указанного беспрефиксного кода составляет 35 пенсов, что, как оказалось, является наименьшей возможной стоимостью при несимметричной ценовой политике.
Сокращенно, запишем Cost(6) = 35.

Чему равна стоимость Cost(10^(9))?

220

Пусть D_(0) будет двухбуквенной строкой "Fa". Для n≥1, D_(n) образуется из D_(n-1) путем следующих правил переписывания строк:

"a" → "aRbFR"
"b" → "LFaLb"

Таким образом, D_(0) = "Fa", D_(1) = "FaRbFR", D_(2) = "FaRbFRRLFaLbFR", и так далее.

Эти строки могут быть истолкованы как инструкции для программы компьютерной графики так, что "F" значит "рисовать на одну единицу вперед", "L" значит "повернуть налево на 90 градусов", "R" значит "повернуть направо на 90 градусов", а "a" и "b" игнорируются. Начальное положение компьютерного курсора (0,0), направление - наверх, на (0,1).

Тогда D_(n) становится необычным рисунком, известным как дракон Хейтуэя порядка n. Например, D_(10) показан ниже; считая каждое "F" как один шаг, выделенная точка на (18,16) является положением, достигнутым в 500 шагов.

Каким будет положение курсора после 10^(12) шагов в D_(50) ?
Дайте ответ в виде x,y без пробелов.

221

Назовем положительное целое число A "александрийским целым", если существуют целые p, q, r такие, что:

A = p · q · r    и  
1
A
=
1
p
+
1
q
+
1
r

Например, 630 - александрийское целое (p = 5, q = −7, r = −18). Вообще, 630 - это шестое александрийское целое; первыми шестью александрийскими целыми являются 6, 42, 120, 156, 420 и 630.

Найдите 150 000-е александрийское целое.

222

Какова длина самой короткой трубы внутренним радиусом в 50 мм, которая может полностью вместить в себя 21 шар с радиусами 30 мм, 31 мм, ..., 50 мм?

Дайте ответ в микрометрах (10^(-6) м), округленный до ближайшего целого.

223

Назовем треугольник с целыми сторонами abc слегка остроугольным, если стороны удовлетворяют равенству
a^(2) + b^(2) = c^(2) + 1.

Сколько существует слегка остроугольных треугольников с периметром ≤ 25 000 000?

224

Назовем треугольник с целыми сторонами abc слегка тупоугольным, если стороны удовлетворяют равенству
a^(2) + b^(2) = c^(2) - 1.

Сколько существует слегка тупоугольных треугольников с периметром ≤ 75 000 000?

225

Последовательность 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ...
определена следующим образом: T_(1) = T_(2) = T_(3) = 1 и T_(n) = T_(n-1) + T_(n-2) + T_(n-3).

Можно показать, что ни один элемент этой последовательности не делится на число 27.
Вообще, 27 - это первое нечетное число, обладающее таким свойством.

Найдите 124-е нечетное число, на которое не делится ни один элемент вышеприведенной последовательности.

226

Кривая бланманже - множество таких точек (x,y), что 0 ≤ x ≤ 1 и ,
где s(x) равно расстоянию от x до ближайшего целого числа.

Площадь области под кривой бланманже равна ½, на рисунке ниже она выделена розовым цветом.

blancmange curve

Пусть C будет окружность с центром (¼,½) и радиусом ¼, на рисунке она изображена черным цветом.

Какая площадь под кривой бланманже заключена в окружности C?
Дайте ответ, округленный до восьмого знака после десятичной точки в форме 0.abcdefgh

227

"Погоня" - это игра для четного количества игроков с двумя кубиками.

Игроки сидят за столом; игра начинается с того, что два сидящих напротив друг друга игрока получают по одному кубику. Каждый ход два игрока с кубиками кидают их.
Если у игрока выпадает 1, он передает кубик соседу слева; если выпадает 6, он передает кубик соседу справа; в остальных случаях кубик остается у него до следующего хода.
Игра заканчивается, когда один игрок получает оба кубика в результате ходов и передач - этот игрок считается проигравшим.

Если играют 100 игроков, каково ожидаемое количество ходов в игре до ее завершения?

Дайте ответ, округленный до десяти значимых цифр.

228

Пусть S _(n) будет правильный n-сторонний многоугольник (далее - фигура), чьи вершины v_(k) (k = 1,2,…,n) имеют координаты:

x_(k)   =   cos( ^(2k-1)/_(n) ×180° )
y_(k)   =   sin( ^(2k-1)/_(n) ×180° )

Каждый S_(n) представляется как заполненная фигура, состоящая из всех точек на периметре и внутри фигуры.

Сумма Минковского S+T двух фигур S и T является результатом прибавления каждой точки S к каждой точке T, где сложение точек происходит путем сложения их координат: (u, v) + (x, y) = (u+x, v+y).

Для примера, суммой S_(3) и S_(4) является шестисторонняя фигура, показанная ниже розовым цветом:

picture showing S_3 + S_4

Сколько сторон имеет S_(1864) + S_(1865) + … + S_(1909)?

229

Рассмотрим число 3600. Оно очень особенное, потому что

3600 = 48^(2) +     36^(2)

3600 = 20^(2) + 2×40^(2)

3600 = 30^(2) + 3×30^(2)

3600 = 45^(2) + 7×15^(2)

Аналогично, мы обнаруживаем, что 88201 = 99^(2) + 280^(2) = 287^(2) + 2×54^(2) = 283^(2) + 3×52^(2) = 197^(2) + 7×84^(2).

В 1747 г. Эйлер доказал, какие числа можно представить в виде суммы двух квадратов. Нас интересуют числа n, которые отвечают следующим представлениям всех четырех видов:

n = a_(1)^(2) +   b_(1)^(2)

n = a_(2)^(2) + 2 b_(2)^(2)

n = a_(3)^(2) + 3 b_(3)^(2)

n = a_(7)^(2) + 7 b_(7)^(2),

где a_(k) и b_(k) - положительные целые числа.

Существует всего 75373 таких чисел, не превышающих 10^(7).
Сколько существует таких чисел, не превышающих 2×10^(9)?

230

Для любых двух строк A и B, составленных из цифр, определим F_(A,B) как последовательность (A,B,AB,BAB,ABBAB,...), в которой каждый следующий элемент слагается из двух предыдущих.

Далее, определим D_(A,B)(n) как n-ю цифру первого элемента F_(A,B), который содержит по крайней мере n цифр.

Пример:

Пусть A=1415926535, B=8979323846. Мы хотим найти, к примеру, D_(A,B)(35).

Первыми элементами F_(A,B) являются:
1415926535
8979323846
14159265358979323846
897932384614159265358979323846
14159265358979323846897932384614159265358979323846

Тогда D_(A,B)(35) - это 35-я цифра пятого элемента - 9.

Теперь в качестве A возьмем первые сто цифр числа π после десятичной точки:

14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679

а в качестве B - следующие сто цифр:

82148086513282306647093844609550582231725359408128
48111745028410270193852110555964462294895493038196.

Найдите _(n = 0,1,...,17)   10^(n)× D_(A,B)((127+19n)×7^(n)) .

231

Коэффициент двучлена ^(10)C_(3) = 120.
120 = 2^(3) × 3 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5, и 2 + 2 + 2 + 3 + 5 = 14.
Таким образом, сумма членов простого разложения ^(10)C_(3) составляет 14.

Найдите сумму членов простого разложения ^(20000000)C_(15000000).

232

В игре "Гонка" двое игроков имеют симметричную монету, и по очереди используют ее для своего хода. Во время хода Игрока 1, он бросает монету один раз: если выпадает орел - он получает одно очко, если выпадает решка - он не получает ничего. Во время хода Игрока 2, она выбирает положительное целое число T и бросает монету T раз: если все время выпадает орел, она получает 2^(T-1) очков, в противном случае она не получает ничего. Игрок 1 ходит первый. Побеждает тот, кто первый зарабатывает 100 или больше очков.

Каждый раз во время своего хода Игрок 2 выбирает число бросков монеты T такое, которое максимально увеличивает вероятность ее выигрыша.

Какова вероятность, что Игрок 2 выиграет?

Дайте ответ, округленный до восьмого знака после десятичной точки в форме 0.abcdefgh .

233

Пусть f(N) будет количеством точек с целыми координатами, находящихся на окружности, проходящей через (0,0), (N,0),(0,N) и (N,N).

Можно показать, что f(10000) = 36.

Какова сумма всех положительных целых чисел N ≤ 10^(11) таких, что f(N) = 420 ?

234

Для целого числа n ≥ 4, мы определим нижний простой квадратный корень от n, обозначенный lps(n), как наибольшее простое число ≤ √n и верхний простой квадратный корень от n, ups(n), как наименьшее простое число ≥ √n.

Так, к примеру, lps(4) = 2 = ups(4), lps(1000) = 31, ups(1000) = 37.
Назовем целое число n ≥ 4 полуделимым, если n делится или на lps(n), или на ups(n), но не на оба сразу.

Сумма всех полуделимых чисел не больше 15 равна 30, эти числа - 8, 10 и 12.
15 - не полуделимое число, потому что оно кратно как lps(15) = 3, так и ups(15) = 5.
Также, например, сумма 92-х полуделимых чисел, не превышающих 1000, равна 34825.

Какова сумма всех полуделимых чисел не больше 999 966 663 333 ?

235

Дана арифметически-геометрическая последовательность u(k) = (900-3k)r^(k-1).
Пусть s(n) = Σ_(k=1...n)u(k).

Найдите значение r, при котором s(5000) = -600 000 000 000.

Дайте ответ, округленный до 12 знаков после десятичной точки.

236

Поставщики 'A' и 'B' предоставили следующее количество товаров для рынка подарочных корзинок:

Товар'A''B'
Белужья икра5248640
Рождественский пирог13121888
Ветчина26243776
Старый портвейн57603776
Шампаньские трюфели39365664

Несмотря на то, что поставщики очень стараются доставить свой товар в идеальном состоянии, неотвратимо происходит порча товара - т.е. продукты портятся.

Поставщики сравнивают свои услуги, используя два вида статистики:

  • Пять степеней порчи каждого продукта в отдельности у обоих поставщиков равны количеству испортившихся продуктов, деленому на общее количество поставленных продуктов, для каждого из пяти товаров по отдельности.
  • Общая степень порчи для каждого поставщика равна общему количеству испортившихся продуктов, деленому на общее количество продуктов, поставленных этим поставщиком.

К своему удивлению, поставщики обнаружили, что каждая из пяти степеней порчи для каждого продукта у поставщика 'B' оказалась выше (хуже), чем у 'A', с одинаковым коэффициентом (отношение степеней порчи), m>1. Тем не менее, как это ни парадоксально, но общая степень порчи у 'A' была хуже, чем у 'B', причем тоже с коэффициентом m.

Существует тридцать пять m>1, при которых возникает этот удивительный результат, наименьшее из которых равно 1476/1475.

Каково наибольшее возможное значение m?
Дайте ответ в виде простой дроби u/v.

237

Пусть T(n) будет количеством маршрутов по доске 4 × n таких, что:

  • Маршрут начинается в левом верхнем углу.
  • Маршрут состоит из движений вверх, вниз, влево или вправо на одну клетку.
  • Маршрут проходит по каждой клетке ровно один раз.
  • Маршрут кончается в нижнем левом углу.

Рисунок ниже показывает один из маршрутов по доске 4 × 10:

T(10) равно 2329. Чему равно T(10^(12)) mod 10^(8)?

238

Создайте последовательность чисел с помощью генератора псевдослучайных чисел "Blum Blum Shub":

s_(0) = 14025256
s_(n+1) = s_(n)^(2) mod 20300713

Соедините эти числа  s_(0)s_(1)s_(2)… чтобы получить строку w бесконечной длины.
Тогда, w = 14025256741014958470038053646…

Для положительного целого числа k, если не существует такой подстроки w, сумма чьих цифр равна k, p(k) определяется как равное нулю. Если существует хотя бы одна подстрока w, сумма чьих цифр равна k, мы определим p(k) = z, где z - начальная позиция первой такой подстроки.

Для примера:

Подстроки 1, 14, 1402, …
с суммами цифр 1, 5, 7, … соответственно
начинаются с позиции 1, посему p(1) = p(5) = p(7) = … = 1.

Подстроки 4, 402, 4025, …
с суммами цифр 4, 6, 11, … соответственно
начинаются с позиции 2, посему p(4) = p(6) = p(11) = … = 2.

Подстроки 02, 0252, …
с суммами цифр 2, 9, … соответственно
начинаются с позиции 3, посему p(2) = p(9) = … = 3.

Обратите внимание, что подстрока 025, начинающаяся с позиции 3, имеет сумму цифр, равную 7, однако существует подстрока до нее (начинающаяся с позиции 1) с суммой цифр, равной 7, поэтому p(7) = 1, а не 3.

Можно показать, что для 0 < k ≤ 10^(3), p(k) = 4742.

Найдите p(k) для 0 < k ≤ 2·10^(15).

239

Множество дисков, пронумерованных от 1 до 100, размещены в линию в случайном порядке.

Какова вероятность, что мы столкнемся с частичным беспорядком, при котором ровно 22 диска с простыми числами окажутся не на своих положениях?
(Любое количество дисков с не простыми числами может находиться или не находиться на своем положении).

Дайте ответ, округленный до 12 знаков после десятичной точки в форме 0.abcdefghijkl.

240

Существует 1111 способов, как пять шестигранных кубиков (грани пронумерованы от 1 до 6) можно бросить так, чтобы три старших кубика (три самых больших из полученных значений) в сумме давали 15. Вот несколько примеров:

D_(1),D_(2),D_(3),D_(4),D_(5) = 4,3,6,3,5
D_(1),D_(2),D_(3),D_(4),D_(5) = 4,3,3,5,6
D_(1),D_(2),D_(3),D_(4),D_(5) = 3,3,3,6,6
D_(1),D_(2),D_(3),D_(4),D_(5) = 6,6,3,3,3

Сколькими способами можно бросить двадцать 12-гранных кубиков (грани пронумерованы от 1 до 12) так, чтобы сумма десяти старших кубиков была 70?

241

Для положительного целого числа n, пусть σ(n) будет суммой всех делителей n, так, например, σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.

Совершенное число, как вы, вероятно, знаете - это число, у которого σ(n) = 2n.

Определим коэффициент совершенности как положительное целоеp(n)
σ(n)

n
.

Найдите сумму всех положительных чисел n ≤ 10^(18), для которых p(n) имеет вид k + ^(1)_(2), где k - целое число.

242

Дано множество {1,2,...,n}. Определим f(n,k) как количество его подмножеств в k элементов с нечетной суммой всех элементов. К примеру, f(5,3) = 4, так как множество {1,2,3,4,5} имеет четыре подмножества по три элемента, сумма чьих элементов нечетна: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} и {2,4,5}.

Если все три значения n, k и f(n,k) нечетны, они образуют
нечетную тройку [n,k,f(n,k)].

Существует ровно пять нечетных троек для n ≤ 10, а именно:
[1,1,f(1,1) = 1], [5,1,f(5,1) = 3], [5,5,f(5,5) = 1], [9,1,f(9,1) = 5] и [9,9,f(9,9) = 1].

Сколько существует нечетных троек для n ≤ 10^(12) ?

243

Положительная дробь, чей числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью.
Для любого знаменателя d существует d−1 правильных дробей; к примеру, для d = 12:
^(1)/_(12) , ^(2)/_(12) , ^(3)/_(12) , ^(4)/_(12) , ^(5)/_(12) , ^(6)/_(12) , ^(7)/_(12) , ^(8)/_(12) , ^(9)/_(12) , ^(10)/_(12) , ^(11)/_(12) .

Назовем дробь, которую невозможно сократить, упругой дробью.
Далее, определим упругость знаменателя R(d) как отношение количества упругих правильных дробей к общему количеству правильных дробей с этим знаменателем; к примеру, R(12) = ^(4)/_(11) .
Вообще, d = 12 является наименьшим знаменателем, чья упругость R(d) < ^(4)/_(10) .

Найдите наименьший знаменатель d с упругостью R(d) < ^(15499)/_(94744) .

244

Наверняка вам знакома игра пятнашки. Вместо пронумерованных плиток, мы воспользуемся семью красными плитками и восемью синими.

Ходы обозначаются заглавной начальной буквой направления (Left, Right, Up, Down), в котором передвигают плитку на свободное место, т.е. начав с конфигурации (S), и выполнив последовательность перемещений LULUR, мы получим конфигурацию (E):

(S), (E)

Контрольная сумма каждого пути рассчитывается следующим образом (псевдо-код):

checksum = 0
checksum = (checksum × 243 + m_(1)) mod 100 000 007
checksum = (checksum × 243 + m_(2)) mod 100 000 007
   …
checksum = (checksum × 243 + m_(n)) mod 100 000 007
где m_(k) является ASCII-кодом k-той буквы в последовательности переходов. Соответствующие ASCII-коды направлений:
L76
R82
U85
D68

Для приведенной выше последовательности LULUR контрольная сумма составит 19761398.

А теперь, начав с конфигурации (S), найдите все кратчайшие пути к конфигурации (T).

(S), (T)

Чему равна сумма всех контрольных сумм для кратчайших путей?

245

Назовем дробь, которую невозможно сократить, упругой дробью.
Далее, определим упругость знаменателя R(d) как отношение количества упругих правильных дробей к общему количеству правильных дробей с этим знаменателем. К примеру, R(12) = ^(4)_(11).

Упругость числа d > 1 равна
φ(d)

d - 1
, где φ - функция Эйлера.
Далее определим соупругость числа n > 1 как C(n)
n - φ(n)

n - 1
.
Соупругость простого числа p равна C(p)
1

p - 1
.

Найдите сумму всех сложных целых чисел 1 < n ≤ 2×10^(11), для которых C(n) - единичная дробь.

Примечание: верхняя граница была изменена. Убедитесь, что вы используете верную верхнюю границу.

246

Определение эллипса таково:
Если дана окружность c с центром в точке M и радиусом r и точка G такая, что d(G,M)

Построение точек эллипса показано ниже.

Даны точки M(-2000,1500) и G(8000,1500).
Дана также окружность c с центром в точке M и радиусом 15 000.
Геометрическое место точек, равноудаленных от G и c, образует эллипс e.
Из точки P вне e проведены две касательные t_(1) и t_(2) к эллипсу.
Пусть точками касания t_(1) и t_(2) будут точки R и S соответственно.

Для скольки точек P сетки угол RPS больше 45 градусов?

247

Рассмотрим область, ограниченную 1 ≤ x и 0 ≤ y^(1)/_(x).

Пусть S_(1) будет наибольшим квадратом, который может поместиться под кривой.
Пусть S_(2) будет наибольшим квадратом, который может поместиться в оставшейся площади, и так далее.
Пусть индексом S_(n) будет пара чисел (слева, снизу), показывающая количество квадратов слева от S_(n) и количество квадратов снизу от S_(n).

На картинке изображены несколько квадратов, помеченных номерами.
S_(2) имеет один квадрат слева и ни одного снизу, значит, индекс S_(2) - (1,0).
Можно заметить, что индекс S_(32) - (1,1), также как и индекс S_(50).
50 - наибольшее n, для которого индекс S_(n) равен (1,1).

Каково наибольшее n, для которого индекс S_(n) равен (3,3)?

248

Первое число n, для которого φ(n)=13! - это 6227180929.

Найдите 150 000-е такое число.

Примечание: Число, которое необходимо найти, было недавно изменено. Проверьте, что вы высчитываете правильное число!

249

Пусть S = {2, 3, 5, ..., 4999} будет множеством простых чисел до 5000.

Найдите количество подмножеств S, сумма чьих элементов является простым числом.
Введите 16 последних цифр вашего ответа.

250

Найдите количество непустых подмножеств множества {1^(1), 2^(2), 3^(3),..., 250250^(250250)}, сумма чьих элементов делится на 250. В качестве ответа приведите шестнадцать последних цифр.

251

Тройка положительных целых чисел (a,b,c) называется тройкой Кардано, если она удовлетворяет условию:

К примеру, (2,1,5) - это тройка Кардано.

Существует 149 троек Кардано при a+b+c ≤ 1000.

Найдите, сколько существует троек Кардано при a+b+c ≤ 110 000 000.

Примечание: Задача недавно было изменена, убедитесь, что вы используете верные параметры.

252

При данном множестве точек на плоскости, определим выпуклое отверстие как выпуклый многоугольник, имеющий в качестве вершин любые из данных точек и не содержащий данные точки внутри себя (в дополнение к этому, данные точки могут лежать на сторонах многоугольника).

К примеру, рисунок ниже показывает множество из двадцати точек и несколько выпуклых отверстий. Выпуклое отверстие, обозначенное красным семиугольником, имеет площадь 1 049 694.5 единиц площади, что является самой большой возможной площадью для выпуклого отверстия при данном множестве точек.

В нашем примере мы использовали первые 20 точек (T _(2k−1 ) , T _( 2k ) ), для k = 1,2,…,20, полученных с помощью следующего генератора псевдослучайных чисел:

S_(0) =_( ) 290797_( )
S_(n+1) =_( ) S_(n)^(2) mod 50515093
T_(n) =_( ) ( S_(n) mod 2000 ) − 1000^( )

К примеру, (527, 144), (−488, 732), (−454, −947), …

Какова максимальная площадь выпуклого отверстия при данном множестве из первых 500 точек такой псевдослучайной последовательности?
Укажите ответ, включая одну цифру после десятичной точки.

253

У маленького мальчика есть “числовая гусеница”, состоящая из сорока пронумерованых кусочков, которые, будучи соединены в линию, образуют возрастающий числовой ряд от 1 до 40.

Каждую ночь отец мальчика подбирает разбросанные по комнате кусочки гусеницы. Он берет случайные кусочки и размещает их в правильном порядке.
В процессе такого собирания гусеницы сначала образуются отдельные сегменты, которые потом объединяются.
Количество сегментов начинается с нуля (ни одного кусочка), потом увеличивается до одиннадцати или двенадцати, потом снова падает, пока не завершится одним сегментом (все кусочки размещены).

Например:

Подобранный кусочек Текущее количество сегментов
121
42
293
64
345
54
354

Пусть M будет максимальным количеством сегментов, образованных в результате случайной уборки разобранной гусеницы.
Для гусеницы, состоящей из десяти кусочков, количество вариантов для каждого M равно

M Варианты
1512      
2250912      
31815264      
41418112      
5144000      

поэтому наиболее вероятное значение M равно 3, а среднее значение равно ^(385643)_(113400) = 3.400732, округленное до шестого знака после десятичной точки.

