Если выписать все натуральные числа меньше 10, кратные 3 или 5, то получим 3, 5, 6 и 9. Сумма этих чисел - 23.

Найдите сумму всех чисел меньше 1000 кратных 3 или 5.

Каждые следующий элемент ряда Фибоначчи получается при сложении двух предыдущих. Начиная с 1 и 2, первые 10 элементов будут:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Найдите сумму всех чётных элементов ряда Фибоначчи, которые не превышают четыре миллиона.

Простые делители числа 13195 - это 5, 7, 13 и 29.

Какой самый большой делитель числа 600851475143, являющийся простым числом?

Число-палиндром с обеих сторон (справа и слева) читается одинаково. Самое большое число-палиндром, полученное произведением двух двухзначных чисел – 9009 = 91 99.

Найдите самый большой палиндром, полученный произведением двух трёхзначных чисел.

2520 - самое маленькое число, которое делится без остатка на все числа от 1 до 10.

Какое самое маленькое число делится нацело на все числа от 1 до 20?

Сумма квадратов первых десяти натуральных чисел

1² + 2² + ... + 10² = 385

Квадрат суммы первых десяти натуральных чисел

(1 + 2 + ... + 10)² = 55² = 3025

Следовательно, разность между суммой квадратов и квадратом суммы первых десяти натуральных чисел составляет 3025 385 = 2640.

Найдите разность между суммой квадратов и квадратом суммы первых ста натуральных чисел.

Выписав первые шесть простых чисел, получим 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Очевидно, что 6-ое простое число - 13.

Какое число является 10001-ым простым числом?

Найдите наибольшее произведение пяти последовательных цифр в 1000-значном числе.

73167176531330624919225119674426574742355349194934
96983520312774506326239578318016984801869478851843
85861560789112949495459501737958331952853208805511
12540698747158523863050715693290963295227443043557
66896648950445244523161731856403098711121722383113
62229893423380308135336276614282806444486645238749
30358907296290491560440772390713810515859307960866
70172427121883998797908792274921901699720888093776
65727333001053367881220235421809751254540594752243
52584907711670556013604839586446706324415722155397
53697817977846174064955149290862569321978468622482
83972241375657056057490261407972968652414535100474
82166370484403199890008895243450658541227588666881
16427171479924442928230863465674813919123162824586
17866458359124566529476545682848912883142607690042
24219022671055626321111109370544217506941658960408
07198403850962455444362981230987879927244284909188
84580156166097919133875499200524063689912560717606
05886116467109405077541002256983155200055935729725
71636269561882670428252483600823257530420752963450

Тройка Пифагора - три натуральных числа a b c, для которых выполняется уравнение

a² + b² = c²

Например, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Существует только одна тройка Пифагора, для которой a + b + c = 1000.
Найдите произведение abc.

Сумма простых чисел меньше 10 - это 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Найдите сумму всех простых чисел меньше двух миллионов.

В таблице 2020 (внизу) четыре числа на одной диагонали выделены красным.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Произведение этих чисел 26 63 78 14 = 1788696.

Каково наибольшее произведение четырёх подряд идущих чисел в таблице 2020 , расположенных в любом направлении (вверх, вниз, вправо, влево или по диагонали)?

Последовательность треугольных чисел образуется путем сложения натуральных чисел. К примеру, 7-ое треугольное число будет 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Первые десять треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Перечислим делители первых семи треугольных чисел:

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Как мы видим, 28 - первое треугольное число, у которого более пяти делителей.

Каково первое треугольное число, у которого более пятисот делителей?

Найдите первые десять цифр суммы следующих ста 50-значных чисел.

Следующая повторяющаяся последовательность определена для множества натуральных чисел:

n n/2 (n - чётное)
n 3n + 1 (n - нечётное)

Используя описанное выше правило и начиная с 13, сгенерируется следующая последовательность:

13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

Получившаяся последовательность (начиная с 13 и заканчивая 1) содержит 10 элементов. Хотя это до сих пор и не доказано (проблема Коллатца (Collatz)), предполагается, что все сгенерированные таким образом последовательности оканчиваются 1.

Какой начальный элемент меньше миллиона генерирует самую длинную последовательность?

Примечание: Как только последовательность начата, элементы могут выходить за пределы миллиона.

В таблице 22 всего существует 6 маршрутов (без отхода назад), начинающихся в левом верхнем углу и заканчивющихся в правом нижнем.

Сколько существует маршрутов в таблице 2020?

2¹⁵ = 32768, сумма цифр 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26.

Какова сумма цифр числа 2¹⁰⁰⁰?

Если записать числа от 1 до 5 английскими словами (one, two, three, four, five), то используется 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 букв.

Сколько букв нужно для написания всех чисел от 1 до 1000 (one thousand) включительно?