Наиболее вероятное значение M для гусеницы из сорока кусочков равно 11. Какое тогда будет среднее значение M?

Дайте ответ, округленный до шести знаков после десятичной точки.

254

Определим f(n) как сумму факториалов всех цифр числа n. Например, f(342) = 3! + 4! + 2! = 32.

Определим sf(n) как сумму цифр f(n). Таким образом, sf(342) = 3 + 2 = 5.

Определим g(i) как наименьшее положительное целое число n такое, что sf(n) = i. Хотя sf(342) равно 5, sf(25) тоже равно 5, и можно показать, что g(5) равно 25.

Определим sg(i) как сумму цифр g(i). Таким образом, sg(5) = 2 + 5 = 7.

Далее, можно показать, что g(20) равно 267, и  sg(i) для 1 ≤ i ≤ 20 равна 156.

Чему равна  sg(i) для 1 ≤ i ≤ 150?

255

Определим округленный квадратный корень положительного целого числа n как квадратный корень n, округленный в сторону ближайшего целого числа.

Следующая процедура (по-существу, это - применение метода Герона для целочисленной арифметики) находит округленный квадратный корень числа n:

Пусть d - количество цифр числа n.
Если d нечетное число, x_(0) = 2×10^((d-1)⁄2).
Если d четное число, x_(0) = 7×10^( (d-2)⁄2).
Повторять цикл:

до тех пор, пока не будет достигнуто x_(k +1) = x_(k).

В качестве примера, рассмотрим округленный квадратный корень n = 4321.
n состоит из 4 цифр, так что x_(0) = 7×10^((4-2)⁄2) = 70.

Поскольку x_(2) = x_(1), то здесь мы и останавливаемся.
Таким образом, по завершении всего двух итераций нам удалось найти округленный квадратный корень числа 4321, равный 66 (точное значение корня составляет 65.7343137…).

Число необходимых итераций для данного метода на удивление невелико.
К примеру, мы можем найти округленное значение квадратного корня для числа из 5 цифр (10 000 ≤ n ≤ 99 999), выполнив в среднем 3.2102888889 итераций (среднее значение округлено до 10 знаков после десятичной точки).

Используя описанную выше процедуру, определите, чему равно среднее число итераций при нахождении округленного значения квадратного корня для 14-значного числа (10^(13)n < 10^(14))?
Ответ округлите с точностью до 10 знаков после десятичной точки.

Примечание: Символами ⌊x⌋ и ⌈x⌉ обозначают функции округления вниз и округления вверх, соответственно.

256

Татами - прямоугольные маты, которыми полностью покрывают пол комнаты, без перекрытий.

Предположим, что единственный возможный вид татами имеет размеры 1×2, очевидно, что на размер и форму комнаты накладываются некоторые ограничения, чтобы пол комнаты можно было покрыть целиком.

В данной задаче мы рассматриваем только комнаты прямоугольной формы с целыми размерами a, b и четным размером s = a·b.
Под термином 'размер' мы подразумеваем площадь поверхности пола комнаты и, без потери условия обобщенности, добавим требование ab.

При покрытии татами есть одно правило, которому необходимо следовать: не должно быть ни одной такой точки, где происходил бы стык четырех разных матов.
К примеру, рассмотрим два варианта покрытия пола комнаты 4×4 ниже:


Вариант покрытия слева приемлем, в то время как правый вариант - нет: красный символ "X" в середине указывает место стыка четырех матов татами

Из-за такого правила, даже для комнат с четными размерами не всегда можно покрыть пол татами: такие комнаты мы будем называть комнатами без татами.
Далее, определим T(s) как число комнат без татами размером s.

Наименьшая комната без татами имеет размер s = 70 и размерности 7×10.
Полы всех остальных комнат размером s = 70 можно покрыть татами; размерности таких комнат: 1×70, 2×35 и 5×14.
Значит, T(70) = 1.

Аналогично, мы можем убедиться в том, что T(1320) = 5, т.к. существует ровно 5 комнат без татами размером s = 1320:
20×66, 22×60, 24×55, 30×44 и 33×40.
К слову, s = 1320 является наименьшим размером s комнаты, для которой T (s) = 5.

Найдите наименьший размер комнаты s, при котором T(s) = 200.

257

Задан треугольник ABC с целыми сторонами a ≤ b ≤ c (AB = c, BC = a и AC = b).
Биссектрисы углов такого треугольника пересекают стороны в точках E, F и G (см. рисунок ниже).


Отрезки EF, EG и FG делят треугольник ABC на четыре меньших треугольника: AEG, BFE, CGF и EFG.
Можно доказать, что для каждого из этих треугольников отношение площадей S(ABC)/S(AEG), S(ABC)/S(BFE), S(ABC)/S(CGF) и S(ABC)/S(EFG) - рациональное число.
Однако, существуют такие треугольники, у которых несколько, или даже все такие отношения являются целыми числами.

Сколько существует треугольников ABC периметром ≤100 000 000, у которых отношение площадей S(ABC)/S(AEG) является целым числом?

258

Последовательность определяется следующим образом:

  • g_(k) = 1, для 0 ≤ k ≤ 1999
  • g_(k) = g_(k-2000) + g_(k-1999), для k ≥ 2000.

Найдите g_(k) mod 20092010 для k = 10^(18).

259

Положительное целое число называется достижимым, если его можно получить из арифметического выражения согласно следующим правилам:

  • Использование цифр от 1 до 9 именно в таком порядке, каждую цифру использовать лишь один раз.
  • Любые последовательные цифры можно объединить (например, объединив цифры 2, 3 и 4, получим число 234).
  • Разрешены только четыре обычные двоичные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление).
  • Каждую из операций можно использовать сколько угодно раз, или не использовать вовсе.
  • Унарный минус не разрешается.
  • Разрешено любое количество скобок (допускаются вложенные) для указания последовательности выполнения операций.

К примеру, 42 является достижимым числом, т.к. (1/23) * ((4*5)-6) * (78-9) = 42.

Чему равна сумма всех положительных достижимых целых чисел?

260

В игру играют два игрока с помощью трех кучек камушков.
Когда приходит его ход, игрок берет один или более камушков из кучки. Однако, беря камушки из более, чем одной кучки, игрок должен взять такое же количество камушков из всех выбранных кучек.

Другими словами, игрок выбирает N>0 камушков, взяв:

  • N камушков из одной кучки; или
  • N камушков из каждой из любых двух кучек (всего 2N); или
  • N камушков из каждой из трех кучек (всего 3N).
Победит тот игрок, который возьмет последний камушек.

Под выигрышной конфигурацией подразумевается такая, в которой первый игрок может сразу победить.
К примеру, (0,0,13), (0,11,11) и (5,5,5) являются выигрышными конфигурациями, т.к. игрок может сразу взять все камушки.

Под проигрышной конфигурацией подразумевается такая, в которой второй игрок сразу выиграет, вне зависимости от того, что сделает первый игрок.
К примеру, конфигурации (0,1,2) и (1,3,3) являются проигрышными, т.к. в результате любого разрешенного шага первого игрока выиграет второй игрок.

Рассмотрим все проигрышные конфигурации (x_(i),y_(i),z_(i)), где x_(i) ≤ y_(i) ≤ z_(i) ≤ 100.
Можно убедиться, что для них Σ(x_(i)+y_(i)+z_(i)) = 173895.

Найдите Σ(x_(i)+y_(i)+z_(i)), где (x_(i),y_(i),z_(i)) - диапазон всех проигрышных конфигураций
при x_(i) ≤ y_(i) ≤ z_(i) ≤ 1000.

261

Назовем целое положительное число k квадратом-опорой, если существует такая пара целых чисел m > 0 и nk, что сумма (m+1) последовательных квадратов до k (включительно) равнялась сумме m последовательных квадратов от (n+1):

(k-m)^(2) + ... + k^(2) = (n+1)^(2) + ... + (n+m)^(2).

Некоторые малые значения квдратов-опор:

  • 4: 3^(2) + 4^(2) = 5^(2)
  • 21: 20^(2) + 21^(2) = 29^(2)
  • 24: 21^(2) + 22^(2) + 23^(2) + 24^(2) = 25^(2) + 26^(2) + 27^(2)
  • 110: 108^(2) + 109^(2) + 110^(2) = 133^(2) + 134^(2)

Найдите сумму всех различных квадратов-опор ≤ 10^(10).

262

Следующим уравнением описывается непрерывная топография горного региона, если известно, что возвышение h в любой точке (x,y):


Комар намеревается пролететь из точки A(200,200) в точку B(1400,1400), не покидая область, заданную 0 ≤ x, y ≤ 1600.

Из-за мешающих гор, ему необходимо сперва подняться наверх до точки A' с возвышением f. Затем, оставаясь на том же уровне возвышения f, он облетит все возможные преграды и прибудет в точку B' непосредственно над B.

Во-первых, определите такое значение f_(min), при котором величина постоянного возвышения минимальна, что позволит пройти путь от точки А до точки В, оставаясь в указанной области.
Затем, найдите длину наикратчайшей траектории между точками A' и B', при неизменном уровне возвышения f_(min).

Укажите эту длину в качестве ответа, округлив ее до трех знаков после десятичной точки.

Примечание: Для удобства, функция возвышения, написанная выше, приводится в виде, подходящем для большинства языков программирования:
h=( 5000-0.005*(x*x+y*y+x*y)+12.5*(x+y) ) * exp( -abs(0.000001*(x*x+y*y)-0.0015*(x+y)+0.7) )

263

Рассмотрим число 6. Делителями 6 являются 1,2,3 и 6.
Каждое число от 1 до 6 (включительно) может быть записано в виде суммы различных делителей 6:
1=1, 2=2, 3=1+2, 4=1+3, 5=2+3, 6=6.
Число n называется практичным, если каждое из чисел от 1 до n включительно может быть записано в виде суммы различных делителей n.

Пара последовательных простых чисел разницей в 6, называется секси-парой (поскольку "sex" - латинское слово, обозначающее "шесть"). Первая секси-пара (23, 29).

Иногда удается найти тройную пару чисел. Это означает, что встречаются три последовательные секси-пары, у которых второй член пары одновременно является первым членом следующей пары.

Число n, удовлетворяющее следующим требованиям:

  • (n-9, n-3), (n-3,n+3), (n+3, n+9) образуют тройную пару, и
  • все числа n-8, n-4, n, n+4 и n+8 являются практичными,
будем называть раем инженера.

Найдите сумму первых четырех раев инженера.

264

Рассмотрим треугольники, обладающие следующими свойствами:

  • Все их вершины лежат в узлах решетки.
  • Центр описанной окружности находится в начале координат O.
  • Точка пересечения трех высот находится в точке H(5, 0).

Существует девять таких треугольников, периvетр которых ≤ 50.
Эти треугольники перечислены и показаны в порядке убывания их периметров:

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3)
A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3)
A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4)


A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4)
A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5)
A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7)


A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7)
A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7)
A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7)

Сумма всех их периметров, округленная до четырех знаков после десятичной точки, равна 291?0089.

Найдите все такие треугольники, периметр которых ≤ 10^(5).
В качестве ответа, введите полученную сумму, округленную до четырех знаков после десятичной точки.

265

2^(N) двоичных цифры можно разместить в окружности так, чтобы все N-разрядные числа, считываемые в направлении часовой стрелки, были различными.

Для N=3, существует два таких способа записи, не учитывая повороты:

Для первого варианта, 3-разрядные последовательности, считываемые в направлении часовой стрелки:
000, 001, 010, 101, 011, 111, 110 и 100.

Каждая такая сформированная окружность может быть закодирована в виде числа, объединяя все двоичные разряды - начиная с последовательности нулей в качестве старших разрядов, и считывая далее в направлении часовой стрелки. В таком случае, два расположения для N=3 можно представить числами 23 и 29:

00010111 _(2) = 23
00011101 _(2) = 29

Обозначив через S(N) сумму всех различающихся числовых представлений, получим S(3) = 23 + 29 = 52.

Найдите S(5).

266

Делителями числа 12 являются 1,2,3,4,6 и 12.
Наибольший делитель 12, который не превышает квадратный корень 12, равен 3.
Будем называть наибольший делитель целого числа n, не превышающий квадратный корень из n, псевдоквадратным корнем (PSR) числа n.
Можно убедиться в том, что PSR(3102)=47.

Пусть p является произведением простых чисел меньше 190.
Найдите PSR(p) mod 10^(16).

267

Вам предоставлена неповторимая возможность инвестирования средств.

Имея начальный капитал в размере £1, вы можете выбрать фиксированную часть f для 1000 последовательных ставок на подбрасывание симметричной монеты.

Если выпадет орел, поставленные вами деньги удваиваются, если выпала решка - вы теряете свою ставку.

К примеру, если f = 1/4, то ваша первая ставка составляет £0.25. Если выпал орел, вы выигрываете£0.5, и ваши общие средства составят £1.5. Затем вы ставите £0.375, и если выпадает решка, у вас остается £1.125.

Выбирая f с целью максимизации шансов накопления по крайней мере £1 000 000 000 через 1000 бросков, какова вероятность стать миллиардером?

Предполагается, что все вычисления производятся точно (без округления), однако ответ необходимо округлить до 12 знаков после десятичной точки, и представить в виде 0.abcdefghijkl.

268

Можно убедиться в том, что существует 23 положительных целых числа меньше 1000, которые делятся без остатка на хотя бы четыре простые числа меньше 100.

Найдите, сколько существует положительных целых чисел в пределах 10^(16), которые делятся без остатка на хотя бы четыре различных простых числа, не превышающих 100.

269

Корнем или нулем полинома P(x) является решение уравнения P(x) = 0.
Определим P_(n) как полином, коэффициентами которого являются цифры числа n.
К примеру, P_(5703)(x) = 5x^(3) + 7x^(2) + 3.

Нетрудно увидеть, что:

  • P_(n)(0) является последней цифрой n,
  • P_(n)(1) является суммой всех цифр n,
  • P_(n)(10) является самим числом n.

Определим Z(k) как количество положительных целых чисел n, не превышающее k, для которого у полинома P_(n) есть по крайней мере одно целое решение.

Можно показать, что Z(100 000) равно 14696.

Чему равно Z(10^(16))?

270

Кусок бумаге в форме квадрата с целыми сторонами N×N помещается в начало координат, а его стороны - вдоль x-оси и y-оси. Затем, мы разрезаем этот квадрат, руководствуясь следующими правилами:

  • Позволяется разрезать только по прямой между двумя точками на разных сторонах квадрата, при этом координаты точек должны быть целыми числами.
  • Два разреза не должны пересекаться, но допустимо, чтобы они исходили из одной и той же точки на стороне квадрата.
  • Продолжайте разрезать квадратик, до тех пор, пока это возможно.

Считая все варианты отражения и поворота различающимися, обозначим через C(N) количество способов разрезания квадрата размерами N×N. К примеру, C(1) = 2 и C(2) = 30 (показано ниже).

Чему равно C(30) mod 10^(8) ?

271

Для положительного числа n, определим S(n) как сумму целых чисел x, для которых 1<x<n и
x^(3)≡1 mod n.

Если n=91, существует 8 возможных значений x: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Значит, S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.

Найдите S(13082761331670030).

272

Для положительного числа n, определим С(n) как количество целых чисел x, для которых 1<x<n и
x^(3)≡1 mod n.

Если n=91, существует 8 возможных значений x: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Значит, С(91)=8.

Найдите сумму положительных чисел n≤10^(11), для которых C(n)=242..

273

Рассмотрим уравнение вида: a^(2) + b^(2) = N, 0 ≤ ab, a, b и N являются целыми числами.

При N=65 существует два решения:

a=1, b=8 и a=4, b=7.

Будем называть S(N) суммой значений a всех решений уравнения a^(2) + b^(2) = N, 0 ≤ ab, a, b и N являются целыми числами.

Следовательно, S(65)=1+4=5.

Найдите S(N), для всех бесквадратных N, которые делятся только на простые числа вида 4k+1, где 4k+1 < 150.

274

Для любого целого числа p > 1, являющегося взаимно простым числу 10, существует положительный множитель делимости m < p, благодаря которому сохраняется делимость на p для следующей функции любого положительного целого переменного n:

f(n) = (все цифры n, кроме последней) + (последняя цифра n) * m

Т.е., если m является множителем делимости на p, то f(n) делится на p без остатка тогда и только тогда, когда n делится на p без остатка.

(Если n намного больше p, то f(n) будет меньше, чем n и повторное применение формулы f создает мультипликативную проверку делимости на p).

К примеру, множитель делимости на 113 равен 34.

f(76275) = 7627 + 5 * 34 = 7797 : 76275 и 7797 делятся на 113 без остатка
f(12345) = 1234 + 5 * 34 = 1404 : 12345 и 1404 не делятся на 113 без остатка

Сумма множителей делимости, которые являются взаимно простыми числами с 10 и не превышают 1000, равна 39517. Чему равна сумма множителей делимости, которые являются взаимно простыми числами с 10 и не превышают 10^(7)?

275

Определим сбалансированную скульптуру порядка n следующим образом:

  • Полимино состоит из n+1 плитки, которые называются блоками (n плиток)
    и основой (оставшаяся плитка);
  • центр основы имеет координаты (x = 0, y = 0);
  • y-координаты блоков больше нуля (таким образом, основа является единственной плиткой, расположенной ниже остальных);
  • центр масс объединения всех блоков, имеет x-координату равную 0.

Подсчитывая число скульптур, все построения, являющиеся отражениями относительно оси y, не считаются отличающимися. К примеру, 18 сбалансированных скульптур 6-го порядка показаны ниже. Обратите внимание, что каждая зеркальная пара изображений (относительно оси y) считается одной скульптурой:

Существует 964 сбалансированные скульптуры 10-го порядка, и 360505 скульптуры 15-го порядка.
Найдите число сбалансированных скульптур 18-го порядка?

276

Рассмотрим треугольники с целыми сторонами a, b и c, при этом a ≤ b ≤ c.
Треугольник с целыми сторонами (a,b,c) называется примитивным, если НОД(a,b,c)=1.
Сколько существует примитивных треугольников, периметр которых не превышает 10 000 000?

277

Модифицированную последовательность Коллатца, состояющую из целых чисел, получают из начального значения a_(1) следующим образом:

a_(n+1) = a_(n)/3 если a_(n) делится на 3 без остатка. Обозначим это событие большим шагом вниз, "D".

a_(n+1) = (4a_(n) + 2)/3 если, при делении на 3, a_(n) дает в остатке 1. Обозначим это событие шагом вверх, "U".

a_(n+1) = (2a_(n) - 1)/3 если, при делении на 3, a_(n) дает в остатке 2. Обозначим это событие малым шагом вниз, "d".

Последовательность завершается на элементе a_(n) = 1.

Для любого заданного целого числа мы можем перечислить последовательность всех шагов.
Например, если a_(1)=231, то последовательности {a_(n)}={231,77,51,17,11,7,10,14,9,3,1} соответствуют шаги "DdDddUUdDD".

Разумеется, существуют другие последовательности, начало которых совпадает с упомянутой выше "DdDddUUdDD....".
например, если a_(1)=1004064, то получится следующая последовательность шагов DdDddUUdDDDdUDUUUdDdUUDDDUdDD.
Между прочим, 1004064 является наименьшим возможным значением a_(1) > 10^(6), соответствующая которому последовательность шагов начинается с DdDddUUdDD.

Чему равно наименьшее значение a_(1) > 10^(15), которому соответствует последовательность шагов, начинающаяся с "UDDDUdddDDUDDddDdDddDDUDDdUUDd"?

278

Для заданных значений целых чисел 1 < a_(1) < a_(2) <... < a_(n), рассмотрим линейную комбинацию
q_(1)a_(1) + q_(2)a_(2) + ... + q_(n)a_(n) = b, используя для этого только целые значения q_(k) ≥ 0.

Заметим, для заданного множества a_(k), может случиться так, что не все значения b возможно найти.
Например, если a_(1) = 5 и a_(2) = 7, то не существует таких значений q_(1) ≥ 0 и q_(2) ≥ 0, при которых b равно
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18 или 23.
Между прочим, 23 является наибольшим невозможным значением b при a_(1) = 5 и a_(2) = 7.
Поэтому, введем следующее обозначение: f(5, 7) = 23.
Аналогичным образом можно показать, что f(6, 10, 15)=29 и f(14, 22, 77) = 195.

Найдите f(p*q,p*r,q*r), где p, q и r являются простыми числами, при этом p < q < r < 5000.

279

Сколько существует треугольников с целыми сторонами и по крайней мере одним целым углом (измеряя значение в градусах), периметры которых не превышают 10^(8)?

280

Лабораторный муравей блуждает (случайно) по полю, состоящему из 5x5 клеток. Он начинает движение с центрального квадрата. Совершая один ход, муравей передвигается на соседний квадрат случайным образом, не выходя за пределы всего поля. Т.е., в зависимости от местоположения муравья, у него есть выбор из 2, 3 или 4 возможных ходов на каждой из клеток.

В начале движения на каждую клетку нижнего ряда положили семечко. Если муравей достигает квадрата в нижнем ряду, на котором есть семечко, и при этом у муравья нет семечка, то он поднимет семечко с этой клетки. Муравей положит это семечко на первую пустую клетку верхнего ряда, которую он посетит.

Каково число ожидаемых шагов муравья до момента, когда все семечки из нижнего ряда окажутся в верхнем ряду?
Ответ округлите до 6 знаков после десятичной точки.

281

В вашем распоряжении одна пицца (идеальный круг), разрезанная на m·n одинаковых кусков, и вы хотите, чтобы у каждого из кусков была своя начинка.

Пусть через f(m,n) обозначено число способов, которыми можно распределить между кусками пиццы m различные начинки (m ≥ 2), используя каждую из них ровно на n кусках пиццы (n ≥ 1).
Зеркальные отражения считаются отличающимися, однако повороты - нет.

Таким образом, например, f(2,1) = 1, f(2,2) = f(3,1)  = 2 и f(3,2) = 16.
f(3,2) показано на рисунке ниже:

Найдите сумму всех f(m,n), таких, что f(m,n)  ≤ 10^(15).

282

Для неотрицательных целых чисел m, n, функция Аккермана A(m, n) определяется следующим образом:

Например, A(1, 0) = 2, A(2, 2) = 7 и A(3, 4) = 125.

Найдите _(0 ≤n ≤ 6) A (n, n) и приведите ответ по mod 14^(8).

283

Рассмотрим треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Можно заметить, что как периметр, так и площадь этого треугольника равны 24. Таким образом, отношение площадь/периметр равно единице.
Помимо этого, рассмотрим треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Периметр такого треугольника равен 42, а площадь равна 84. Таким образом, для этого треугольника отношение площадь/периметр составляет 2.

Найдите сумму периметров всех треугольников с целыми сторонами, у которых отношения площадь/периметр являются целыми положительными числами в пределах 1000.

284

Трехзначное число 376 (в десятичной системе) является примером числа, обладающего особым свойством. Это свойство заключается в том, что квадрат этого числа оканчивается теми же цифрами: 376^(2) = 141376. Число, обладающее таким свойством, будем называть устойчивым квадратом.

Устойчивые квадраты можно наблюдать и в других системах исчисления. В системе исчисления по основанию 14, трехзначное число c37 является устойчивым квадратом: c37^(2) = aa0c37, а сумма его цифр в той же системе исчисления равна c+3+7=18. Буквы a, b, c и d используются для обозначения цифр 10, 11, 12 и 13 соответственно, точно так же, как это делается в шестнадцатиричной системе.

При 1 ≤ n ≤ 9, сумма цифр всех n-значных устойчивых квадратов в системе исчисления с основанием 14 равна 2d8 (582 в десятичной системе). Устойчивые квадраты с ведущими нулями не допускаются.

Найдите сумму цифр всех n-значных устойчивых квадратов в системе исчисления по основанию 14, если
1 ≤ n ≤ 10000 (в десятичной системе). Ответ приведите в системе исчисления по основанию 14, используя при необходимости прописные буквы.

285

Альберт выбирает положительное целое число k, после чего два вещественных числа a, b случайно выбираются с равномерным распределением на интервале [0,1].
Затем вычисляется квадратный корень суммы (k·a+1)^(2) + (k·b+1)^(2), а результат округляется до ближайшего целого числа. Если результат равен k, Альберту начисляется k очков; в противном случае, ему ничего не начисляется.

К примеру, пусть k = 6, a = 0.2 и b = 0.85. Тогда (k·a+1)^(2) + (k·b+1)^(2) = 42.05.
Квадратный корень из 42.05 равен 6.484... После округления до ближайшего целого числа, получен результат, равный 6.
Полученный результат совпадает с загаданным числом k, так что ему начисляют 6 очков.

Можно показать, что если Альберт сыграет 10 раз подряд, загадывая k = 1, k = 2, ..., k = 10, то ожидаемое количество его общих очков составит 10.20914 (после округления до 5 знаков после десятичной точки).

Какое количество очков ожидается, если он сыграет 10^(5) раз, последовательно загадывая k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 10^(5)? Ответ округлите до 5 знаков после десятичной точки.

286

Барбара - математик и игрок в баскетбол. Она вычислила, что вероятность попасть в кольцо, бросая с расстояния x, составляет ровно (1 - ^(x)/_(q)), где q - вещественная константа больше 50.

Во время каждой своей тренировки, она бросает мяч с расстояний x = 1, x = 2, ..., x = 50 и, согласно ее записям, вероятность набрать ровно 20 очков составляет ровно 2 % .

Найдите q и введите свой ответ, округленный с точностью до 10 знаков после десятичной точки.

287

Кодирование квадрадерева позволяет нам представить черно-белое изображение размерами 2^(N)×2^(N) в виде последовательности битов (0 и 1). Такие последовательности считываются слева направо следующим образом:

  • первый бит относится ко всему блоку размерами 2^(N)×2^(N);
  • "0" используется в качестве разделителя:
    обрабатываемый блок размерами 2^(n)×2^(n) делится на 4 подблока размерами 2^(n-1)×2^(n- 1) каждый,
    а последующие биты описывают верхний левый, верхний правый, нижний левый и нижний правый под-блоки - причем, именно в указанном порядке;
  • "10" указывает на то, что текущий блок содержит только черные пиксели;
  • "11" указывает на то, что текущий блок содержит только белые пиксели.

Рассмотрим следующее изображение размерами 4×4 (цветными отметками указаны места, в которых можно осуществить деление на подблоки):

Это изображение можно описать различными последовательностями, к примеру:
"001010101001011111011010101010", длиною 30 символов, или же
"0100101111101110", длиною 16 символов, и это - самая короткая возможная последовательность для заданного изображения.

Для положительного целого числа N определим D_(N), как изображение размерами 2^(N)×2^(N) со следующей цветовой палитрой:

  • пиксель с координатами x = 0, y = 0 соответствует самому нижнеми левому пикселю,
  • если (x - 2^(N- 1))^(2) + (y -  2^(N-1))^(2) ≤ 2^(2N-2) то пиксель окрашен в черный цвет,
  • в противном случае пиксель окрашен в белый цвет.

Какова длина самой короткой последовательности, описывающей изображение D_(24) ?

288

Для любого простого числа p можно определить число N(p,q) = _(n=0 до q) T_(n)*p^(n),
где T_(n) получают с помощью следующего генератора случайных чисел:

S_(0) = 290797
S_(n+1) = S_(n)^(2) mod 50515093
T_(n) = S_(n) mod p

Пусть Nfac(p,q) является факториалом N(p,q).
Пусть NF(p,q) является числом множителей p в Nfac(p,q).

Дано, что NF(3,10000) mod 3^(20)=624955285.

Найдите NF(61,10^(7)) mod 61^(10).

289

Пусть C(x,y) - окружность, проходящая через точки (x, y), (x,  y+1), (x+1, y) и (x+1,  y+1).

Предположим, что для натуральных значений m и n, E(m,n) является структурой из m·n окружностей:
{ C(x,y): 0 ≤ x  < m, 0 ≤ y  < n, x и y являются целыми числами }

Цикл Эйлера в E(m,n) - замкнутая траектория, проходящая через каждую из дуг только один раз.
Существует множество таких траекторий для E(m,n), однако нас интересуют только те, которые не являются самопересекающимися: такая траектория проходит через все узлы решетки, но никогда не пересекается с самой собой.

На рисунке ниже показана структура E(3,3), а также пример цикла Эйлера без самопересечений.

Пусть L(m,n) - число циклов Эйлера без пересечений в пределах структуры E(m,n).
К примеру, L(1,2) = 2, L(2,2) = 37 и L(3,3) = 104290.

Найдите L(6,10) mod 10^(10).

290

Сколько целых чисел 0 ≤ n < 10^(18) обладает следующим свойством: сумма цифр числа n равна сумме цифр числа 137n?

291

Простое число p называют простым числом Панаитопола, если ,
где x и y - положительные целые числа.

Найдите количество простых чисел Панаитопола, которые меньше 5×10^(15).

292

Определим Пифагоров многоугольник как выпуклый многоульник, обладающий следующими свойствами:

  • у него по крайней мере три вершины,
  • никакие из трех вершин не лежат на одной прямой,
  • координаты каждой из вершин - целые числа,
  • длина каждой из сторон - целое число.

Для заданного целого значения n определим P(n), как количество отличающихся Пифагоровых многоугольников, периметры которых не превышают n.
Пифагоровы многоугольники могут рассматриваться как отличающиеся, если один не возможно получить переносом другого на координатной плоскости.

Известно, что P(4) = 1, P(30) = 3655 и P(60) = 891045.
Найдите P(120).

293

Четное положительное целое число N будем называть приемлемым, если оно является степенью 2, или же его отличные простые сомножители являются последовательными простыми числами.
Пример первых двенадцати приемлемых чисел: 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 24, 30, 32, 36, 48.

Если число N является приемлемым, то наименьшее целое число M > 1, такое чтобы сумма N+M являлась простым числом, будем называть псевдоудачным числом для N.

К примеру, N=630 является приемлемым числом, т.к. оно четное, а его простыми сомножителями являются последовательные простые числа 2, 3, 5 и 7.
Следующее после 631 простое число - это 641; следовательно, псевдоудачным для числа 630 является M=11.
Также, можно заметить, что для 16 псевдоудачным является число 3.

Найдите сумму всех отличных псевдоудачных чисел для приемлемых значений N меньше 10^(9).

294

Для положительного целого числа k определим d(k), как сумму цифр обычной десятичной записи числа k. То есть, d(42) = 4+2 = 6.

Для положительного целого числа n, определим S(n) как количество положительных целых чисел k < 10^(n), обладающих следующими свойствами:

  • k делится на 23 без остатка;
  • d(k) = 23.

Дано, что S(9) = 263626 и S(42) = 6377168878570056.

Найдите S(11^(12)) и введите ответ по mod 10^(9).

295

Будем называть выпуклую область, ограниченную двумя окружностями двояковыпуклой прорезью, если:

  • Центры обеих окружностей лежат в узлах координатной сетки.
  • Две окружности пересекаются в двух отличающихся узлах координатной сетки.
  • Внутренняя часть области, ограниченной двумя окружностями, не содержит узлов координатной сетки.

Рассмотрим следующие окружности:
C_(0): x^(2)+y^(2)=25
C_(1): (x+4)^(2)+(y-4)^(2)=1
C_(2): (x-12)^(2)+(y-4)^(2)=65

Окружности C_(0), C_(1) и C_(2) показаны на рисунке ниже.

C_(0) и C_(1) образуют двояковыпуклую прорезь, равно как и C_(0) и C_(2).

Упорядоченную пару положительных действительных чисел (r_(1), r_(2)) будем называть двояковыпуклой парой, если существуют две окружности радиусами r_(1) и r_(2), образующие двояковыпуклую прорезь. Можно убедиться, что (1, 5) и (5, √65) являются двояковыпуклыми парами для рассмотренного выше примера.

Пусть L(N) - число различных двояковыпуклых пар (r_(1), r_(2)), для которых выполняется условие 0 < r _(1) ≤ r_(2) ≤ N.
Можно убедиться, что L(10) = 30 и L(100) = 3442.

Найдите L(100 000).

296

Дан треугольник ABC, стороны которого - целые числа, и BCACAB.
k - биссектриса угла ACB.
m - касательная описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведённая через точку C.
n - прямая, параллельная m и проходящая через B.
Точка пересечения n и k названа E.

Сколько существует треугольников ABC с периметром, не превышающим 100 000, у которых длина BE является целым числом?

297

Каждый следующий член последовательности Фибоначчи получается сложением предыдущих двух.
Начиная с 1 и 2, первые 10 членов будут: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

Каждое положительное целое число может быть однозначно записано как сумма не следующих непосредственно друг за другом членов последовательности Фибоначчи. Например, 100 = 3 + 8 + 89.
Такая сумма называется представлением Цекендорфа данного числа.

Пусть z(n) - количество членов в представлении Цекендорфа числа n для любого целого n>0.
Таким образом, z(5) = 1, z(14) = 2, z(100) = 3 и т. д.
Кроме того, при 0<n<10^(6), ∑ z(n) = 7894453.

Найдите ∑ z(n) при 0<n<10^(17).

298

Лэрри и Робин играют в игру на запоминание последовательности случайных чисел от 1 до 10 включительно, которые во время игры называются по одному. Каждый игрок может запомнить до пяти названных чисел. Если названное число присутствует в памяти игрока, он получает одно очко. В противном случае игрок добавляет это число в свою память, стирая одно из имеющихся там чисел, если вся его память заполнена.

Оба игрока начинают с пустой памятью. Оба игрока запоминают каждое отсутствующее в памяти число, но при этом используют разные стратегии, чтобы решить, какое число стереть из памяти:
Лэрри стирает то число, которое дольше всех не было названо.
Робин стирает то число, которое дольше всех находилось в его памяти.

Пример такой игры:

Ход Названное
число
Память
Лэрри
Очки
Лэрри
Память
Робина
Очки
Робина
1 1 1 0 1 0
2 2 1,2 0 1,2 0
3 4 1,2,4 0 1,2,4 0
4 6 1,2,4,6 0 1,2,4,6 0
5 1 1,2,4,6 1 1,2,4,6 1
6 8 1,2,4,6,8 1 1,2,4,6,8 1
7 10 1,4,6,8,10 1 2,4,6,8,10 1
8 2 1,2,6,8,10 1 2,4,6,8,10 2
9 4 1,2,4,8,10 1 2,4,6,8,10 3
10 1 1,2,4,8,10 2 1,4,6,8,10 3

Если обозначить очки Лэрри L, а очки Робина R, каково ожидаемое значение |L-R| после 50 ходов? Дайте ответ, округленный до восьмого знака после десятичной точки в виде x.xxxxxxxx .

299

Выбраны четыре точки с целочисленными координатами:
A(a, 0), B(b, 0), C(0, c) и D(0, d), где 0 < a < b, и 0 < c < d.
Точка P, также с целочисленными координатами, выбирается на прямой AC так, что все три треугольника ABP, CDP и BDP подобны.

Легко показать, что три треугольника могут быть подобны, только если a=c.

Таким образом, при условии a=c, мы ищем тройки чисел (a,b,d), такие, что на AC существует хотя бы одна точка P (с целочисленными координатами), которая делает все три треугольника ABP, CDP и BDP подобными.

Например, если (a,b,d)=(2,3,4), легко можно удостовериться, что точка P(1,1) удовлетворяет вышеупомянутому условию. Заметьте, что тройки (2,3,4) и (2,4,3) считаются различными, хотя точка P(1,1) является общей для обеих.

При b+d < 100, существует 92 различных тройки (a,b,d), обеспечивающих существование точки P.
При b+d < 100 000, существует 320471 различных тройки (a,b,d), обеспечивающих существование точки P.

Сколько существует различных троек (a,b,d), обеспечивающих существование точки P, при b+d < 100 000 000?

300

Очень упрощая, можно считать белки цепочками, состоящими из гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например: HHPPHHHPHHPH.
В этой задаче важна ориентация белка: к примеру, цепочка HPP считается отличной от PPH. Таким образом, существует 2^(n) различных белков, состоящих из n элементов.

Если наблюдать эти цепочки в природе, то они всегда свёрнуты таким образом, чтобы количество точек соприкосновения H-H было по возможности больше, т. к. это энергетически выгодно.
В результате H-элементы стремятся собраться во внутренней части, а P-элементы - снаружи.
Разумеется, настоящие белки свёрнуты в трёх измерениях, но мы будем рассматривать только сворачивание белков в двух измерениях.

Рисунок ниже показывает два возможных способа сворачивания белка из нашего примера (места соприкосновения H-H показаны красными точками).

Результат сворачивания, показанный слева, имеет только 6 точек соприкосновения H-H, поэтому никогда не получился бы естественным образом.
С другой стороны, конформация справа имеет 9 точек соприкосновения H-H, что является оптимальным для этой цепочки.

Если принять вероятности нахождения элементов H и P равными в любом месте цепочки, то выясняется, что среднее количество точек соприкосновения H-H в оптимальной конформации случайной белковой цепочки длиной 8 равна 850 / 2^(8)=3.3203125.

Каково среднее количество точек соприкосновения H-H в оптимальной конформации случайной белковой цепочки длиной 15?
Дайте ответ, используя столько десятичных знаков, сколько необходимо для точного результата.

301

Ним - это игра с кучками камней, в которой двое игроков по очереди убирают любое количество камней из любой кучки, пока не останется ни одного камня.

Мы рассмотрим версию нормальной игры с тремя кучками, которая проходит следующим образом:
- в начале игры имеется три кучки камней;
- во время своего хода игрок убирает любое положительное число камней из любой одной кучки;
- первый игрок, который не сможет сделать ход (потому что не останется камней), проигрывает.

Если (n_(1),n_(2),n_(3)) указывает позицию в игре с кучками размеров n_(1), n_(2) и n_(3), то существует простая функция X(n_(1),n_(2),n_(3)) (которую вы можете разыскать или попытаться вывести самостоятельно), которая возвращает:

  • ноль, если при совершенной стратегии игрок, чья очередь делать ход, в конце концов проиграет; или
  • ненулевой результат, если при совершенной стратегии игрок, чья очередь делать ход, в конце концов выиграет.

Например, X(1,2,3) = 0, потому что, независимо от действий текущего игрока, его противник может ответить ходом, который оставит кучки равных размеров, и тогда каждый ход текущего игрока может повторяться его противником, пока не останется камней - то есть, текущий игрок проигрывает. Для иллюстрации:
- текущий игрок ходит в позицию (1,2,1),
- противник ходит в (1,0,1),
- текущий игрок ходит в (0,0,1),
- противник ходит в (0,0,0) и выигрывает.

Для скольки положительных целых n ≤ 2^(30) выполняется X(n,2n,3n) = 0 ?

302

Положительное целое n называется полностепенным (powerful), если p^(2) является делителем n, для каждого простого множителя p, содержащегося в n.

Положительное целое n является совершенной степенью, если n можно представить как степень другого положительного целого.

Положительное целое n является ахиллесовым числом, если n полностепенное, но не является совершенной степенью. Например, 864 и 1800 - ахиллесовы числа: 864 = 2^(5)·3^(3), и 1800 = 2^(3)·3^(2)·5^(2).

Назовём положительное целое S сильным ахиллесовым числом, если и S, и φ(S) являются ахиллесовыми числами.^(1)
Например, 864 - сильное Ахиллесово число: φ(864) = 288 = 2^(5)·3^(2). Однако, 1800 не является сильным ахиллесовым числом, т. к. φ(1800) = 480 = 2^(5)·3^(1)·5^(1).

Существует 7 сильных ахиллесовых чисел менее 10^(4), и 656 менее 10^(8).

Сколько существует сильных ахиллесовых чисел менее 10^(18)?

^(1) φ обозначает функцию Эйлера (Euler's totient function).

303

Для положительного целого n определим f(n), как наименьшее положительное кратное n, для записи которого в десятичной системе исчисления используются только цифры ≤ 2.

Таким образом, f(2)=2, f(3)=12, f(7)=21, f(42)=210, f(89)=1121222.

Также, .

Найдите .

304

Для каждого положительного целого n функция next_prime(n) возвращает наименьшее простое число p, такое, что p>n.

Последовательность a(n) определена через:
a(1)=next_prime(10^(14)) и a(n)=next_prime(a(n-1)) при n>1.

Последовательность Фибоначчи f(n) определена через:
f(0)=0, f(1)=1 и f(n)=f(n-1)+f(n-2) при n>1.

Последовательность b(n) определена как f(a(n)).

Найдите b(n) при 1≤n≤100 000. Дайте ответ по модулю 1234567891011.

305

Обозначим через S бесконечную последовательность, получаемую объединением последовательных положительных целых чисел (начиная с 1), записанных по основанию 10.
Т.е., S = 1234567891011121314151617181920212223242...

Нетрудно заметить, что любое число будет повторяться в пределах S бесконечное количество раз.

Назовем f(n) начальным положением n-ного повторения числа n в последовательности S.
Например, f(1)=1, f(5)=81, f(12)=271 и f(7780)=111111365.

Найдите f(3^(k)), где 1≤k≤13.

306

Описанная ниже игра представляет собой классический пример теории комбинационных игр:

Два игрока начинают с полоской из n белых квадратиков, и совершают ходы по очереди.
На каждом ходу, игрок выбирает два следующих друг за другом квадрата и закрашивает их черным цветом.
Проигрывает тот игрок, который не может завершить свой ход.

  • Если n = 1, возможных правильных ходов нет, таким образом первый игрок проигрывает автоматически.
  • Если n = 2, возможен только один правильный ход, после которого второй игрок проигрывает.
  • Если n = 3, возможны два варианта правильного хода, но обе ситуации приводят к проигрышу второго игрока.
  • Если n = 4, возможны три варианта правильного хода для первого игрока, который может победить, если закрасит два средних квадрата.
  • Если n = 5, возможны четыре варианта правильного хода для первого игрока (показаны ниже красным), однако независимо от выбора, второй игрок (синий) победит.

Таким образом, при 1 ≤ n ≤ 5, существуют 3 значения n, при которых первый игрок может свести результат к своей победе.
Аналогично, при 1 ≤ n ≤ 50, существуют 40 значений n, при которых первый игрок может свести результат к своей победе.

Если 1 ≤ n ≤ 1 000 000, то при скольких значениях n первый игрок может свести результат к своей победе?

307

20 000 дефектов случайным образом распределены среди 1 000 000 интегральных микросхем, производимых на заводе (одна микросхема может иметь любое число дефектов).

Найдите вероятность того, что у одной микросхемы хотя бы 3 дефекта.
Ответ приведите с точностью 10 знаков после десятичной точки, т.е. в виде 0.abcdefghij

308

Программа, написанная на языке программирования Fractran, состоит из списка дробей.

Внутреннее состояние виртуальной машины Fractran — это положительное целое число, которое изначально устанавливается равным начальному числу генератора (seed value). При каждой итерации Fractran-программы число состояния машины умножается на первую дробь в списке, которая даст в результате целое число.

Например, одна из программ на Fractran, написанная Джоном Хортоном Конвейем для генерации простых чисел, состоит из следующих 14 дробей:

17
91
,
78
85
,
19
51
,
23
38
,
29
33
,
77
29
,
95
23
,
77
19
,
1
17
,
11
13
,
13
11
,
15
2
,
1
7
,
55
1
.

При начальном значении генератора 2, последовательное выполнение итераций программы производит последовательность:
15, 825, 725, 1925, 2275, 425, ..., 68, 4, 30, ..., 136, 8, 60, ..., 544, 32, 240, ...

В этой последовательности появляются следующие степени двойки: 2^(2), 2^(3), 2^(5), ...
Можно показать, что все степени двойки в этой последовательности имеют простые показатели и, кроме того, все простые числа в показателях степеней двойки появляются в правильном порядке.

Если использовать приведённую выше программу на Fractran при решении 7-й задачи проекта «Эйлер» (найдите 10001-ое простое число), то сколько итераций потребуется, прежде чем программа выдаст число 2^(10001-ое простое число)?

309

В классической задаче "о пересечении лестниц" даны длины двух лестниц x и y, расположенных на противоположных стенах узкой горизонтальной улицы. Помимо этого известна высота h, проведенная из точки пересечения лестниц над улицей. Требуется определить ширину улицы (w).

В данной задаче мы рассматриваем только те случаи, в которых все четыре переменные являются положительными целыми числами
К примеру, если x = 70, y = 119 и h = 30, то можно вычислить w = 56.