Примечание: Не считайте пробелы и дефисы. Например, число 342 (three hundred and forty-two) состоит из 23 букв, число 115 (one hundred and fifteen) - из 20 букв. Использование "and" при оформлении написания чисел соответствует правилам британского английского.

Начиная в вершине треугольника (пример ниже) и перемещаясь на смежные числа ниже, максимальная сумма до основания составляет 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

То есть, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Найдите максимальную сумму пути от вершины до основания следующего треугольника:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

Примечание: Так как в данном треугольнике всего 16384 маршрута от вершины до основания, эту задачу можно решить проверяя каждый из маршрутов. Однако похожая Задача 67 с треугольником, состоящим из сотни строк, не решается перебором (brute force) и требует более умного подхода! ;o)

Дана следующая информация (однако, вы можете провести собственное исследование):

• 1 января 1900 года - понедельник.
• В сентябре, апреле, июне и ноябре 30 дней.
  В феврале 28, в високосный год - 29.
  В остальных месяцах по 31 дню.
• Високосный год - любой год, делящийся нацело на 4, однако первый год века (ХХ00) является високосным в том и только том случае, если делится на 400.

Сколько воскресений выпадает на первое число месяца в двадцатом веке (с 1 января 1901 года до 31 декабря 2000 года)?

n! означает n (n 1) ... 3 2 1

Найдите сумму цифр в числе 100!.

Пусть d(n) определяется как сумма делителей n (числа меньше n, делящие n нацело).
Если d(a) = b и d(b) = a, где a b, то a и b называются дружественной парой, а каждое из чисел a и b - дружественным числом.

Например, делителями числа 220 являются 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, поэтому d(220) = 284. Делители 284 - 1, 2, 4, 71, 142, поэтому d(284) = 220.

Посчитайте сумму всех дружественных чисел меньше 10000.

Используйте names.txt (правый клик и 'Save Link/Target As...'), текстовый файл размером 46 КБ, содержащий более пяти тысяч имён. Начните с сортировки в алфавитном порядке. Затем подсчитайте алфавитные значения каждого имени и умножьте это значение на порядковый номер имени в отсортированном списке для получения количества очков имени.

Например, если список отсортирован по алфавиту, имя COLIN (алфавитное значение которого 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53) является 938-ым в списке. Поэтому, имя COLIN получает 938 53 = 49714 очков.

Какова сумма очков имён в файле?

Идеальным числом называется число, у которого сумма его делителей равна самому числу. Например, сумма делителей числа 28 равна 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, что означает, что число 28 является идеальным числом.

Число n называется недостаточным, если сумма его делителей меньше n, и называется избыточным, если сумма его делителей больше n.

Так как число 12 является наименьшим избыточным числом (1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16), наименьшее число, которое может быть записано как сумма двух избыточных чисел, равно 24. Используя математический анализ, можно доказать, что все целые числа больше 28123 могут быть записаны как сумма двух избыточных чисел. Эта граница не может быть уменьшена дальнейшим анализом, даже несмотря на то, что наибольшее число, которое не может быть записано как сумма двух избыточных чисел, меньше этой границы.

Найдите сумму всех положительных чисел, которые не могут быть записаны как сумма двух избыточных чисел.

Перестановка - это упорядоченная выборка объектов. К примеру, 3124 является одной из возможных перестановок из цифр 1, 2, 3 и 4. Если все перестановки приведены в порядке возрастания или в алфавитном порядке, то такой порядок будем называть словарным. Словарные перестановки из цифр 0, 1 и 2 представлены ниже:

012   021   102   120   201   210

Какова миллионная словарная перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9?

Последовательность Фибоначчи определяется рекурсивным правилом:

F_n = F_n1 + F_n2, где F₁ = 1 и F₂ = 1.

Таким образом, первые 12 членов будут:

F₁ = 1
F₂ = 1
F₃ = 2
F₄ = 3
F₅ = 5
F₆ = 8
F₇ = 13
F₈ = 21
F₉ = 34
F₁₀ = 55
F₁₁ = 89
F₁₂ = 144

Двенадцатый член F₁₂ - первый член последовательности, который содержит три цифры.

Какой первый член последовательности Фибоначчи содержит 1000 цифр?

Единичная дробь имеет 1 в числителе. Десятичные представления единичных дробей со знаменателями от 2 до 10 даны ниже:

1/2	=	0.5
1/3	=	0.(3)
1/4	=	0.25
1/5	=	0.2
1/6	=	0.1(6)
1/7	=	0.(142857)
1/8	=	0.125
1/9	=	0.(1)
1/10	=	0.1

Где 0,1(6) значит 0,166666..., и имеет повторяющуюся последовательность из одной цифры. Видно, что ¹/₇ имеет повторяющуюся последовательность из 6 цифр.

Найдите значение d 1000, для которого ¹/_d в десятичном виде содержит самую длинную повторяющуюся последовательность цифр.