К слову, для целых значений x, y, h при 0 < x < y < 200, существует только пять троек значений (x,y,h), которые дают целое значение w:
(70, 119, 30), (74, 182, 21), (87, 105, 35), (100, 116, 35) и (119, 175, 40).

Сколько троек целых значений (x,y,h) дают целые решения w, если 0 < x < y < 1 000 000?

310

Алиса и Боб играют в игру Ним-квадрат.
Ним-квадрат похож на обычную игру Ним с 3 кучками, однако игроки могут брать из кучки только число камушков, являющееся квадратом.
Количество камушков в трех кучках задано упорядоченной тройкой (a,b,c).
Если 0≤a≤b≤c≤29, то количество проигрышных позиций для следующего игрока составляет 1160.

Найдите количество проигрышных позиций для следующего игрока, если 0≤a≤b≤c≤100 000.

311

ABCD - выпуклый четырехугольник с целыми сторонами, при этом 1 ≤ AB < BC < CD < AD.
Длина BD - целое число. Точка O - середина BD. Длина AO - также целое число.
Будем называть ABCD биклинным целым четырехугольником, если AO = CO ≤ BO = DO.

К примеру, следующий четырехугольник является биклинным целым:
AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 и AO = CO = 23.

Пусть B(N) - количество различных биклинных целых четырехугольников ABCD, удовлетворяющих условию AB^(2)+BC^(2)+CD^(2)+AD^(2)N.
Нетрудно убедиться в том, что B(10 000) = 49 и B(1 000 000) = 38239.

Найдите B(10 000 000 000).

312

Граф Серпинского 1-го порядка (S_(1)) является равносторонним треугольником.
S_(n+1) можно получить из S_(n), расположив три копии S_(n) так, чтобы каждая пара копий имела одну общую вершину.

Пусть C(n) - число замкнутых траекторий, состоящих из переходов через все вершины S _(n), при этом через каждую вершину траектория проходит только один раз.
К примеру, C(3) = 8, т.к. всего можно нарисовать восемь таких замкнутых траекторий на S_(3), как это показано ниже:

Можно убедиться, что:
C(1) = C(2) = 1
C(5) = 71328803586048
C(10 000) mod 10^(8) = 37652224
C(10 000) mod 13^(8) = 617720485

Найдите C(C(C(10 000))) mod 13^(8).

313

При игре в пятнашки фишку можно перемещать в свободное поле горизонтально или вертикально. Цель игры - переместить красную фишку из верхнего левого угла сетки в нижний правый угол; во время начала игры пуст всегда нижний правый угол. К примеру, следующая последовательность картинок показывает, как можно пройти игру в 5 ходов на клетке 2 на 2.

Пусть S(m,n) представляет собой минимальное число ходов, которыми можно пройти игру на сетке размерами m на n. К примеру, можно убедиться, что S(5,4) = 25.

Существует ровно 5482 сеток, для которых S(m,n) = p^(2), где p < 100 является простым числом.

Сколько сеток можно получить, для которых S(m,n) = p^(2), где p < 10^(6) является простым числом?

314

Луна открыта, и на ней можно получить участок совершенно бесплатно. Однако есть одна тонкость. Вы должны построить стену по периметру участка, который вы содержите, а возведение стен на Луне стоит дорого. Каждой стране выделили квадратный участок размерами 500 м на 500 м, но принадлежать этим странам будут только те площади, которые ограничены стенами. В квадратной сетке расставлен 251001 столб на расстоянии 1 метра друг от друга. Стена должна представлять собой замкнутую ломаную, где каждый отрезок идет от столба к столбу.

Разумеется, большие страны построили стену общей протяженностью 2000 м, покрыв тем самым всю площадь в 250 000 м^(2). Бюджет Герцогства Великого Фенвика поскромнее, поэтому Королевский Программист попросил вас вычислить форму, которая даст наибольшее отношение площадь/протяженность стен.

Вы выполнили некоторые предварительные расчеты на листе бумаги. Для стены протяженностью 2000 метров, которой ограничена площадь в 250 000 м^(2), отошение площадь/протяженность составила 125.
Хоть это и не разрешено правилами, но для понимания того, есть ли вариант получше: если вписать в квадратный участок окружность, то покрываемая площадь составит π*250^(2) м^(2), в свою очередь, периметр будет равен π*500 м. Таким образом, отношение площадь/протяженность также составит 125.

Однако, если Вы отрежете от квадрата четыре треугольника со сторонами 75 м, 75 м и 75√2 м, то покрываемая площадь составит 238750 м^(2), в свою очередь, периметр стены будет равен 1400+300√2 м. Таким образом, отношение площадь/протяженность равно 130.87, что намного лучше.

Найдите максимальное отношение площадь/протяженность.
Ответ приведите с округлением до 8 знаков после десятичной точки в виде десятичной дроби abc.defghijk.

315

Сэма и Макса попросили превратить пару цифровых дисплеев в дисплеи с "цифровыми корнями".
Дисплей с цифровыми корнями - это цифровой дисплей, который показывают цифровые корни на каждом шагу расчета.

Когда дисплею задают число, он показывает его и начинает производить расчет, при этом показывая все промежуточные значения, пока не получит окончательный результат.
К примеру, если в дисплей ввести число 137, то он последовательно отобразит: "137" → "11" → "2", а затем погаснет, ожидая ввода следующего числа.

Любая цифра образуется несколькими световыми сегментами: тремя горизонтальными (верхний, средний, нижний) и четырьмя вертикальными (верхий левый, верхний правый, нижний левый, нижний правый).
Цифру "1" образуют вертикальные сегменты - верхний правый и нижний правый, цифру "4" образуют средний горизонтальный сегмент и вертикальные верхний левый, верхний правый и нижний правый сегменты. Для цифры "8" загораются все сегменты.

Дисплей потребляет энергию только когда включает/выключает сегменты.
Для того, чтобы включить цифру "2", потребуется 5 переходов, в то время как для "7" - всего 4 перехода.

Сэм и Макс собрали два разных дисплея.

Когда в дисплей Сэма вводят число, например, 137: дисплей показывает "137", затем дисплей гаснет, после чего загорается следующее число ("11"), затем дисплей снова гаснет и наконец загорается последнее число ("2"), а через некоторое время дисплей гаснет окончательно.
Для примера с числом 137 дисплею Сэма потребуется:


"137" : (2 + 5 + 4) × 2 = 22 перехода (показать/отключить "137").
"11" : (2 + 2) × 2 = 8 переходов (показать/отключить "11").
"2" : (5) × 2 = 10 переходов(показать/отключить "2").

Таким образом, всего потребуется 40 переходов.

Дисплей Макса работает иначе. Вместо того, чтобы включать/отключать весь дисплей, он достаточно "умен", чтобы выключать только те сегменты, которые не понадобятся для индикации следующего числа.
При вводе числа 137, дисплею Макса потребуется:


"137"

:

2 + 5 + 4 = 11 переходов (показать "137")
7 переходов (на отключение сегментов, которые не нужны для отображения числа "11").
"11"


:


0 переходов (число "11" уже правильно отображено на дисплее)
3 перехода (отключить первую цифру "1", а также нижний сегмент второй цифры "1";
верхний же сегмент остается для отображения числа "2").
"2"

:

4 перехода (включить недостающие сегменты для числа "2")
5 переходов (чтобы убрать с дисплея число "2").

Таким образом, всего потребуется 30 переходов.

Разумеется, дисплей Макса потребляет меньше энергии, чем дисплей Сэма.
В оба дисплея вводят простые числа между A = 10^(7) и B = 2 × 10^(7).
Найдите разность общего количества переходов, необходимых дисплеям Сэма и Макса для отображения этих чисел.

316

Пусть p = p_( 1) p _(2 ) p_(3) ... - бесконечная последовательность случайных цифр, выбираемых из множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} с равными вероятностями.
Нетрудно убедиться в том, что p соответствует действительному числу 0,p_(1 ) p_(2) p_(3 ) ....
Также, легко заметить, что выбор случайного действительного числа из интервала [0,1) эквивалентен выбору бесконечной последовательности случайных цифр из множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} с равными вероятностями.

При любом положительном целом числе n из d десятичных цифр, допустим, что k является наименьшим индексом, таким, что
p_( k, )p _(k+1 ), ...p_( k+d-1) являются десятичными цифрами n, при этом, в таком же порядке.
Помимо этого, пусть g(n) - ожидаемое значение k; можно доказать, чтоg(n) всегда конечное и, что самое интересное, целое число.

К примеру, если n = 535, то
при p = 31415926535897...., получим k = 9
при p = 355287143650049560000490848764084685354..., получим k = 36
и т.д., пока не обнаружим, что g(535) = 1008.

Известно, что . Найдите .

Примечание: обозначает функцию округления в меньшую сторону.
317

Фейерверк взрывается на высоте 100 м над плоской поверхностью. Он рассыпается на большое число очень маленьких фрагментов, которые движутся в разных направления; начальная скорость каждого из них составляет 20 м/с.

Предположим, что все фрагменты передвигаются без сопротивления воздуха в однородном гравитационном поле с g=9.81 м/с^(2).

Найдите объем (в м^(3)) всей области пространства, через которую проходят фрагменты прежде, чем упасть на землю. Ответ приведите, округлив до 4 знаков после десятичной точки.

318

Рассмотрим действительное число √2+√3.
При вычислении четных степеней √2+√3 получим:
(√2+√3)^(2) = 9.898979485566356...
(√2+√3)^(4) = 97.98979485566356...
(√2+√3)^(6) = 969.998969071069263...
(√2+√3)^(8) = 9601.99989585502907...
(√2+√3)^(10) = 95049.999989479221...
(√2+√3)^(12) = 940897.9999989371855...
(√2+√3)^(14) = 9313929.99999989263...
(√2+√3)^(16) = 92198401.99999998915...

Похоже, что число последовательных девяток в начале дробной части этих степеней не уменьшается.
Более того, можно доказать, что дробная часть числа (√2+√3)^(2n) стремится к 1 при больших значениях n.

Рассмотрим все действительные числа вида √p+√q, где p и q - положительные целые числа, при этом p<q, такие, что дробная часть (√p+√q)^( 2n) стремится к 1 при больших значениях n.

Пусть C(p,q,n) - число последовательных девяток в начале дробной части числа
(√p+√q)^(2n).

Пусть N(p,q) - такое минимальное значение n, что C(p,q,n) ≥ 2011.

Найдите N(p,q), если p+q ≤ 2011.

319

Пусть x_(1), x_(2),..., x_(n) - последовательность длиной n, для которой справедливо:

  • x_(1 ) = 2
  • x_(i-1 ) < x_(i) при всех 1 < i < n
  • (x_(i))^( j) < (x_(j) + 1)^(i ) для всех i и j при 1 ≤ i, jn

Существует всего пять таких последовательностей длиной 2, а именно: {2,4}, {2,5}, {2,6}, {2,7} и {2,8}.
Существует 293 такие последовательности длиной 5. Ниже представлены три примера:
{2,5,11,25,55}, {2,6,14,36,88}, {2,8,22,64,181}.

Обозначим через t(n) число таких последовательностей длиной n.
Известно, что t(10) = 86195 и t(20) = 5227991891.

Найдите t(10^(10)) и приведите ответ по модулю 10^(9).

320

Обозначим через N(i) наименьшее целое число n, при котором n! делится без остатка на (i!)^(1234567890).

Пусть S(u)=N(i), где 10 ≤ iu.

S(1000)=614538266565663.

Найдите S(1 000 000) mod 10^(18).

321

В разных концах горизонтального ряда, состоящего из 2n + 1 клеток, расположены n красных фишек и n синих фишек, которые отделены между собой одной пустой клеткой в середине ряда. Например, при n = 3:

Фишку можно перемещать с одной клетки на ближайшую клетку (передвижение) или же можно перескочить через другую фишку (скачок), если ближайшая к этой фишке клетка свободна.

Пусть M(n) - минимальное число ходов/действий, которые надо совершить, чтоб полностью обратить положение окрашенных фишек, т.е., переместить все красные фишки в правую часть, а все синие - в левую.

Можно убедиться, что M(3) = 15, и, помимо этого, данное число является треугольным.

Если записать последовательность значений n, при которых M(n) являются треугольными числами, то первые пять членов этой последовательности будут:
1, 3, 10, 22 и 63, а их сумма составит 99.

Найдите сумму первых сорока членов такой последовательности.

322
Пусть T(m, n) является числом таких биномиальных коэффициентов iCn, которые делятся на 10 без остатка при ni < m (где i, m и n - положительные целые числа).
Известно, что T(109, 107-10) = 989697000.

Найдите T(1018, 1012-10).

323

Пусть y0, y1, y2,... - последовательность случайных 32 битовых чисел без знака
(т.е., все значения 0 ≤ yi < 232 равновероятны).

Для последовательности xi задана следующая рекурсия:

  • x0 = 0 и
  • xi = xi-1 | yi-1, при i > 0. (где | - оператор поразрядного логического ИЛИ)

Можно показать, что существует такой индекс N, при котором xi = 232 -1 (последовательность исключительно из единиц) для всех i ≥ N.

Найдите ожидаемое значение N.
Ответ округлите до 10 знаков после десятичной точки.

324

Пусть f(n) - число способов, которыми можно заполнить башню 3×3×n используя блоки 2×1×1.
Разрешено поворачивать блоки любыми способами, однако повороты, отражения и т.п. самой башни считаются различными башнями.

Например (при q = 100000007) :
f(2) = 229,
f(4) = 117805,
f(10) mod q = 96149360,
f(103) mod q = 24806056,
f(106) mod q = 30808124.

Найдите f(1010000) mod 100000007.

325

В данной игре участвуют два игрока и используются две кучки камушков. Во время своего хода игрок извлекает определенное число камушков из большей кучки. Число выбранных камушков должно быть положительным и кратным числу камушков в меньшей кучке.

Например, пусть упорядоченная пара (6,14) описывает ситуацию с 6 камушками в меньшей кучке и 14 в большей. Тогда первый игрок может забрать либо 6, либо 12 камушков из большей кучки.

Побеждает тот игрок, который забрал все камушки из одной кучки.

Выигрышная ситуация - такая ситуация, в которой первый игрок может обеспечить себе победу. К примеру, (1,5), (2,6) и (3,12) являются выигрышными, поскольку первый игрок может забрать все камушки из второй кучки при первом же ходе.

Проигрышная ситуация - такая ситуация, в которой второй игрок может обеспечить себе победу, независимо от того, что предпримет первый игрок. К примеру, (2,3) и (3,4) являются проигрышными: любой разрешенный ход оставит выигрышную ситуацию второму игроку.

Определим S(N) как сумму (xi+yi) для всех проигрышных ситуаций (xi,yi), 0 < xi < yiN. Можно убедиться, что S(10) = 211 и S(104) = 230312207313.

Найдите S(1016) mod 710.

326

Пусть an - последовательность, заданная в рекурсивном виде: .

Первые 10 элементов an таковы: 1,1,0,3,0,3,5,4,1,9.

Обозначим через f(N,M) число пар (p,q), удовлетворяющих требованиям:

Нетрудно убедиться, что f(10,10)=4, и эти пары - (3,3), (5,5), (7,9) и (9,10).

Помимо этого, известно, что f(104,103)=97158.

Найдите f(1012,106).

327

Последовательность из трех комнат соединена между собой автоматическими дверьми.

Каждая дверь управляется карточкой безопасности. Как только в комнату заходят, дверь автоматически закрывается и эта карточка безопасности повторному использованию не подлежит. Автомат в начальной точке выдает неограниченное число карточек, однако в каждой из комнат (в том числе и в начальной) установлены сканнеры, и если они обнаружат у владельца более трех карточек, или же обнаружат карточку на полу, то все двери необратимо запираются. В то же время, во всех комнатах есть ящик для хранения любого числа карточек безопасности для использования на более поздних этапах.

Если попытаетесь просто пройти через все комнаты по очереди, то, когда окажетесь в комнате 3, все карточки будут израсходованы, и вы навсегда останетесь в этой комнате!

Но если воспользоваться ящиками для хранения, то побег возможен. К примеру, можно зайти в 1 комнату при помощи первой карточки, полощить в ящик хранения вторую карточку, а третьей карточкой вернуться обратно в начальную комнату. Пополнив в автомате запасы тремя дополнительными карточками, можно войти в первую комнату и забрать карточку из ящика хранения. Теперь у вас снова три карточки, и вам удастся пройти через оставшиеся три двери. Этот способ позволяет пройти через все три комнаты, воспользовавшись в общей сложности 6 карточками.

Через шесть комнат возможно пройти, истратив 123 карточки безопасности, имея на руках в любой из комнат не более 3 карточек.

Пусть C - максимальное допустимое системой число карточек на руках.

Пусть R - число комнат, через которые необходимо пройти.

Пусть M(C,R) - минимальное число карточек, которое необходимо получить в автомате, чтобы пройти через R комнат, имея на руках не более C карточек в любой момент времени.

Например, M(3,6)=123 и M(4,6)=23.
Тогда ΣM(C,6)=146 для 3 ≤ C ≤ 4.

Дано, что ΣM(C,10)=10382 для 3 ≤ C ≤ 10.

Найдите ΣM(C,30) для 3 ≤ C ≤ 40.

328

Наша цель - угадать загаданное число из множества целых чисел {1, 2, ..., n} при помощи вопросов. Каждое число (вопрос), про которое мы спрашиваем, имеет вес, равный этому числу, и мы можем получить один из трех возможных ответов:


  • "Ваше число меньше, чем загаданное", или
  • "Да, это оно!", или
  • "Ваше число больше, чем загаданное".

При заданном значении n, оптимальная стратегия минимизирует суммарный вес (т.е. сумму всех заданных вопросов) для наихудшего возможного случая. Т.е.:

При n=3, лучшее, что можно сделать, очевидно, спросить про число "2". Ответ мгновенно приведет нас к загаданному числу (при суммарном весе = 2).

При n=8, можно попытаться воспользоваться стратегией "двоичного поиска": первый вопрос будет про "4", и, если загаданное число больше, чем 4, то понадобится еще одна или две попытки-вопроса.
Пусть второй вопрос будет про "6". Если загаданное число все еще больше 6, то потребуется третий вопрос, чтобы выяснить - загаданное число равно 7 или 8.
Таким образом, третий вопрос будет про "7", и общий вес этого наихудшего случая оставит 4+6+7= 17.

Можно существенно уменьшить вес наихудшего случая при n=8, задав первый вопрос про "5".
Если окажется, что загаданное число больше 5, то второй вопрос будет про "7", и тогда мы наверняка узнаем загаданное число (при общем весе 5+7=12).
Если же окажется, что загаданное число меньше 5, то второй вопрос будет про "3", а если загаданное число будет меньше чем 3, то третий вопрос будет про "1". Итого, общий вес составит 5+3+1=9.
Т.к. 12>9, то вес наихудшего случая при такой стратегии будет равен 12. Это лучше результата, который был получен выше при помощи стратегии "двоичного поиска". Кроме того, этот результат не хуже результата любой другой стратегии.
Таким образом, мы только что описали оптимальную стратегию при n=8.

Пусть C(n) - вес наихудшего возможного случая, достигнутый оптимальной стратегией для n чисел, описанный выше.
Таким образом, C(1) = 0, C(2) = 1, C(3) = 2 и C(8) = 12.
Аналогично, C(100) = 400 и C(n) = 17575.

Найдите C(n).

329

У Сьюзан есть простая лягушка.
Ее лягушка прыгает по ряду из 500 квадратов, пронумерованных числами от 1 до 500. Лягушка может перепрыгивать с одного квадрата на другой либо влево, либо вправо, причем с равной вероятностью. Лягушка не может выпрыгнуть за пределы интервала [1;500].
(если лягушка приземлится на любой из концов интервала, она автоматически будет прыгать на единственный доступный квадрат при следующем ходе.)

Когда лягушка сидит на квадрате, пронумерованном простым числом, то перед прыжком на следующий квадрат она проквакает 'P' (PRIME, простое число) с вероятностью 2/3 или же 'N' (NOT PRIME, не простое число) с вероятностью 1/3 .
Когда лягушка сидит на квадрате, номер которого не является простым числом, то перед прыжком на следующий квадрат она проквакает 'P' с вероятностью 1/3 или же 'N' с вероятностью 2/3 .

Известно, что начальное положение лягушки - случайное, равновероятное для любого квадрата. Также, известно, что Сьюзан прослушала первые 15 кваканий. Какова вероятность, что Сьюзан услышит последовательность PPPPNNPPPNPPNPN?

В качестве ответа укажите дробь p/q в приведенной форме.

330
Для любых целых чисел n из множества действительных чисел определим бесконечную последовательность a(n) следующим образом:

К примеру,

a(0) =
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ ... = e − 1
a(1) =
e − 1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ ... = 2e − 3
a(2) =
2e − 3
1!
+
e − 1
2!
+
1
3!
+ ... =
7
2
e − 6
где e = 2,7182818... - константа Эйлера.
Нетрудно показать, что a(n) можно записать в виде
A(n) e + B(n)
n!
, где A(n) и B(n) - целые числа.
Например, a(10) =
328161643 e − 652694486
10!
.

Найдите A(109) + B(109) и приведите свой ответ по mod 77 777 777.

331

На квадратном поле расставлены N×N фишек. У каждой фишки есть белая сторона и черная сторона.

Во время очередного хода происходит выбор фишки, после чего все фишки в соответствующем ряду и колонне переворачиваются: т.е. переворачивается 2×N-1 фишек. Игра завершается, когда все фишки повернуты белой стороной к верху. Ниже представлен пример игры на поле размерами 5×5 клеток.

Можно доказать, что 3 - минимальное число ходов, необходимое для завершения этой игры.

На игровом поле размерами N×N нижняя левая фишка имеет координаты (0,0), нижняя правая фишка - координаты (N-1,0), а верхняя левая - (0,N-1).

Обозначим через CN следующую конфигурацию игрового поля размерами N×N клеток:
Фишка с координатами (x,y), удовлетворяющими неравенство , повернута кверху черной стороной, в противном случае - белой стороной. К примеру, конфигурация C5 показана на рисунке выше.

Пусть T(N) - минимальное число ходов, необходимых для завершения игры с исходной конфигурации поля CN. Если конфигурация CN не может привести к завершению игры, то T(N)=0.
Как было показано, T(5)=3. Кроме того, известно, что T(10)=29 и T(1 000)=395253.

Найдите .

332

Сферический треугольник - это фигура, образованная поверхностью сферы, ограниченной тремя вершинами, получаемыми попарным пересечением дуг ортодром

Пусть C(r) - сфера с центром в точке (0,0,0) и радиусом r.
Пусть Z(r) - набор точек с целочисленными координатами на поверхности сферы C(r).
Пусть T(r) - множество сферических треугольников с вершинами из Z(r). Вырожденные сферические треугольники, образованные тремя точками одной и той же ортодромы, не включаются в множество T(r).
Пусть A(r) - площадь наименьшего сферического треугольника из T(r).

Например, A(14) равно 3.294040 при округлении до шести знаков после десятичной точки.

Найдите A(r). Ответ округлите до шести знаков после десятичной точки.

333

Все положительные целые числа можно разложить таким образом, что каждый член такого разложения можно представить в виде 2ix3j, где i,j≥ 0.

Рассмотрим только такие разложения, где ни один из членов не делится на любой другой член этого разложения.
Например, разложение 17 = 2 + 6 + 9 = (21x30 + 21x31 + 20x32) не является подходящим, поскольку 6 делится на 2. Разложение 17 = 16 + 1 = (24x30 + 20x30) также не является подходящим, поскольку 16 делится на 1. Единственное подходящее разложение числа 17 будет 8 + 9 = (23x30 + 20x32).

У многих целых чисел может быть более одного подходящего нам разложения. Первое такое число - 11, и у него два следующих разложения:
11 = 2 + 9 = (21x30 + 20x32)
11 = 8 + 3 = (23x30 + 20x31)

Определим P(n) как количество подходящих разложений числа n. К примеру, P(11) = 2.

Впредь будем рассматривать только те простые числа, у которых есть только одно подходящее разложение, к примеру P(17).

Сумма простых чисел q <100, таких, что P(q) =1, составляет 233.

Найдите сумму простых чисел q <1000000, таких, чтобы P(q)=1.

334

В раю Платона существует бесконечное количество мисок, выложенных в прямую линию.
В каждой миске находится либо конечное число бобов, либо нет бобов вообще.
Ребенок играет в игру, в которой разрешен только один вид хода: забрать два боба из любой миски и положить по одному в каждую из двух соседних мисок.
Игра закончится, когда в каждой миске будет находиться либо один боб, либо ни одного.

К примеру, рассмотрим две рядом расположенные миски, в которых лежат, соответственно, 2 и 3 боба. Все остальные миски - пустые. Следующими восьмью ходами можно завершить игру:

Заданы следующие последовательности:

t0 = 123456.
ti =
ti-1
2
, если ti-1 четно
ti-1
2
926252, если ti-1 нечетно
где ⌊x⌋ - функция округления вниз,
а оператор поэлементного исключающего ИЛИ.
bi = ( ti mod 211) + 1.

Первые два члена этой последовательности равны b1 = 289 и b2 = 145.
Если начать с b1 и b2 бобами в двух соседних мисках, то для завершения игры потребуется 3419100 ходов.

Теперь, рассмотрим 1500 последовательных мисок, в каждой из которых, соответственно, лежат b1, b2,..., b1500 бобов. Остальные миски - пустые. Найдите, сколько ходов необходимо сделать, чтобы завершить игру.

335

Каждый раз, когда Питеру становится скучно, он расставляет в круг несколько мисок, в каждой из которых лежит один боб. После этого он берет бобы из определенной миски и кладет их по одному в следующие миски, продвигаясь по часовой стрелке. Он повторяет процесс, начиная с миски, в которую он бросил последний боб, до тех пор, пока не получит исходное положение мисок. Например, в случае с 5 мисками, он действует следующим образом:

Таким образом, с 5 мисками Питеру потребовалось совершить 15 ходов, чтобы вернуться в исходное положение.

Пусть M(x) - число ходов, необходимое для того, чтобы вернуться в исходное положение для x мисок. Таким образом, M(5) = 15. Можно убедиться, что M(100) = 10920.

Найдите M(2k+1). Ответ приведите по модулю 79.

336

Обычно к локомотиву прицепляют четыре вагона в следующем порядке: ABCD. Однако, бывает так, что когда локомотив прибывает за вагонами, они расположены в неправильном порядке.
Для того, чтобы поменять порядок вагонов, они помещаются на большую поворотную платформу. После того, как вагоны были расцеплены в опрделенной точке, состав из оставшихся вагонов и локомотива отъезжает от поворотной платформы. Оставшиеся на платформе вагоны разворачиваются на 180 градусов. После этого, все вагоны вновь сцепляют вместе и процесс повторяется столько раз, сколько потребуется. При этом необходимо достичь наименьшего числа использований поворотной платформы.
Некоторые расстановки вагонов, такие как ADCB, могут быть легко решены: вагоны разделяются в точке между A и D, а после поворота вагонов DCB соединяются вновь. Получен правильный порядок следования.

Тем не менее, Простой Саймон, машинист локомотива, не отличается эффективностью, поэтому он всегда решает проблему иначе: сперва он прицепляет вагон А, затем - вагон В, и т.д.

В случае с четырьмя вагонами, наихудшими возможными для Саймона их расположениями, которые будем называть расстановками максимикса, являются DACB и DBAC. В случае каждой из них потребуются пять поворотов (в то же время, при решении более эффективным подходом, этого можно было бы достичь тремя поворотами). Этот процесс показан ниже для случая расстановки вагонов в порядке DACB.

Можно показать, что для шести вагонов всего существует 24 расстановки максимикса. Среди них десятой словарной (лексикографической) расстановкой максимикса является DFAECB.

Определите 2011-ую словарную расстановку максимикса для случая с 11 вагонами.

337

Пусть {a1, a2,..., an} - последовательность целых чисел длиной n, для которой справедливо:

  • a1 = 6
  • для любых 1 ≤ i < n : φ (ai) < φ(ai+1) < a i < ai+1 1

Обозначим через S(N) число таких последовательностей, у которых a nN.
К примеру, S(10) = 4: {6}, {6, 8}, {6, 8, 9} и {6, 10}.
Можно убедиться, что S(100) = 482073668 и S(10 000) mod 108 = 73808307.

Найдите S(20 000 000) mod 108.

1 φ обозначена фи-функция Эйлера.

338

Возьмем прямоугольный лист бумаги в клеточку размерами w × h. Шаг клетки составляет 1.
Если разрезать такой лист по границам клеток и совместить полученные куски без перекрытия, то можно образовать прямоугольники других размеров.

К примеру, из листа рамерами 9 × 4 , можно создать прямоугольники размерами 18 × 2, 12 × 3 и 6 × 6, если разрезать и соединить полученные куски, как это показано ниже:


Аналогично, из листа размерами 9 × 8 , можно образовать прямоугольники размерами 18 × 4 и 12 × 6 .

Для пары чисел w и h определим F(w,h) как количество отличных прямоугольников, которые можно образовать из листа бумаги размерами w × h .
Например, F(2,1) = 0, F(2,2) = 1, F(9,4) = 3 и F(9,8) = 2.
Учтите, что прямоугольники, конгруэнтные заданному, не учитываются в F(w,h).
Также учтите, что прямоугольник размерами w × h и прямоугольник размерами h × w не считаются отличными.

Для целых значений N определим G(N) в виде суммы F (w,h) для всех тех пар w и h, которые удовлетворяют требованию 0 < hwN.
Можно убедиться, что G(10) = 55, G(103) = 971745 и G(105) = 9992617687.

Найдите G(1012). Ответ приведите по модулю 108.

339
"...Передур же поехал дальше долиной реки, вдоль которой расстилались луга. И на одном берегу реки он увидел стадо белых овец, а на другом - стадо черных. И как только одна из белых овец блеяла, черная овца переплывала реку и становилась белой. Когда же блеяла черная овца, одна из белых овец переплывала реку и делалась черной."
Мабиногион. Передур, сын Эвраука

Изначально, каждое стадо состоит из n овец. Каждая овца (независимо от цвета) с равной вероятностью может блеять следующей. После того, как овца проблеяла и овца из другого стада пересекла реку, Передур может убрать некоторое число белых овец, чтобы обеспечить в конце максимальное число черных овец. Пусть E(n) - ожидаемое конечное значение числа черных овец, если Передур использует оптимальную стратегию.

Известно, что E(5) = 6.871346 (округлено до 6 знаков после десятичной точки).
Найдите E(10 000) и приведите ответ, округлив его до 6 знаков после десятичной точки.

340

Для заданных целых чисел a, b, c определим сумасшедшую функцию F(n) следующим образом:
F(n) = n - c для всех n > b;
F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) для всех n ≤ b.

Помимо этого, определим S(a, b, c) = .

К примеру, если a = 50, b = 2000 и c = 40, то F(0) = 3240, а F(2000) = 2040.
В таком случае, S(50, 2000, 40) = 5204240.

Найдите последние 9 цифр значения S(217, 721, 127).

341

Последовательность Голомба с самоописанием, {G(n)} - это такая единственная неубывающая последовательность натуральных чисел, в которой n появляется ровно G(n) раз. Значения G(n) для первых нескольких n даны ниже:

n12345678 9101112131415
G(n)122334445 556666

Дано, что G(103) = 86, G(106) = 6137.
Помимо этого, также дано, что ΣG(n3) = 153506976 для 1 ≤ n < 103.

Найдите ΣG(n3) для 1 ≤ n < 106.

342

Рассмотрим число 50.
502 = 2500 = 22 × 54, таким образом φ(2500) = 2 × 4 × 53 = 8 × 53 = 23 × 53. 1
В таком случае, 2500 является квадратом, а φ(2500) - кубом.

Найдите сумму всех чисел n из интервала 1 < n < 1010, для которых φ(n2) являются кубами.

1 φ обзозначена фи-функция Эйлера.

343

Для любого положительного целого числа k можно определить конечную последовательность ai дробей xi/yi следующим образом:
a1 = 1/k, и
ai = (xi-1+1)/(yi-1-1) в сокращенном виде при i>1.
При достижении ai некоторого целого значения n, последовательность прерывается. (Т.е., при yi=1.)
Введем обозначение f(k) = n.
К примеру, при k = 20:

1/20 → 2/19 → 3/18 = 1/6 → 2/5 → 3/4 → 4/3 → 5/2 → 6/1 = 6

Таким образом, f(20) = 6.

Аналогично, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 1, а Σf(k3) = 118937 для 1 ≤ k ≤ 100.

Найдите Σf(k3) для 1 ≤ k ≤ 2×106.

344

Один из вариантов игры Н. Г. де Брейна серебрянный доллар можно описать следующим образом:

На ленте с квадратными клетками размещены монеты, не более одной монеты на клетку. Ценность представляет лишь одна из них, называемая серебрянным долларом. Два игрока по очереди совершают ходы. Во время каждого хода, игрок должен совершить либо обычный, либо особый ход.

Обычный ход осуществляется выбором одной монеты и перемещением ее на одну или более клеток влево. Монету нельзя перемещать за пределы ленты, а также перепрыгивать через другие монеты или на них.

Кроме того, игрок может совершить особый ход, присвоив себе левую крайнюю монету, вместо совершения обычного хода. Если обычный ход совершить невозможно, игрок вынужден присвоить себе левую крайнюю монету.

Выигрывает тот игрок, который присвоит себе серебрянный доллар.


Определим выигрышную конфигурацию как такое расположение монет на ленте, при котором первый игрок может обеспечить себе победу независимо от действий второго игрока.

Пусть W(n,c) - число выигрышных конфигураций для ленты с n клетками, c бесполезными монетами и одним серебрянным долларом.

Дано: W(10,2) = 324 и W(100,10) = 1514704946113500.

Найдите W(1 000 000, 100) по модулю полупростого числа 1000 036 000 099 (= 1 000 003 · 1 000 033).

345

Определим матричную сумму как максимальную сумму элементов матрицы, для которой из каждой строки и колонки можно взять только один элемент. К примеру, матричная сумма для нижеприведенной матрицы равна 3315 ( = 863 + 383 + 343 + 959 + 767):

  7  53 183 439 863
497 383 563  79 973
287  63 343 169 583
627 343 773 959 943
767 473 103 699 303

Найдите матричную сумму следующей матрицы:

  7  53 183 439 863 497 383 563  79 973 287  63 343 169 583
627 343 773 959 943 767 473 103 699 303 957 703 583 639 913
447 283 463  29  23 487 463 993 119 883 327 493 423 159 743
217 623   3 399 853 407 103 983  89 463 290 516 212 462 350
960 376 682 962 300 780 486 502 912 800 250 346 172 812 350
870 456 192 162 593 473 915  45 989 873 823 965 425 329 803
973 965 905 919 133 673 665 235 509 613 673 815 165 992 326
322 148 972 962 286 255 941 541 265 323 925 281 601  95 973
445 721  11 525 473  65 511 164 138 672  18 428 154 448 848
414 456 310 312 798 104 566 520 302 248 694 976 430 392 198
184 829 373 181 631 101 969 613 840 740 778 458 284 760 390
821 461 843 513  17 901 711 993 293 157 274  94 192 156 574
 34 124   4 878 450 476 712 914 838 669 875 299 823 329 699
815 559 813 459 522 788 168 586 966 232 308 833 251 631 107
813 883 451 509 615  77 281 613 459 205 380 274 302  35 805

346

Число 7 - особенное, т.к. его запись по основанию 2: 111, а по основанию 6: 11
(i.e. 710 = 116 = 1112). Другими словами, число 7 является репьюнитом по крайней мере в двух основаниях b > 1.

Определим положительное целое число с таким свойством как сильный репьюнит. Можно убедиться, что существует 8 сильных репьюнитов меньше 50: {1,7,13,15,21,31,40,43}.
Далее, сумма всех репьюнитов меньше 1000 равна 15864.

Найдите сумму всех сильных репьюнитов меньше 1012.
347

Наибольшее целое число ≤ 100, которое делится только на простые сомножители 2 и 3 равно 96, т.к. 96=32*3=25*3. Для двух отличных простых чисел p и q определим M(p,q,N) как наибольшее положительное целое число ≤N, которое делится только на p и q, а если такого числа не существует, то M(p,q,N)=0.

Например, M(2,3,100)=96.
M(3,5,100)=75, а не 90, т.к. 90 делится на 2 ,3 и 5.
Кроме того, M(2,73,100)=0, т.к. не существует такого положительного целого числа ≤ 100, которое бы делилось как на 2, так и на 73.

Пусть S(N) - сумма всех возможных M(p,q,N). S(100)=2262.

Найдите S(10 000 000).

348

Многие числа можно выразить как сумму квадратов и кубов. Причем, некоторые из них - более, чем одним способом.

Рассмотрим числа-палиндромы, которые можно выразить как сумму квадратов и кубов, причем и те, и другие должны быть больше 1. Ограничимся лишь теми числами, которые можно представить ровно четырьмя различными способами.
Например, 5229225 является числом-палиндромом, и его можно разложить ровно 4 различными способами:

22852 + 203
22232 + 663
18102 + 1253
11972 + 1563

Найдите сумму пяти наименьших таких чисел-палиндромов.

349

Муравей передвигается по правильному полю с квадратными клетками, окрашенными либо в черный, либо в белый цвет.
Муравей всегда смотрит в одном из основных направлений (влево, вправо, вверх или вниз) и передвигается на соседнюю клетку по одному из следующих правил:
- если он на черной клетке, то цвет клетки меняется на белый, муравей поворачивается на 90 градусов против часовой стрелки и передвигается прямо на следующую клетку.
- если он на белой клетке, то цвет клетки меняется на черный, муравей поворачивается на 90 градусов по часовой стрелке и передвигается прямо на следующую клетку.

Пусть изначально задано полностью белое поле из клеток. Сколько клеток окрасится в черный цвет после того, как муравей совершит 1018 переходов?

350

Списком длинною n является последовательность из n натуральных чисел.
Примеры таких списков: (2,4,6), (2,6,4), (10,6,15,6) и (11).

Наибольший общий делитель, сокращенно НОД, такого списка - наибольшее натуральное число, на которое делится каждая запись списка.
Примеры: НОД(2,6,4) = 2, НОД(10,6,15,6) = 1 и НОД(11) = 11.

Наименьшее общее кратное, сокращенно НОК, такого списка - наименьшее натуральное число, которое делит без остатка каждую запись списка.
Примеры: НОК(2,6,4) = 12, НОК(10,6,15,6) = 30 и НОК(11) = 11.

Пусть f(G, L, N) - количество списков длинною N, у которых НОД ≥ G и НОК ≤ L. Например:

f(10, 100, 1) = 91.
f(10, 100, 2) = 327.
f(10, 100, 3) = 1135.
f(10, 100, 1000) mod 1014 = 3286053.

Найдите f(106, 1012, 1018) mod 1014.

351

Шестиугольный сад порядка n - это треугольная решетка, которую образуют точки правильного шестиугольника с длиной стороны n. Ниже следует пример шестиугольного сада 5-го порядка:


Зеленым выделены точки, путь от которых к центру закрывают другие, более близкие точки. Нетрудно заметить, что у шестиугольного сада 5-го порядка таких скрытых точек 30.

Пусть H(n) - число скрытых от центра точек в шестиугольном саду порядка n.

H(5) = 30. H(10) = 138. H(1 000) = 1177848.

Найдите H(100 000 000).

352

Каждую 25-ю овцу из стада необходимо проверить на редкий вирус, который поражает 2% популяции овец. Существует точный и высокочувствительный ПЦР тест образцов крови, который дает однозначный положительный/отрицательный результат, но он дорогой и очень затратный по времени.

Из-за высокой цены, главный ветеринар предлагает вместо 25 отдельных тестов проводить следующую процедуру:

Овец распределяют на 5 груп по 5 овец в каждой. 5 образцов крови каждой овцы из группы смешиваются вместе, после чего проводится один тест. Тогда,

  • Если результат отрицательный, то все овцы в этой группе считаются здоровыми.
  • Если результат положительный, проводится 5 дополнительных тестов. Отдельный тест для образца крови каждого животного, чтобы определить зараженных особей.

Поскольку вероятность заражения каждого отдельно взятого животного составляет всего 0.02, то первый тест (объединенных образцов) для каждой группы будет:

  • Отрицательным (и больше тестов не потребуется) с вероятностью 0.985 = 0.9039207968.
  • Положительным (потребуется 5 дополнительных тестов) с вероятностью 1 - 0.9039207968 = 0.0960792032.

Таким образом, ожидаемое количество тестов для каждой группы составвит 1 + 0.0960792032 × 5 = 1.480396016.
Следовательно, все 5 групп можно просеять со средним количеством тестов 1.480396016 × 5 = 7.40198008, что дает огромный выигрыш, более чем 70% !

Хотя описанная выше процедура выглядит очень эффективной, ее можно существенно улучшить (всегда предполагается, что тест достаточно чувствителен и что нет никаких побочных эффектов при смешивании образцов крови). К примеру:

  • Можно начать с теста смеси всех 25 образцов крови. Можно убедиться, что примерно в 60.35% случаев тест будет отрицательным и дополнительные тесты не потребуются. Более подробное тестирование потребуется лишь в оставшихся 39.65% случаев.
  • Если известно, что по крайней мере одно из животных в группе из 5 особей инфицировано, и что первые 4 индивидуальных теста дадут отрицательный результат, то совершенно не требуется проводить тест для пятого животного (очевидно, что именно оно и будет инфицировано).
  • Можно попробовать изменить количество групп / количество особей в группе, меняя эти числа на каждом уровне так, чтобы общее число проведенных тестов было минимальным.

Чтобы упростить очень широкий ряд возможностей, введем ограничение на получение наиболее эффективной по затратам схемы тестирования: когда мы протестируем смешанный образец, необходимо полностью разделить всех овец, чьи образцы крови участвовали в тестировании (т.е. получить результат для каждого животного из группы - инфицированно оно или нет), прежде чем можно будет проводить тестирование остальных групп животных.

В данном примере оказывается, что наиболее эффективная по затратам методика тестирования (будем называть ее оптимальной стратегией) потребует в среднем всего лишь 4.155452 тестов!

Для такой оптимальной стратегии определим T(s,p) как среднее количество тестов, необходимое для отсеивания больных животных в стаде из s овец, при вероятности заболевания каждой особи p.
Таким образом, округлив результат до шести знаков после десятичной точки, T(25,0.02) = 4.155452 и T(25,0.10) = 12.702124.

Найдите ΣT(10000,p) для всех p=0.01, 0.02, 0.03, ... 0.50.
Ответ округлите до шести знаков после десятичной точки.

353

Луну можно описать сферой C(r) с центром в точке с координатами (0,0,0) и радиусом r.

Предположим, что на поверхности луны C(r) расположены две станции с цело-численными координатами. Станцию в точке с координатами (0,0,r) назовем станцией Северного Полюса, а станцию в точке с координатами (0,0,-r) - соответственно, станцией Южного Полюса.

Все станции соединены между собой кратчайшими путями по большим дугам, проходящим через точки расположения станций. Переход от одной станции к другой - рискован. Если d - длина пути между двумя станциями, то (d/(π r))2 - мера риска такого путешествия (назовем ее риском пути). Если путешествие происходит более чем между двумя соседними станциями, то риск всего пути определяется суммой рисков всех использованных путей.

Длина пути путешествия от станции Северного Полюса до станции Южного Полюса составляет πr и его риск равен 1. Путешествие от станции Северного Полюса до станции Южного Полюса по (0,r,0) будет настолько же длинным, однако с меньшим риском: (½πr/(πr))2 +(½πr/(πr))2=0.5.

Наименьший риск пути от станции Северного Полюса до станции Южного Полюса на поверхности C(r) составляет M(r).

Дано, что M(7)=0.1784943998 после округления до 10 знаков после десятичной точки.

Найдите M(2n-1) для всех 1≤n≤15.

Ответ округлите до 10 знаков после десятичной точки и приведите его в виде a.bcdefghijk.

354

Рассмотрим пчелиные соты как идеально равносторонние шестиугольники с длинной стороны 1.

Некоторая сота отведена для пчелиной матки.
Для положительных целых чисел L, определим B(L) как количество сот, удаленных от соты пчелиной матки на расстояние L (все расстояния измеряются от центра одной соты до центра другой); соответственно, можно предположить, что пчелиные соты достаточно велики, чтобы мы могли рассматривать любое расстояние L, какое нам только потребуется.
Например, B(√3) = 6, B(√21) = 12 и B(111 111 111) = 54.

Найдите количество значений L ≤ 5· 1011, при которых B(L) = 450.

355

Определим Co(n) как максимально возможную сумму множества всех взаимно простых чисел из {1, 2, ..., n}.
Например, Co(10) равняется 30 и достигает максимума для следующего подмножества: {1, 5, 7, 8, 9}.

Известно, что Co(30) = 193 и Co(100) = 1356.

Найдите Co(200000).

356

Пусть an будет наибольшим вещественным корнем многочлена g(x) = x3 - 2n·x2 + n.
Например, a2 = 3.86619826...

Найдите последние восемь цифр .

Примечание: обозначает функцию пола (целую часть).

357

Рассмотрим делители числа 30: 1,2,3,5,6,10,15,30.
Можно заметить, что для каждого делителя d числа 30, d+30/d является простым числом.

Найдите сумму всех натуральных чисел n, не превышающих 100 000 000, таких, что для каждого делителя d числа n, d+n/d является простым числом.

358

Циклическое число с n цифрами имеет очень интересное свойство:
Когда его умножают на 1, 2, 3, 4, ... n, все произведения имеют точно такие же цифры, в том же порядке, но перемещающиеся по кругу!

Наименьшее циклическое число - это 6-значное число 142857 :
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Следующее циклическое число - 0588235294117647 с 16 цифрами:
0588235294117647 × 1 = 0588235294117647
0588235294117647 × 2 = 1176470588235294
0588235294117647 × 3 = 1764705882352941
...
0588235294117647 × 16 = 9411764705882352

Обратите внимание, что для циклических чисел важны ведущие нули.

Существует только одно циклическое число, в котором первые одиннадцать цифр - 00000000137 и последние пять цифр - 56789 (т.е. оно выглядит как 00000000137...56789 с неизвестным количеством цифр посередине). Найдите сумму всех цифр этого числа.

359

Бесконечное число людей (пронумерованных 1, 2, 3, и т.д.) стоят в очереди за комнатой в новейшем бесконечном отеле Гилберта. В отеле бесконечное количество этажей (пронумерованных 1, 2, 3, и т.д.), и каждый этаж содержит бесконечное число комнат (пронумерованных 1, 2, 3, и т.д.).

Изначально отель пуст. Гилберт объявляет правило, по которому n-тый человек получает комнату: человек n получает первую свободную комнату на самом низком этаже, отвечающем хотя бы одному из следуюших условий:

  • этаж пуст
  • этаж не пуст и, если последний занявший на нем комнату человек имеет номер m, то m + n является квадратом целого числа

Человек 1 получает комнату 1 на этаже 1, так как он пуст.
Человек 2 не получает комнату 2 на этаже 1, так как 1 + 2 = 3 не является квадратом целого числа.
Вместо этого, человек 2 получает комнату 1 на этаже 2, так как он пуст.
Человек 3 получает комнату 2 на этаже 1, так как 1 + 3 = 4 является квадратом целого числа.

Рано или поздно, каждый человек в очереди получит свою комнату в отеле.

Пусть P(f, r) будет равно n, если человек n занял комнату r на этаже f, и равно 0, если никто не занял эту комнату. Вот несколько примеров:
P(1, 1) = 1
P(1, 2) = 3
P(2, 1) = 2
P(10, 20) = 440
P(25, 75) = 4863
P(99, 100) = 19454

Найдите сумму всех P(f, r) для всех натуральных f и r таких, что f × r = 71328803586048, и в качестве ответа приведите последние 8 цифр полученного результата.

360

Если даны две точки (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) в трехмерном пространстве, то Манхэттеновское расстояние между этими точками определяется как
|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|.

Пусть C(r) будет сферой с радиусом r и центром в начале координат O(0,0,0).
Пусть I(r) будет множеством всех точек с целочисленными координатами на поверхности C(r).
Пусть S(r) будет суммой Манхэттеновских расстояний от всех элементов I(r) до начала координат O.

Например, S(45)=34518.

Найдите S(1010).

361

Последовательность Морса-Туэ {Tn} - это двоичная последовательность, удовлетворяющая следующим условиям:

  • T0 = 0
  • T2n = Tn
  • T2n+1 = 1 - Tn

Первые несколько элементов {Tn} выглядят следующим образом:
01101001100101101001011001101001....

Определим {An} как отсортированную последовательность целых чисел такую, что двоичная форма каждого элемента является подпоследовательностью {Tn}.
Например, десятичное число 18 в двоичном виде выглядит как 10010. 10010 встречается в {Tn} (от T8 до T12), значит, 18 являестя элементом {An}.
Десятичное число 14 в двоичном виде выглядит как 1110. 1110 никогда не встречается в {Tn}, значит, 14 не является элементом {An}.

Первые несколько элементов An выглядят следующим образом:

n0123456789101112
An012345691011121318

Мы также можем убедиться, что A100 = 3251 и A1000 = 80852364498.

Найдите последние 9 цифр значения .

362

Рассмотрим число 54.
54 может быть разложено 7 различными способами на один или несколько множителей больше 1:
54, 2 × 27, 3 × 18, 6 × 9, 3 × 3 × 6, 2 × 3 × 9 и 2 × 3 × 3 × 3.
Если мы потребуем, чтобы все множители были бесквадратные, останется только два способа: 3 × 3 × 6 и 2 × 3 × 3 × 3.

Назовем Fsf(n) количество способов разложения числа n на один или больше бесквадратных множителей больше 1. Таким образом, Fsf(54)=2.

Пусть S(n) будет Fsf(k) для k от 2 до n.

S(100)=193.

Найдите S(10 000 000 000).

363

Кубическая кривая Безье определяется четырьмя точками: P0, P1, P2 и P3.

Кривая строится следующим образом:
На отрезках P0P1, P1P2 и P2P3 выбираются точки Q0,Q1 и Q2 такие, что P0Q0/P0P1=P1Q1/P1P2=P2Q2/P2P3=t (t находится в [0,1]).
На отрезках Q0Q1 и Q1Q2 выбираются точки R0 и R1 такие, что Q0R0/Q0Q1=Q1R1/Q1Q2=t для того же значения t.
На отрезке R0R1 выбирается точка B такая, что R0B/R0R1=t для того же значения t.
Кривая Безье, заданная точками P0, P1, P2, P3 - это геометрическое место точек B при всех возможных положениях Q0 на отрезке P0P1. (Имейте в виду, что для всех точек значение t неизменно.)

В приложении справа Вы можете премещать точки P0, P1, P2 и P3, чтобы увидеть кривую Безье (зеленая кривая), определяемую этими точками. Вы также можете перемещать точку Q0 по отрезку P0P1.

Из построения ясно, что кривая Безье будет касаться отрезка P0P1 в P0 и отрезка P2P3 в P3.




Кубическая кривая Безье с P0=(1,0), P1=(1,v), P2=(v,1) и P3=(0,1) используется, чтобы аппроксимировать дугу в четверть окружности.
Значение v > 0 выбрано таким, что площадь, заключенная между линиями OP0, OP3 и кривой равна π/4 (площадь четверти круга).

На сколько процентов длина кривой отличается от длины дуги в четверть окружности?
То есть, если L - длина дуги, найдите 100*(L-π/2)/(π/2).
Дайте ответ, округленный до 10 знаков после запятой.

364

N сидений расположено в ряд. N человек приходят один за другим и занимают места в соответствии со следующими правилами:

  1. Если есть место, прилежащие к которому сидения свободны - занять это место.
  2. Если таковые отсутствуют, но есть место с только одним занятым прилежащим сидением - занять это место..
  3. Во всех остальных случаях занять одно из оставшихся свободных мест.

Пусть T(N) будет количеством возможностей для N человек занять N сидений следуя данным правилам.
Нижеприведенное изображение показывает T(4)=8.

Можно убедиться, что T(10) = 61632 и T(1 000) mod 100 000 007 = 47255094.

Найдите T(1 000 000) mod 100 000 007.

365

Биномиальный коэффициент C(1018,109) является числом с более чем 9 миллиардами (9×109) цифр.

Пусть M(n,k,m) будет обозначать остаток от деления биномиального коэффициента C(n,k) на число m.

Вычислите M(1018,109,p*q*r) для 1000

366

Два игрока, Антон и Бернард, играют в следующую игру.
Есть одна кучка из n камней.
Первый игрок может убрать из нее любое положительное количество камней, но не всю кучу сразу.
Далее каждый игрок по очереди убирает не больше удвоенного количества камней, убранных противником в предыдущий ход.
Побеждает игрок, убравший последний камень.

К примеру, n=5.
Если первый игрок уберет больше, чем один камень, его противник сможет убрать все оставшиеся.
Если первый игрок уберет один камень, оставив четыре, его противник тоже уберет один, оставив три камня.
Первый игрок не может убрать все три, потому что он может убрать не более 2×1=2 камней. Предположим, он уберет еще один - останется 2. Второй игрок может убрать два оставшихся камня и выиграть.
Таким образом, 5 - проигрышная позиция для первого игрока
Для некоторых выигрышных позиций существует больше одного возможного хода первого игрока
Например, когда n=17, первый игрок может убрать один или четыре камня первым ходом.

Пусть M(n) будет максимальным числом камней, которое первый игрок может взять в выигрышной позиции первым ходом и M(n)=0 для любой другой позиции.

M(n) для n ≤ 100 равно 728.

Найдите M(n) для n≤1018. В качестве ответа приведите остаток от деления полученного числа на 108.

367

Сортировка бозо, не путайте с немного менее эффективной сортировкой бого, заключается в проверке, отсортирована ли исходная последовательность и - если нет - перестановке двух случайных элементов. Это действие повторяется, пока последовательность не будет отсортирована.

Если мы рассмотрим все сочетания первых 4 натуральных чисел в качестве исходных последовательностей, ожидаемое количество перестановок, среднее для всех 4! исходных последовательностей, будет равно 24.75.
Уже отсортированная последовательность требует 0 перестановок.

В этой задаче мы рассмотрим следующий вариант сортировки бозо:
Если последовательность не упорядочена, мы выбираем три случайных элемента и случайным образом меняем их местами.
Все 3!=6 сочетаний этих элементов имеют одинаковую вероятность.
Уже отсортированная последовательность требует 0 перестановок.
Если мы рассмотрим все сочетания первых 4 натуральных чисел в качестве исходных последовательностей, ожидаемое количество перестановок, среднее для всех 4! исходных последовательностей, будет равно 27.5.
Используйте в качестве исходных последовательностей все сочетания первых 11 натуральных чисел.
Каково ожидаемое количество перестановок, среднее для всех 11! исходных последовательностей, при таком сортировочном алгоритме?

Дайте ответ, округленный до ближайшего целого.

368
Хорошо известно, что гармонический ряд 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ... расходится.

Однако, если мы исключим из этого ряда все члены, в которых знаменатель содержит цифру 9, этот ряд удивительным образом сойдется к примерно 22.9206766193.
Этот измененный гармонический ряд называется рядом Кемпнера.

Рассмотрим другой гармонический ряд, измененный путем исключения всех членов, в которых знаменатель содержит 3 или более одинаковых цифры подряд. Возможно убедиться, что из первых 1200 членов гармонического ряда только 20 членов будут исключены таким образом.
Этими 20 исключенными членами являются:

1
111
,
1
222
,
1
333
,
1
444
,
1
555
,
1
666
,
1
777
,
1
888
,
1
999
,
1
1000
,
1
1110
,
1
1111
,
1
1112
,
1
1113
,
1
1114
,
1
1115
,
1
1116
,
1
1117
,
1
1118
и
1
1119
.

Полученный ряд тоже сходится.

Найдите значение, к которому сходится такой ряд.
Дайте ответ, округленный до 10 цифр после десятичной точки.

369

В стандартной колоде из 52 карт набор из четырех карт называется Бадуги, если в нем нет ни одной пары и все карты разной масти.

Пусть f(n) будет количетсвом различных способов выбрать n карт, содержащих подмножетсво из 4 карт, являющееся Бадуги. Например, существует 2598960 способов выбрать пять карт из стандартной колоды в 52 карты, из которых 514800 содержат подмножетсво из 4 карт, являющееся Бадуги. Таким образом, f(5) = 514800.

Найдите f(n) для 4 ≤ n ≤ 13.

370

Определим геометрический треугольник как треугольник с целочисленными длинами сторон abc такими, что они образуют геометрическую прогрессию, т.е. b2 = a · c . 

Примером такого геометрического треугольника является треугольник со сторонами a = 144, b = 156 и c = 169.

Сущетсвует 861805 геометрических треугольника с периметром ≤ 106 .

Сколько существует треугольников с периметром ≤ 2.5·1013 ?

371

Номерные знаки штата Орегон состоят из трех букв английского алфавита и трехзначного числа (каждая цифра может быть от [0..9]).
По пути на работу Сет играет в такую игру:
Когда числа на двух номерных знаках, увиденных в дороге, в сумме дают 1000 - это выигрыш.

Например, MIC-012 и HAN-988 - это выигрыш, так же как RYU-500 и SET-500 (только если он увидел оба номера в течение одной и той же поездки).

Найдите ожидаемое количество номерных знаков, которое он должен увидеть, чтобы выиграть.
Дайте ответ округленным до 8 знаков после десятичной точки.

Примечание: Мы предполагаем, что все увиденные номерные знаки имеют одинаковую вероятность содержать любое трехзначное число.

372

Пусть R(M, N) — количество узлов решётки (x, y), для которых M<xN, M<yN и значение ⌊y²∕x²⌋ нечётное.
Можно убедиться, что R(0, 100) = 3019 и R(100, 10000) = 29750422.
Найдите R(2·106, 109).

Примечание: ⌊x⌋ обозначает функцию пола.

373

Каждый треугольник имеет описанную окружность, проходящую через все три вершины. Рассмотрим все треугольники с целочисленными длинами сторон, для которых радиус описанной окружности - тоже целое число.

Пусть S(n) будет суммой всех радиусов описанных окружностей для всех треугольников такого вида, где радиус не превышает n.

S(100)=4950 и S(1200)=1653605.

Найдите S(107).

374

Разбиение целого числа n — это представление n в виде суммы положительных целых чисел — частей.

Разбиения, которые отличаются только порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Разбиение n на различные части — это разбиение n, в которое каждая часть входит не более одного раза.

Разбиения на различные части числа 5:
5, 4+1 и 3+2.

Пусть f(n) — максимальное произведение частей среди таких разбиений n на различные части, и пусть m(n) — количество элементов разбиения n с этим произведением.

Тогда f(5)=6 и m(5)=2.

Для n=10 разбиением с наибольшим произведением является 10=2+3+5, которое даёт f(10)=30 и m(10)=3.
И их произведение, f(10)·m(10) = 30·3 = 90.

Можно убедиться, что
f(n)·m(n) для 1 ≤ n ≤ 100 = 1683550844462.

Найдите f(n)·m(n) для 1 ≤ n ≤ 1014.
Дайте ответ по модулю 982451653 (это 50-миллионное простое число).

375

Пусть Sn будет последовательностью целых чисел, созданной с помощью следующего генератора псевдослучайных чисел:

S0 =  290797 
Sn+1 =  Sn2 mod 50515093

Пусть A(i, j) будет минимум чисел Si, Si+1, ... , Sj для ij.
Пусть M(N) = ΣA(i, j) для 1 ≤ ijN.
Можно убедиться, что M(10) = 432256955 и M(10 000) = 3264567774119.

Найдите M(2 000 000 000).

376

Рассмотрим следующий набор кубиков с нестандартно размеченными гранями:

Кубик A: 1 4 4 4 4 4
Кубик B: 2 2 2 5 5 5
Кубик C: 3 3 3 3 3 6

Два игрока играют в игру, по очереди выбирая кубик и кидая его. Игрок, выкинувший наибольшее число, побеждает.

Если первый игрок берет кубик A, а второй игрок выбирает B, мы получаем
P(второй игрок победит) = 7/12 > 1/2

Если первый игрок берет кубик B, а второй игрок выбирает C, мы получаем
P(второй игрок победит) = 7/12 > 1/2

Если первый игрок берет кубик C, а второй игрок выбирает A, мы получаем
P(второй игрок победит) = 25/36 > 1/2

Итак, какой бы кубик первый игрок ни выбрал, второй игрок может выбрать другой кубик и получить более, чем 50% вероятность победить.
Набор кубиков, имеющий такое свойство, называется нетранзитивным набором кубиков.

Мы хотим исследовать, сколько существует нетранзитивных наборов кубиков. Предположим следующие условия:

  • Всего есть три шестигранных кубика, каждая грань которых имеет от 1 до N точек включительно.
  • Кубики с одинаковым набором точек на всех гранях идентичны независимо от их расположения.
  • Одно и то же количество точек может присутствовать на гранях разных кубиков. Если оба игрока выкидывают одинаковое число, никто не побеждает.
  • Наборы кубиков {A,B,C}, {B,C,A} и {C,A,B} - это один и тот же набор.

Для N = 7 мы нашли, что существует 9780 таких наборов.
Сколько существует нетранзитивных наборов для N = 30 ?

377

Существует 16 натуральных чисел, не содержащих нулей и имеющих сумму всех своих цифр, равную 5, а именно:
5, 14, 23, 32, 41, 113, 122, 131, 212, 221, 311, 1112, 1121, 1211, 2111 и 11111.
В сумме они дают 17891.

Пусть f(n) будет суммой всех натуральных чисел не содержащих цифру 0 и имеющих сумму всех цифр равной n.

Найдите $\displaystyle \sum_{i=1}^{17} f(13^i)$
В качестве ответа приведите последние девять цифр.

378
Пусть T(n) будет n-тым треугольным числом, таким что T(n) =
n (n+1)
2
.

Пусть dT(n) будет количеством делителей T(n).
Например: T(7) = 28 и dT(7) = 6.

Пусть Tr(n) будет количеством троек (i, j, k) таких, что 1 ≤ i < j < k ≤ n и dT(i) > dT(j) > dT(k).
Tr(20) = 14, Tr(100) = 5772 and Tr(1000) = 11174776.

Найдите Tr(60 000 000).
Введите последние 18 цифр полученного ответа.

379

Пусть f(n) будет количеством пар (x,y), где x и y - положительные целые числа, xy и наименьшее общее кратное x и y равно n.

Пусть g будет функцией суммы от f, то есть g(n) = f(i) для 1 ≤ in.

Вам дано, что g(106) = 37429395.

Найдите g(1012).

380

Лабиринт m×n - это прямоугольная сетка m×n со стенками, расположенными между квадратными ячейками таким образом, что существует только один путь из верхнего левого квадрата в любой другой квадрат.
Ниже представлены примеры лабиринтов 9×12и 15×20:

Пусть C(m,n) будет количеством возможных различных лабиринтов m×n. Лабиринты, которые могут быть образованы путем поворота или отражения другого лабиринта, считаются различными.

Можно убедиться, что C(1,1) = 1, C(2,2) = 4, C(3,4) = 2415, и C(9,12) = 2.5720e46 (число в стандартном виде, округленное до 5 значимых цифр).
Найдите C(100,500) и запишите свой ответ в стандартном виде, округленный до 5 значимых цифр.

При записи ответа используйте латинскую строчную букву e, чтобы отделить мантиссу от порядка. Например, если ответ - 1234567891011, тогда он будет оформлен в виде 1.2346e12.

381

Для простого числа p пусть S(p) = ( (p-k)!) mod(p) для 1 ≤ k ≤ 5.

Например, если p=7,
(7-1)! + (7-2)! + (7-3)! + (7-4)! + (7-5)! = 6! + 5! + 4! + 3! + 2! = 720+120+24+6+2 = 872.
Так как 872 mod(7) = 4, S(7) = 4.

Можно убедиться, что S(p) = 480 для 5 ≤ p < 100.

Найдите S(p) для 5 ≤ p < 108.

382

Многоугольник - это плоская фигура, состоящая из соединенных между собой отрезков, образующих замкнутую цепь или контур. Многоугольник состоит как минимум из трех сторон и не пересекает сам себя.

Множество положительных чисел S генерирует многоугольник P, если:

  • никакие две стороны P не имеют одинаковую длину,
  • длина каждой стороны P содержится в S, и
  • S не содержит никаких других значений.

Например:
Множество {3, 4, 5} генерирует многоугольник со сторонами 3, 4 и 5 (треугольник).
Множество {6, 9, 11, 24} генерирует многоугольник со сторонами 6, 9, 11 и 24 (четырехугольник).
Множества {1, 2, 3} и {2, 3, 4, 9} не генерируют никакие многоугольники.

Рассмотрим последовательность s, определенную следующим образом:

  • s1 = 1, s2 = 2, s3 = 3
  • sn = sn-1 + sn-3 для n > 3.

Пусть Un будет множеством {s1, s2, ..., sn}. Например, U10 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41}.
Пусть f(n) будет количеством подмножеств Un, которые генерируют хотя бы один многоугольник.
Например, f(5) = 7, f(10) = 501 и f(25) = 18635853.

Найдите последние 9 цифр f(1018).

383

Пусть f5(n) будет наибольшим целым числом x, для которого 5x делится на n.
Например, f5(625000) = 7.

Пусть T5(n) будет количеством целых чисел i, которые удовлетворяют f5((2·i-1)!) < 2·f5(i!) и 1 ≤ in.
Можно убедиться, что T5(103) = 68 и T5(109) = 2408210.

Найдите T5(1018).

384

Определим последовательность a(n) как количество пар соседствующих единиц в двоичном представлении числа n (возможны перекрытия).
Например: a(5) = a(1012) = 0, a(6) = a(1102) = 1, a(7) = a(1112) = 2

Определим последовательность b(n) = (-1)a(n).
Эта последовательность называется последовательностью Рудина-Шапиро.

Также рассмотрим сумматорную последовательность для b(n): .

Первые несколько значений этих последовательностей приведены ниже:
n        0     1     2     3     4     5     6     7
a(n)     0     0     0     1     0     0     1     2
b(n)     1     1     1    -1     1     1    -1     1
s(n)     1     2     3     2     3     4     3     4

Последовательность s(n) имеет замечательное свойство: все ее элементы положительны и каждое положительное целое число k встречается ровно k раз.

Определим g(t,c), при 1 ≤ ct, как индекс последовательности s(n), при котором t встречается в последовательности c-ый раз.
Например: g(3,3) = 6, g(4,2) = 7 и g(54321,12345) = 1220847710.

Пусть F(n) будет последовательностью Фибоначчи, определенной следующим образом:
F(0) = F(1) = 1 и
F(n) = F(n-1) + F(n-2) для n > 1.

Определим GF(t) = g(F(t),F(t-1)).

Найдите ΣGF(t) для 2 ≤ t ≤ 45.

385

Для любого треугольника T на плоскости можно доказать, что существует единственный эллипс наибольшей площади, полностью помещающийся внутри T.

Для данного n рассмотрим треугольники T такие, что:
- вершины T имеют целочисленные координаты с абсолютными значениями ≤ n, и
- фокусы эллипса с наибольшей площадью внутри T имеют координаты ( √ 13,0) и (- √ 13,0).
Пусть A(n) будет суммой площадей всех таких треугольников.

Например, если n = 8, то существует два таких треугольника. Их вершины лежат на (-4,-3),(-4,3),(8,0) и (4,3),(4,-3),(-8,0), и площади обоих треугольников равны 36. Таким образом, A(8) = 36 + 36 = 72.

Можно убедиться, что A(10) = 252, A(100) = 34632 и A(1000) = 3529008.

Найдите A(1 000 000 000).

386

Пусть n будет целым числом, а S(n) будет множеством делителей n.

Подмножество A множества S(n) называется антицепью множества S(n), если A содержит только один элемент или ни один элемент A не делится на любой другой элемент A.

Например: S(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
{2, 5, 6} не является антицепью S(30).
{2, 3, 5} является антицепью S(30).

Пусть N(n) будет максимальной длиной антицепи S(n).

Найдите ΣN(n) для 1 ≤ n ≤ 108.

387

Число харшад - это такое число, которое делится на сумму всех своих цифр.
201 - это число харшад, потому что оно делится на 3 (сумма всех его цифр).
Если мы укоротим число 201 на последнюю цифру, получим 20, которое тоже является числом харшад.
Если мы укоротим число 20 на последнюю цифру, получим 2, которое тоже является числом харшад.
Назовем число харшад, которое остается числом харшад при рекурсивном укорачивании на последнюю цифру, укорачиваемым справа числом харшад.

Также:
201/3=67, что является простым числом.
Назовем число харшад, которое при делении на сумму всех своих цифр дает простое число, сильным числом харшад.

Теперь рассмотрим число 2011, являющееся простым.
Если мы укоротим его на последнюю цифру, мы получим 201 - сильное число харшад, которое также укорачиваемо справа.
Назовем такие простые числа сильными, укорачиваемыми справа простыми числами харшад.

Дано, что сумма всех сильных, укорачиваемых справа простых чисел харшад меньше 10000 равна 90619.

Найдите сумму всех сильных, укорачиваемых справа простых чисел харшад меньше 1014.

388

Рассмотрим все точки трехмерной решетки (a,b,c), где 0 ≤ a,b,c ≤ N.

Из начала координат O(0,0,0) проводятся прямые линии к каждой точке решетки.
Пусть D(N) будет количеством различных линий, полученных таким образом.

Дано, что D(1 000 000) = 831909254469114121.

Найдите D(1010). В качестве ответа приведите число, состоящее из первых девяти и последних девяти цифр полученного результата.

389

При броске симметричного 4-гранного кубика записывается полученное число T.
Потом бросают T симметричных 6-гранных кубиков, и складывают все полученные числа. Записывается их сумма C.
Потом бросают C симметричных 8-гранных кубиков, и складывают все полученные числа. Записывается их сумма O.
Потом бросают O симметричных 12-гранных кубиков, и складывают все полученные числа. Записывается их сумма D.
Потом бросают D симметричных 20-гранных кубиков, и складывают все полученные числа. Записывается их сумма I.
Найдите дисперсию I и дайте ответ, округленный до 4 знаков после десятичной точки.

390

Рассмотрим треугольник со сторонами √5, √65 и √68. Можно показать, что его площадь равна 9.

S(n) - сумма площадей всех треугольников со сторонами √(1+b2), √(1+c2) и √(b2+c2) (b и c - целые), которые имеют целую площадь, не превышающую n.

Приведенный в качестве примера треугольник имеет b=2 и c=8.

S(106)=18018206.

Найдите S(1010).

391

Пусть sk будет количеством единиц, использованных при записи чисел от 0 до k в двоичном виде.
Например, записывая числа от 0 до 5 в двоичном виде, мы получаем 0, 1, 10, 11, 100, 101. Всего использовано семь единиц, таким образом, s5 = 7.
Последовательность S = {sk : k ≥ 0} начинается следующим образом: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 12, ...}.

В игру играют двое игроков. Перед началом игры выбирается число n. Счетчик c начинается с 0. На каждый ход игрок выбирает число от 1 до n (включительно) и увеличивает c на это число. Полученное значение c должно быть элементом S. Если игрок больше не имеет возможных ходов, он проигрывает.

Например:
Пусть n = 5. c начинается с 0.
Игрок 1 выбирает 4, посему c принимает значение 0 + 4 = 4.
Игрок 2 выбирает 5, посему c принимает значение 4 + 5 = 9.
Игрок 1 выбирает 3, посему c принимает значение 9 + 3 = 12.
И т.д.
Заметьте, что c должно всегда принадлежать S, и каждый игрок может увеличить c не больше, чем на n.

Пусть M(n) будет наибольшим числом, которое первый игрок может выбрать и обеспечить себе победу, и M(n) = 0, если такого хода не существует. Например, M(2) = 2, M(7) = 1 и M(20) = 4.

Дано, что Σ(M(n))3 = 8150 для 1 ≤ n ≤ 20.

Найдите Σ(M(n))3 для 1 ≤ n ≤ 1000.

392

Прямолинейная сетка - это ортогональная сетка, расстояния между линиями которой не обязательно одинаковы.
Примером такой сетки является логарифмическая чертежная бумага.

Рассмотрим прямолинейные сетки в декартовой системе координат со следующими свойствами:


  • Линии сетки параллельны осям декартовой системы координат.
  • Всего есть N+2 вертикальных и N+2 горизонтальных линий сетки. Они образуют (N+1) x (N+1) прямоугольных ячеек.
  • Две внешние вертикальные лении сетки описываются уравнениями x = -1 и x = 1.
  • Две внешние горизонтальные лении сетки описываются уравнениями y = -1 и y = 1.
  • Ячейки сетки раскрашены в красный, если они перекрываются с единичным кругом, все остальные - в черный.

В рамках этой задачи мы попросим Вас найти такие положения оставшихся N внутренних горизонтальных и N внутренних вертикальных линий сетки, что площадь, занятая красными ячейками, является наименьшей.

К примеру, ниже дано изображение решения для N = 10:

Для N = 10 площадь, занятая красными ячейками, округленная до 10 цифр за запятой, равна 3.3469640797.

Найдите положения линий сеток для N = 400.
В качестве ответа приведите площадь, занятую красными ячейками, округленную до 10 цифр после десятичной точки.

393

Сетка n×n содержит n2 муравьев, по одному в каждой ячейке.
Все муравьи одновременно решают переместиться на соседнюю клетку (обычно, одну из 4 возможных, за исключением муравьев на границе и в углах сетки).
Определим f(n) как количество возможных способов, которыми это может произойти так, чтобы на каждой клетке оказался только один муравей, и никакие два муравья не пересекли одну и ту же границу между двумя ячейками.

Вам дано, что f(4) = 88.
Найдите f(10).

394

Джефф ест пирог необычным способом.
Пирог имеет круглую форму. Джефф начинает, делая первый разрез по радиусу пирога.
Пока остается как минимум данная доля пирога F, он действует следующим образом:
- Он делает два разреза от центра пирога до любой точки на краю оставшегося пирога. Все точки на краю оставшегося пирога одинаково вероятны. Это делит оставшийся пирог на три части.
- Он забирает и съедает первые два куска в направлении против часовой стрелки от первого разреза пирога.
Когда доля оставшегося пирога становится меньше F, Джефф больше не повторяет эту процедуру. Вместо этого он съедает весь оставшийся пирог.

Для x ≥ 1, пусть E(x) будет ожидаемым количеством повторений вышеуказанной процедуры при F = 1/x.
Можно убедиться, что E(1) = 1, E(2) ≈ 1.2676536759, и E(7.5) ≈ 2.1215732071.

Найдите E(40), округленное до 10 знаков после десятичной точки.

395

Дерево Пифагора - это фрактал, сгенерированный следующим образом:

Начните с единичного квадрата. Затем, выбрав одну из его сторон, как основание (в анимации нижняя сторона является основанием):

  1. Постройте прямоугольный треугольник на противоположной основанию стороне с гипотенузой, совпадающей с этой стороной, и отношением сторон 3:4:5. Заметьте, что меньший катет должен быть справа относительно основания (см. анимацию).
  2. На каждом катете прямоугольного треугольника постройте квадрат со стороной, совпадающей с этим катетом.
  3. Повторите это процедуру для обоих квадратов, считая за основания их стороны, касающиеся треугольника.

Фигура, получившаяся после бесконечного числа итераций, является деревом Пифагора.

Можно показать, что существует хотя бы один прямоугольник, чьи стороны параллельны сторонам наибольшего квадрата в дереве Пифагора, и который заключает в себе все дерево Пифагора полностью.

Найдите наименьшую возможную площадь такого прямоугольника и дайте ваш ответ округленным до 10 знаков после десятичной точки.

396

Для любого положительного целого n, n-тая слабая последовательность Гудштайна {g1, g2, g3, ...} определяется следующим образом:

  • g1 = n
  • для k > 1, gk находится, записывая gk-1 по основанию k, интерпретируя его как число по основанию k + 1 и вычитая 1.

Последовательность завершается, когда gk принимает значение 0.

Например, шестая слабая последовательность Гудштайна - {6, 11, 17, 25, ...}:

  • g1 = 6;
  • g2 = 11, так как 6 = 1102, 1103 = 12, и 12 - 1 = 11;
  • g3 = 17, так как 11 = 1023, 1024 = 18, и 18 - 1 = 17;
  • g4 = 25, так как 17 = 1014, 1015 = 26, и 26 - 1 = 25;

и так далее.

Можно показать, что каждая слабая последовательность Гудштайна конечна.

Пусть G(n) будет количеством ненулевых элеметов n-той слабой последовательности Гудштайна.
Может быть доказано, что G(2) = 3, G(4) = 21 и G(6) = 381.
Может также быть доказано, что ΣG(n) = 2517 для 1 ≤ n < 8.

Найдите последние 9 цифр ΣG(n) для 1 ≤ n < 16.

397

На параболе y = x2/k выбраны три точки A(a, a2/k), B(b, b2/k) и C(c, c2/k).

Пусть F(K, X) будет количеством таких четверок целых чисел (k, a, b, c), что хотя бы один угол треугольника ABC равен 45 градусам, при 1 ≤ kK и -Xa < b < cX.

Например, F(1, 10) = 41 и F(10, 100) = 12492.
Найдите F(106, 109).

398

На веревке длиной n расположена n-1 точка на расстоянии 1 друг от друга или от конца веревки. Из этих точек мы случайно выбираем m-1 точку, и разрезаем веревку в этих точках, получая m обрезков.

Пусть E(n, m) будет ожидаемой длиной второго самого короткого обрезка.
Например, E(3, 2) = 2 и E(8, 3) = 16/7.
Заметьте, что если несколько обрезков одной длины являются самыми короткими, то длина второго самого короткого обрезка равна длине самого короткого.

Найдите E(107, 100).
Дайте ответ округленным до 5 знаков после десятичной точки.

399

Первые 15 чисел Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.
Можно заметить, что 8 и 144 не являются бесквадратными: 8 делится на 4, и 144 делится на 4 и 9.
Таким образом, первые 13 бесквадратных чисел Фибоначчи - это
1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89, 233, 377 и 610.

Двухсотым бесквадратным числом Фибоначчи является 971183874599339129547649988289594072811608739584170445.
Последние шестнадцать цифр этого числа - 1608739584170445, и в стандартной записи это число выглядит как 9.7e53.

Найдите 100 000 000-ое бесквадратное число Фибоначчи.
Дайте в качестве ответа его последние 16 цифр, после которых следует запятая и запись числа в стандартном виде (округленная до одной цифры после десятичной точки).
Для 200-го бесквадратного числа Фибоначчи ответ выглядел бы так: 1608739584170445,9.7e53

400

Дерево Фибоначчи - это двоичное дерево, рекурсивно задаваемое следующим образом:

  • T(0) - пустое дерево.
  • T(1) - двоичное дерево с одним узлом.
  • T(k) состоит из корневого узла, имеющего T(k-1) и T(k-2) в качестве потомков.

Два игрока играют в игру с таким деревом. Каждый ход игрок выбирает узел и убирает его вместе со всем поддеревом, исходящим из этого узла.
Игрок, вынужденный убрать корневой узел всего дерева, проигрывает.

Ниже показаны выигрышные первые ходы первого игрока при игре с деревом T(k) от k=1 до k=6.

Пусть f(k) будет количеством выигрышных первых ходов для первого игрока (т.е. первых ходов, после которых второй игрок лишен выигрышной стратегии) в игре с деревом T(k).

Например, f(5) = 1 и f(10) = 17.

Найдите f(10000). Приведите последние 18 цифр полученного числа.

401

Делителями числа 6 являются 1, 2, 3 и 6.
Сумма квадратов этих чисел равна 1+4+9+36=50.

Пусть sigma2(n) обозначает сумму квадратов делителей n. Таким образом, sigma2(6)=50.

Пусть SIGMA2 обозначает сумматорную функцию от sigma2, то есть SIGMA2(n) = sigma2(i) для i от 1 до n.
Первые шесть значений SIGMA2 - это 1, 6, 16, 37, 63 и 113.

Найдите SIGMA2(1015) modulo 109.

402

Может быть показано, что многочлен n4 + 4n3 + 2n2 + 5n является кратным 6 для каждого целого n. Также может быть показано, что 6 - самое большое целое число, имеющее такое свойство.

Определим M(a, b, c) как максимальное m, такое, что n4 + an3 + bn2 + cn является кратным m для всех целых n. Например, M(4, 2, 5) = 6.

Также определим S(N) как сумму M(a, b, c) для всех 0 < a, b, cN.

Мы можем убедиться, что S(10) = 1972 и S(10000) = 2024258331114.

Пусть Fk будет последовательностью Фибоначчи:
F0 = 0, F1 = 1 и
Fk = Fk-1 + Fk-2 для k ≥ 2.

Найдите последние 9 цифр Σ S(Fk) для 2 ≤ k ≤ 1234567890123.

403

Для целых a и b определим D(a, b) как область, ограниченную параболой y = x2 и прямой y = a·x + b:
D(a, b) = { (x, y) | x2ya·x + b }.

L(a, b) определено как количество точек единичной решетки, заключенных в D(a, b).
Например, L(1, 2) = 8 и L(2, -1) = 1.

Определим также S(N) как сумму L(a, b) для всех пар (a, b) таких, что площадь D(a, b) является рациональным числом и |a|,|b| ≤ N.
Можно показать, что S(5) = 344 and S(100) = 26709528.

Найдите S(1012). Дайте ваш ответ mod 108.

404

Ea - эллипс, заданные уравнением x2 + 4y2 = 4a2.
Ea' - изображение эллипса Ea, повернутое на θ градусов против часовой стрелки вокруг начала координат O(0, 0) для 0° < θ < 90°.

b - расстояние от начала координат до двух ближайших точек пересечения эллипсов, а c - расстояние до двух других точек пересечения.
Назовем упорядоченную тройку (a, b, c) канонической эллипсоидной тройкой, если a, b и c - положительные целые числа.
Например, (209, 247, 286) является канонической эллипсоидной тройкой.

Пусть C(N) будет количеством различных канонических эллипсоидных троек (a, b, c) для aN.
Можно показать, что C(103) = 7, C(104) = 106 и C(106) = 11845.

Найдите C(1017).

405

Мы хотим выложить плиткой прямоугольник, длина которого в два раза больше ширины.
Пусть T(0) будет кладкой, состоящей из одного прямоугольника.
Для n > 0, пусть T(n) будет получено из T(n-1) путем замещения всех плиток следующим образом:

Нижеприведенная анимация иллюстрирует кладки T(n) для n от 0 до 5:

Пусть f(n) будет количеством точек, в которых касаются друг друга четыре плитки в кладке T(n).
Например, f(1) = 0, f(4) = 82 и f(109) mod 177 = 126897180.

Найдите f(10k) for k = 1018, в качестве ответа приведите остаток от деления полученного числа на 177.

406

Мы пытаемся найти неизвестное число, выбранное из множества целых чисел {1, 2, ..., n}, задавая вопросы. С каждым числом (вопросом), которое мы спрашиваем, мы получаем один из трех возможных ответов:

  • "Названное вами число меньше загаданного" (и с вас взимается плата a), или
  • "Названное вами число больше загаданного" (и с вас взимается плата b), или
  • "Да, это - оно!" (и игра завершается).

При данных значениях n, a и b, оптимальная стратегия приведет к наименьшим затратам в худшем возможном случае.

Например, если n = 5, a = 2 и b = 3, тогда мы можем начать, назвав "2" в качестве нашей первой попытки.

Если нам сообщают, что 2 больше загаданного числа (за плату b=3), тогда мы уверены, что "1" - это загаданное число (всего потратив 3).
Если нам сообщают, что 2 меньше загаданного числа (за плату a=2), тогда наша следующая попытка будет "4".
Если нам сообщают, что 4 больше загаданного числа (за плату b=3), тогда мы уверены, что "3" - это загаданное число (всего потратив 2+3=5).
Если нам сообщают, что 4 меньше загаданного числа (за плату a=2), тогда мы уверены, что "5" - это загаданное число (всего потратив 2+2=4).
Итак, при этой стратегии затраты в худшем возможном случае составят 5. Можно также показать, что это - самая маленькая затрата в худшем возможном случае, которую можно достичь. Таким образом, мы только что описали оптимальную стратегию для данных значений n, a и b.

Пусть C(n, a, b) будет затратами в худшем возможном случае при оптимальной стратегии для данных значений n, a и b.

Вот несколько примеров:
C(5, 2, 3) = 5
C(500, √2, √3) = 13.22073197...
C(20000, 5, 7) = 82
C(2000000, √5, √7) = 49.63755955...

Пусть Fk будет числами Фибоначчи: Fk = Fk-1 + Fk-2 с начальными значениями F1 = F2 = 1.
Найдите 1≤k≤30 C(1012, √k, √Fk), и приведите полученный ответ округленным до 8 знаков после десятичной точки.

407

Если мы вычислим a2 mod 6 для 0 ≤ a ≤ 5, мы получим: 0,1,4,3,4,1.

Наибольшее значение a такое, что a2a mod 6 - это 4.
Назовем M(n) наибольшее значение a < n такое, что a2a (mod n).
Так, M(6) = 4.

Найдите M(n) для 1 ≤ n ≤ 107.

408

Назовем точку (x, y) на единичной решетке недопустимой, если x, y и x + y являются положительными идеальными квадратами.
Например, (9, 16) недопустима, в то время как (0, 4), (3, 1) и (9, 4) - допустимы.

Рассмотрим путь из точки (x1, y1) в точку (x2, y2), состоящий только из единичных шагов в направлении на север или на восток.
Назовем такой путь допустимым, если ни одна из промежуточных точек пути не является недопустимой.

Пусть P(n) будет количеством допустимых путей от (0, 0) до (n, n).
Может быть показано, что P(5) = 252, P(16) = 596994440 и P(1000) mod 1 000 000 007 = 341920854.

Найдите P(10 000 000) mod 1 000 000 007.

409

Пусть n будет положительным целым числом. Рассмотрим позиции игры ним, в которых:

  • Есть n непустых кучек.
  • Размер каждой кучки не превышает 2n.
  • Никакие две кучки не имеют одинаковый размер.

Пусть W(n) будет количеством выигрышных позиций в игре ним, удовлетворяющих вышеприведенным условиям (позиция считается выигрышной, если у первого игрока существует выигрышная стратегия). Например, W(1) = 1, W(2) = 6, W(3) = 168, W(5) = 19764360 и W(100) mod 1 000 000 007 = 384777056.

Найдите W(10 000 000) mod 1 000 000 007.

410

Пусть C будет окружностью с радиусом r, x2 + y2 = r2. Выберем две точки P(a, b) и Q(-a, c) такие, что прямая, проходящая через P и Q, является касательной к C.

Например, четверка (r, a, b, c) = (2, 6, 2, -7) обладает таким свойством.

Пусть F(R, X) будет количеством четверок целых чисел (r, a, b, c) с вышеописанным свойством при 0 < rR и 0 < aX.

Можно показать, что F(1, 5) = 10, F(2, 10) = 52 и F(10, 100) = 3384.
Найдите F(108, 109) + F(109, 108).

411

Пусть n будет положительным целым числом. Представьте, что в координатах (x, y) = (2i mod n, 3i mod n) для 0 ≤ i ≤ 2n расположены станции. Будем считать станции с одинаковыми координатами одной и той же станцией.

Мы хотем проложить через существующие станции путь из (0, 0) в (n, n), причем такой, в котором координаты x и y никогда не уменьшаются.
Пусть S(n) будет максимальным количеством станций, через которые такой путь может пройти.

Например, если n = 22, существует 11 различных станций, и удовлетворяющий условию путь может пройти через максимум 5 станций. Посему, S(22) = 5. Этот случай проиллюстрирован ниже примером оптимального пути:

Можно также показать, что S(123) = 14 и S(10000) = 48.

Найдите S(k5) для 1 ≤ k ≤ 30.

412

Для целых m, n (0 ≤ n < m), пусть L(mn) будет сеткой m×m, из верхнего правого угла которой убран квадрат n×n.

Например, L(5, 3) выглядит таким образом:

Мы хотим пронумеровать каждую ячейку L(mn) последовательными целыми числами 1, 2, 3, ... так, чтобы число в каждой ячейке было меньше чисел в соседних ячейках слева и снизу.

Например, вот два варианта такой нумерации L(5, 3):

Пусть LC(m, n) будет количеством возможных вариантов нумерации L(m, n).
Можно показать, что LC(3, 0) = 42, LC(5, 3) = 250250, LC(6, 3) = 406029023400 и LC(10, 5) mod 76543217 = 61251715.

Найдите LC(10000, 5000) mod 76543217.

413

Скажем, что d-значное положительное число (без ведущих нулей) является однодетным числом, если ровно одна из его подстрок делится на d.

Например, 5671 - это четырехзначное однодетное число. Из всех его подстрок 5, 6, 7, 1, 56, 67, 71, 567, 671 и 5671, только 56 делится на 4.
Таким же образом, 104 - это трехзначное однодетное число, потому что из всех его подстрок лишь 0 делится на 3.
1132451 - это семизначное однодетное число, так как только 245 делится на 7.

Пусть F(N) будет количеством однодетных чисел меньше N.
Можно показать, что F(10) = 9, F(103) = 389 и F(107) = 277674.

Найдите F(1019).

414

6174 - примечательное число: если мы упорядочим его цифры в порядке возрастания и вычтем полученное число из числа, полученного упорядочиванием тех же цифр по убыванию, мы получим 7641-1467=6174.
Еще более примечательно то, что начав с любого четырехзначного числа и повторяя описанный процесс упорядочивания цифр и вычитания, мы в конце концов получим 6174 или сразу 0, если все цифры одинаковы.
Это также происходит и с числами с меньшим количеством цифр, если мы дополним их ведущими нулями до 4-хзначного числа.
К примеру, начнем с числа 0837:
8730-0378=8352
8532-2358=6174

6174 называется постоянной Капрекара. Процесс упорядочивания цифр и вычитания, повторяемый до получения числа 0 или постоянной Капрекара, называется преобразованием Капрекара.

Можно рассмотреть преобразования Капрекара для других систем исчисления и другого количества цифр.
К сожалению, постоянная Капрекара существует не во всех случаях: преобразование может привести к циклу при некоторых исходных числах, или же постоянная, к которой преобразование приведет, может быть разной для разных исходных чисел.
Тем не менее, можно показать, что для 5-изначных чисел в основании b = 6t+3≠9 постоянная Капрекара существует.
Например, основание 15: (10,4,14,9,5)15
основание 21: (14,6,20,13,7)21

Определим Cb как постоянную Капрекара в основании b для 5-изначных чисел. Определим функцию sb(i), равную

  • 0, если i = Cb или если i, записанное в основании b, состоит из 5 одинаковых цифр
  • числу итераций преобразования Капрекара в основании b, приводящему к Cb, во всех остальных случаях
Заметим, что мы можем определить sb(i) для всех целых i < b5. Если i, записанное в основании b, имеет меньше пяти цифр, то это число дополняется ведущими нулями до пятизначного перед тем, как применяется преобразование Капрекара.

Определим S(b) как сумму sb(i) для 0 < i < b5.
Например S(15) = 5274369
S(111) = 400668930299

Найдите сумму S(6k+3) для 2 ≤ k ≤ 300.
В качестве ответа приведите последние 18 цифр полученного числа.

415

Множество точек единичной решетки S называется титаническим множеством, если сущетсвует прямая, проходящая через ровно две точки этого множества.

Примером титанического множества является S = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (1, 0)}, где прямая, проходящая через (0, 1) и (2, 0), не проходит через ни одну другую точку множества S.

Множество {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4)}, напротив, титаническим не является, потому что прямая, проходящая через любые две точки этого множества, также проходит и через две другие точки.

Для любого положительного целого N пусть T(N) будет количеством титанических множеств S, каждая точка (x, y) которого удовлетворяет 0 ≤ x, yN. Можно показать, что T(1) = 11, T(2) = 494, T(4) = 33554178, T(111) mod 108 = 13500401 и T(105) mod 108 = 63259062.

Найдите T(1011) mod 108.

416

В самом левом квадрате ряда из n квадратов находится лягушка. Совершая последовательные прыжки, лягушка перемещается в самый правый квадрат и потом обратно в самый левый. Путешествуя слева направо, лягушка прыгает на один, два или три квадрата вправо, и проходит обратный путь схожим образом. Лягушка не может выпрыгнуть за пределы квадратов. Она повторяет этот путь туда и обратно m раз.

Пусть F(m, n) будет количеством возможных способов путешествия лягушки таких, что не больше одного квадрата остается непосещенным.
Например, F(1, 3) = 4, F(1, 4) = 15, F(1, 5) = 46, F(2, 3) = 16 и F(2, 100) mod 109 = 429619151.

Найдите последние 9 цифр F(10, 1012).

417

Единичная дробь имеет 1 в числителе. Десятичные представления единичных дробей со знаменателями от 2 до 10 даны ниже:

^(1)/_(2)0.5
^(1)/_(3)0.(3)
^(1)/_(4)0.25
^(1)/_(5)0.2
^(1)/_(6)0.1(6)
^(1)/_(7)0.(142857)
^(1)/_(8)0.125
^(1)/_(9)0.(1)
^(1)/_(10)0.1

Где 0.1(6) значит 0.166666..., и имеет повторяющуюся последовательность из одной цифры. Видно, что ^(1)/_(7) имеет повторяющуюся последовательность из 6 цифр.

Считается, что единичные дроби, чей знаменатель не имеет иных простых множителей, кроме 2 и/или 5, не содержат повторяющуюся последовательность.
Определим длину повторяющейся последовательности таких единичных дробей равной 0.

Пусть L(n) будет обозначать длину повторяющейся последовательности в 1/n. Вам дано, что L(n) для 3 ≤ n ≤ 1 000 000 равно 55535191115.

Найдите L(n) для 3 ≤ n ≤ 100 000 000

418

Пусть n будет положительным целым числом. Тройка целых чисел (a, b, c) называется факторизационной тройкой числа n, если:

  • 1 ≤ abc
  • a·b·c = n.

Определим f(n) как a + b + c для факторизационной тройки (a, b, c) числа n с минимальным возможным значением c / a. Можно показать, что такая тройка уникальна.

Например, f(165) = 19, f(100100) = 142 и f(20!) = 4034872.

Найдите f(43!).

419

Последовательность "посмотри и скажи" выглядит следующим образом: 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ...
Она начинается с единицы, и каждый следующий элемент последовательности получается путем описания предудыщего элемента с точки зрения повторяющихся цифр.
Чтобы разобраться, проделаем это вслух:
1 - это "одна единица" → 11
11 - это "две единицы" → 21
21 - это "одна двойка и одна единица" → 1211
1211 - это "одна единица, одна двойка и две единицы" → 111221
111221 - это "три единицы, две двойки и одна единица" → 312211
...

Определим A(n), B(n) и C(n) как количество единиц, двоек и троек соответственно в n-том элементе последовательности..
Можно показать, что A(40) = 31254, B(40) = 20259 и C(40) = 11625.

Найдите A(n), B(n) и C(n) для n = 1012.
В качетве ответа дайте результат деления полученного числа по модулю 230, отделив значения A, B и C запятыми.
Например, для n = 40 ответ выглядит так: 31254,20259,11625

420

Положительная целая матрица - это матрица, все элементы которой являются положительными целыми числами.
Некоторые положительные целые матрицы могут быть выражены как квадрат положительной целой матрицы двумя разными способами. К примеру:

Определим F(N) как количество положительных целых матриц 2х2, имеющих след меньше N, и которые могут быть выражены как квадрат положительной целой матрицы двумя разными способами.
Можно показать, что F(50) = 7 и F(1000) = 1019.

Найдите F(107).

421

Числа вида n15+1 являются сложными для любого целого n > 1.
Для положительных целых n и m пусть s(n,m) будет определено как сумма различных простых множителей числа n15+1, не превышающих m.

Например, 215+1 = 3×3×11×331.
Таким образом, s(2,10) = 3 и s(2,1000) = 3+11+331 = 345.

Также, 1015+1 = 7×11×13×211×241×2161×9091.
Таким образом, s(10,100) = 31 и s(10,1000) = 483.

Найдите ∑ s(n,108) для 1 ≤ n ≤ 1011.

422

Пусть H будет гиперболой, заданной уравнением 12x2 + 7xy - 12y2 = 625.

Далее, определим X как точку (7, 1). Можно заметить, что X принадлежит H.

Теперь определим последовательность точек {Pi : i ≥ 1} на гиперболе H следующим образом:

  • P1 = (13, 61/4).
  • P2 = (-43/6, -4).
  • Для i > 2, Pi - это единственная точка на H отличная от Pi-1 и такая, что прямая PiPi-1 параллельна прямой Pi-2X. Можно показать, что Pi строго и однозначно определена, и что ее координаты всегда рациональны.

Вам дано, что P3 = (-19/2, -229/24), P4 = (1267/144, -37/12) и P7 = (17194218091/143327232, 274748766781/1719926784).

Найдите Pn для n = 1114 следующим образом:
Если Pn = (a/b, c/d), где дроби несократимы и их знаменатели положительны, то в качестве ответа приведите значение (a + b + c + d) mod 1 000 000 007.

Для n = 7 ответ будет 806236837.

423

Пусть n будет положительным целым числом.
6-гранный кубик бросают n раз. Пусть c будет количеством пар последовательных бросков с одинаковым результатом.

Например, если n = 7 и были выброшены числа (1,1,5,6,6,6,3), тогда одинаковый результат имеют следующие пары последовательных бросков:
(1,1,5,6,6,6,3)
(1,1,5,6,6,6,3)
(1,1,5,6,6,6,3)
Посему, c = 3 для (1,1,5,6,6,6,3).

Определим C(n) как количество возможных реузальтатов n бросков 6-гранного кубика таких, что c не превышает π(n).1
Например, C(3) = 216, C(4) = 1290, C(11) = 361912500 и C(24) = 4727547363281250000.

Определим S(L) как C(n) для 1 ≤ nL.
Например, S(50) mod 1 000 000 007 = 832833871.

Найдите S(50 000 000) mod 1 000 000 007.

1 π обозначает функцию распределения простых чисел, т.е. π(n) - это количество простых чисел ≤ n.

424

Выше приведен пример головоломки какуро с шифром (cryptic kakuro), также известной как "пересекающиеся суммы", чье конечное решение показано справа. (Общие правила головоломок какуро можно легко найти на многих сайтах в Интернете. Необходимую информацию можно найти на krazydad.com, чей автор предоставил данные для головоломок в этой задаче.)

Загружаемый текстовый файл (kakuro200.txt) содержит описания 200 таких головоломок, с размерами поля 5х5 или 6х6. Первая головоломка в файле приведена выше в качестве примера и записана следуюшим образом:

6,X,X,(vCC),(vI),X,X,X,(hH),B,O,(vCA),(vJE),X,(hFE,vD),O,O,O,O,(hA),O,I,(hJC,vB),O,O,(hJC),H,O,O,O,X,X,X,(hJE),O,O,X

Первый символ - число, показывающее размер поля головоломки. Оно может быть или 6 (для головоломки 5x5), или 7 (для головоломки 6x6), за которым следует запятая (,). Дополнительные ряд сверху и колонка слева необходимы для хранения информации.

Далее, отделяемое запятыми, описывается содержимое каждой ячейки, начиная с верхнего ряда и двигаясь слева направо.
X = Серая ячейка, не должна быть заполнена.
O (заглавная буква латинского алфавита) = Белая пустая ячейка, которая должна быть заполнена цифрой.
A (или любая заглавная буква латинского алфавита от A до J) = Должна быть заменена соответствующей отгаданному шифру цифрой.
( ) = Положение зашифрованных сумм. Перед горизонтальными суммами стоит прописная буква "h", а перед вертикальными - прописная буква "v". За этой буквой следует одна или две заглавные буквы, в зависимости от того, является ли сумма однозначным или двузначным числом. Для двузначных сумм первая буква соответствует разряду десятков, а вторая - разряду единиц. Если в одной ячейке содержится информация как о горизонтальной, так и о вертикальной сумме, первой всегда указывается горизонтальная сумма, и эти суммы разделеяются запятой внутри скобок, например: (hFE,vD). После каждой пары скобок следует запятая.

После описания последней ячейки вместо запятой следует символ "Возврат каретки/Подача строки" (CRLF).

Ответом для каждой головоломки является ключ к шифру - приведенные в алфавитном порядке цифровые значения каждой буквы, при которых головоломка какуро решается. Как показано под примером головоломки, ответом на нее является 8426039571. Как минимум 9 из 10 букв шифра всегда являются частью описания головоломки. Если даны только 9, то десятой букве назначается оставшаяся неиспользованной цифра.

Вам дано, что сумма ответов на первые 10 головоломок в файле равна 64414157580.

Найдите сумму ответов на все 200 головоломок.

425

Два положительных простых числа A и B называются соединенными (обозначается как "A ↔ B"), если выполняется одно из следующих условий:
(1) A и B имеют одинаковую длину и отличаются ровно одной цифрой. Например, 123 ↔ 173.
(2) При добавлении одной цифры слева от A (или B) получается B (или A). Например, 23 ↔ 223 и 123 ↔ 23.

Назовем простое число P родственником двойки, если между 2 и P существует цепочка из соединенных простых чисел и ни одно число в цепочке не превышает P.

Например, 127 является родственником двойки. Одна из возможных цепочек показана ниже:
2 ↔ 3 ↔ 13 ↔ 113 ↔ 103 ↔ 107 ↔ 127
Однако, 11 и 103 не являются родственниками двойки.

Пусть F(N) будет суммой всех простых чисел ≤ N, которые не являются родственниками двойки.
Можно показать, что F(103) = 431 и F(104) = 78728.

Найдите F(107).

426

Рассмотрим бесконечный ряд коробок. Некоторые из них содержат один шар. Например, начальное расположение из 2 последовательных полных коробок, за которыми следуют 2 пустые, потом 2 полные, потом 1 пустая коробка и 2 полные, может быть обозначено последовательностью (2, 2, 2, 1, 2), в которой попеременно записано количество последовательных полных и пустых коробок.

Один ход заключается в перемещении каждого шара ровно один раз по следующему правилу: переместите самый левый шар, который еще не был перемещен, в ближайшую пустую коробку справа от него.

После одного хода последовательность (2, 2, 2, 1, 2) становится (2, 2, 1, 2, 3), как показано ниже. Заметьте, что запись новой последовательности начинается с первой полной коробки.

Подобная система называется системой шаров и коробок (Box-Ball System, или сокращенно BBS).

Можно показать, что после достаточного количества ходов система достигает состояния, в котором последовательные количества полных коробок больше не меняются. В примере ниже последовательное количество полных коробок достигает [1, 2, 3] - назовем это конечным состоянием.

Определим последовательность {ti}:

  • s0 = 290797
  • sk+1 = sk2 mod 50515093
  • tk = (sk mod 64) + 1

Начиная с исходного расположения (t0, t1, …, t10), конечное состояние будет [1, 3, 10, 24, 51, 75].
Найдите конечное состояние для исходного расположения (t0, t1, …, t10 000 000).
Дайте ответ как сумму квадратов элементов конечного состояния. Например, если конечное состояние - [1, 2, 3], тогда 12 + 22 + 32 = 14 будет Вашим ответом.

427

Последовательность целых чисел S = {si} называется n-последовательностью, если она имеет n элементов и каждый элемент si удовлетворяет 1 ≤ sin. Таким образом, существует всего nn различных n-последовательностей. Например, последовательность S = {1, 5, 5, 10, 7, 7, 7, 2, 3, 7} является 10-последовательностью.

Для любой последовательности S пусть L(S) будет длиной самой длинной непрерывной подпоследовательности S, состоящей из одинаковых элементов. Например, для приведенной выше последовательности S L(S) = 3, потому что она содержит три последовательные семерки.

Пусть f(n) = L(S) для всех n-последовательностей S.

Например, f(3) = 45, f(7) = 1403689 и f(11) = 481496895121.

Найдите f(7 500 000) mod 1 000 000 009.

428

Пусть a, b и c - положительные числа.
Пусть W, X, Y, Z будут четырьмя точками, лежащими на одной прямой и такими, что |WX| = a, |XY| = b, |YZ| = c и |WZ| = a + b + c.
Пусть Cin будет кругом с диаметром XY.
Пусть Cout будет кругом с диаметром WZ.

Тройка (a, b, c) называется тройкой-ожерельем, если возможно построить k ≥ 3 различных кругов C1, C2, ..., Ck таких, что:

  • Ci не имеет общих внутренних точек с любым из Cj для 1 ≤ i, jk и ij,
  • Ci касается Cin и Cout для 1 ≤ ik,
  • Ci касается Ci+1 для 1 ≤ i < k, и
  • Ck касается C1.

Например, (5, 5, 5) и (4, 3, 21) являются тройками-ожерельями, в то время как можно показать, что (2, 2, 5) таковой не является.

Пусть T(n) будет количеством троек-ожерелий (a, b, c) таких, что a, b и c - положительные числа и bn. Например, T(1) = 9, T(20) = 732 и T(3000) = 438106.

Найдите T(1 000 000 000).

429

Унитарный делитель d числа n - это делитель n со свойством НОД(d, n/d) = 1.
Унитарными делителями числа 4! = 24 являются 1, 3, 8 и 24.
Сумма их квадратов равна 12 + 32 + 82 + 242 = 650.

Пусть S(n) будет суммой квадратов унитарных делителей числа n. Таким образом, S(4!)=650.

Найдите S(100 000 000!) mod 1 000 000 009.

430

N дисков расположены в ряд и пронумерованы от 1 до N слева направо.
У каждого диска одна сторона черная, а другая - белая. Изначально все диски лежат белой стороной вверх.

За каждый ход случайно выбираются с равномерной вероятностью два, необязательно разных, целых числа A и B между 1 и N (включительно).
Все диски с номерами от A до B (включительно) переворачиваются.

Следующий пример показывает случай с N = 8. В первый ход A = 5 и B = 2, а во второй ход A = 4 и B = 6.

Пусть E(N, M) будет ожидаемым количеством дисков, повернутых белой стороной вверх после M ходов.
Можно показать, что E(3, 1) = 10/9, E(3, 2) = 5/3, E(10, 4) ≈ 5.157 и E(100, 10) ≈ 51.893.

Найдите E(1010, 4000).
Приведите ответ округленным до второго знака после десятичной точки.

431

Фермер Фред заказал установку нового силоса на своей ферме и, будучи одержимым вещами квадратной формы, пришел в отчаяние, узнав, что он круглый. Квентин - представитель компании, установившей силос - объяснил, что они производят только цилиндрические силосы, однако находящиеся на квадратной основе. Фреда это не вепечатлило, и он потребовал, чтобы постройку убрали из его фермы.

Смекалистый Квентин объяснил, что, когда сыпучие материалы подаются сверху, образуется конический склон с углом естественного откоса по отношению к горизонту. Например, если этот угол $alpha = 30$ градусов и зерно подается из центра потолка силоса, тогда в направлении верха цилиндра образуется идеальный конус. В случае с этим силосом, имеющим диаметр 6 м, будет зря потрачен (неиспользован) объем примерно 32.648388556 м3. Однако, если зерно подавать из точки, которая находится на потолке силоса на расстоянии $x$ метров от его центра, получится конус с искривленным и наклонным основанием. Он показал Фреду картинку.

Обозначим потраченный зря объем (в кубичеких метрах) как $V(x)$. Если $x = 1.114785284$ (заметьте, три в квадрате знаков после десятичной точки), тогда всего будет потрачено зря $V(1.114785284) approx 36$. Учитывая возможные решения этой задачи, сущетвует только один альтернативный вариант: $V(2.511167869) approx 49$. Будто бы квадрат является королем силоса, восседая в своем величии на вашем зерне.

Глаза Фреда загорелись восторгом от столь элегантного решения, однако, при ближайшем рассмотрении чертежей и рассчетов Квентина он снова упал духом. Фред указал Квентину на то, что не диаметр, а радиус силоса равен 6 метрам, и угол естественного откоса его зерна равен 40 градусам. Однако, если Квентин сможет найти решения для этого конкретного силоса, то Фред с удовольствием оставит его у себя.

Чтобы смекалистый Квентин смог удовлетворить аппетит привередливого Фреда к квадратом, определите значения $x$ для всех возможных значений зря потраченного объема, являющихся квадратами, и вычислите $sum x$, округлив до 9 знаков после десятичной точки.

432

Пусть S(n,m) = φ(n × i) для 1 ≤ i ≤ m. (φ - функция Эйлера)
Вам дано, что S(510510,106 )= 45480596821125120.

Найдите S(510510,1011).
Приведите последние 9 цифр в качестве ответа.

433

Пусть E(x0, y0) будет числом шагов, необходимых для определения наибольшего общего делителя чисел x0 и y0, используя алгоритм Евклида. Более формально:
x1 = y0, y1 = x0 mod y0
xn = yn-1, yn = xn-1 mod yn-1
E(x0, y0) - это наименьшее n такое, что yn = 0.

Получаем E(1,1) = 1, E(10,6) = 3 и E(6,10) = 4.

Определим S(N) как сумму E(x,y) для 1 ≤ x,y ≤ N.
Имеем S(1) = 1, S(10) = 221 и S(100) = 39826.

Найдите S(5·106).

434

Напомним, что граф - это совокупность вершин и ребер, соединяющих эти вершины, и что две вершины, соединенные ребром, называются соседними.
Графы могут быть представлены в Евклидовом пространстве путем назначения каждой вершине точки Евклидового пространства.
Гибкий граф - это представление графа, в котором возможно непрерывно перемещать одну или более вершин таким образом, что расстояние между как минимум двумя несоседними вершинами изменяется, в то время как расстояния между всеми парами соседних вершин остаются неизменными.
Жесткий граф - это представление графа, которое не является гибким.
Иными словами, граф является жестким, если при замене его вершин на свободно вращающиеся шарниры, а его ребер - на стержни, никакая часть графа не сможет двигаться независимо от остальных частей.

Графы-решетки, представленные на Евклидовой плоскости, не являются жесткими, как показывает следующая анимация:

Однако, их возможно сделать жесткими, добавив диагональные ребра в ячейках. Например, для графа-сетки 2 × 3 существует 19 способов превратить его в жесткий граф:

Заметим, что в рамках этой задачи мы не рассматриваем изменение направления диагонального ребра или добавление двух диагональных ребер в ячейку как различные способы превращения в жесткий граф.

Пусть R(m,n) будет количеством способов первращения графа-сетки m × n в жесткий граф.
Например, R(2,3) = 19 и R(5,5) = 23679901.

Определим S(N) как R(i,j) для 1 ≤ i, jN.
Например, S(5) = 25021721.
Найдите S(100), в качестве ответа приведите остаток от деления полученного числа на 1000000033.

435