Эйлер опубликовал свою замечательную квадратичную формулу:

n² + n + 41

Оказалось, что согласно данной формуле можно получить 40 простых чисел, последовательно подставляя значения n = от 0 до 39. Однако, при n = 40, 40² + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 делится на 41 без остатка, и, очевидно, при n = 41, 41² + 41 + 41 делится на 41 без остатка.

При помощи компьютеров была найдена невероятная формула  n² 79n + 1601, согласно которой можно получить 80 простых чисел для последовательных значений n = от 0 до 79. Произведение коэффициентов 79 и 1601 равно 126479.

Рассмотрим квадратичную формулу вида:

n² + an + b, где |a| 1000 и |b| 1000

где |n| является модулем (абсолютным значением) n
К примеру, |11| = 11 и |4| = 4

Найдите произведение коэффициентов a и b квадратичного выражения, согласно которому можно получить максимальное количество простых чисел для последовательных значений n, начиная со значения n = 0.

Начиная с числа 1 и двигаясь дальше вправо по часовой стрелке, образуется следующая спираль 5 на 5:

21 22 23 24 25
20  7  8  9 10
19  6  1  2 11
18  5  4  3 12
17 16 15 14 13

Можно доказать, что сумма чисел в диагоналях равна 101.

Какова сумма чисел в диагоналях спирали 1001 на 1001, образованной таким же способом?

Рассмотрим все целочисленные комбинации a^b для 2 a 5 и 2 b 5:

2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32
3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243
4²=16, 4³=64, 4⁴=256, 4⁵=1024
5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125

Если их расположить в порядке возрастания, исключив повторения, мы получим следующую последовательность из 15 различных членов:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Сколько различных членов имеет последовательность a^b для 2 a 100 и 2 b 100?

Удивительно, но существует только три числа, которые могут быть записаны в виде суммы четвертых степеней их цифр:

1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴
8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴
9474 = 9⁴ + 4⁴ + 7⁴ + 4⁴

1 = 1⁴ не считается, так как это - не сумма.

Сумма этих чисел равна 1634 + 8208 + 9474 = 19316.

Найдите сумму всех чисел, которые могут быть записаны в виде суммы пятых степеней их цифр.

В Англии валютой являются фунты стерлингов £ и пенсы p, и в обращении есть восемь монет:

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p) и £2 (200p).

£2 возможно составить следующим образом:

1£1 + 150p + 220p + 15p + 12p + 31p

Сколькими разными способами можно составить £2, используя любое количество монет?

Каждое n-значное число, которое содержит каждую цифру от 1 до n, и при том ровно один раз, будем считать пан-цифровым; к примеру, 5-значное число, 15234, является пан-цифровым, т.к. содержит цифры от 1 до 5.

Произведение 7254 является необычным, поскольку равенство 39 186 = 7254, состоящее из множимого, множителя и произведения является пан-цифровым, т.е. содержит цифры от 1 до 9.

Найдите сумму всех пан-цифровых произведений, для которых равенство "множимое множитель = произведение" можно записать цифрами от 1 до 9, используя каждую цифру только один раз.

Дробь ⁴⁹/₉₈ является любопытной, поскольку неопытный математик, пытаясь сократить её, будет ошибочно полагать, что ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈, являющееся истиной, получено вычеркиванием девяток.

Дроби вида ³⁰/₅₀ = ³/₅ будем считать тривиальными примерами.

Существует ровно 4 нетривиальных примера дробей подобного типа, которые меньше единицы и содержат двухзначные числа как в числителе, так и в знаменателе.

Пусть произведение этих четырех дробей дано в виде несократимой дроби (числитель и знаменатель дроби не имеют общих сомножителей). Найдите знаменатель этой дроби.

145 является любопытным числом, поскольку 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

Найдите сумму всех чисел, каждое из которых равно сумме факториалов своих цифр.

Примечание: поскольку 1! = 1 и 2! = 2 не являются суммами, учитывать их не следует.

Число 197 называется круговым простым числом, потому что все перестановки его цифр с конца в начало являются простыми числами: 197, 719 и 971.

Существует тринадцать таких простых чисел меньше 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79 и 97.

Сколько существует круговых простых чисел меньше миллиона?

Десятичное число 585 = 1001001001₂ (в двоичной системе), является палиндромом по обоим основаниям.

Найдите сумму всех чисел меньше миллиона, являющихся палиндромами по основаниям 10 и 2.

(Пожалуйста, обратите внимание на то, что палиндромы не могут начинаться с нуля ни в одном из оснований).

Число 3797 обладает интересным свойством. Будучи само по себе простым числом, из него можно последовательно выбрасывать цифры слева направо, число же при этом остается простым на каждом этапе: 3797, 797, 97, 7. Точно таким же способом можно выбрасывать цифры справа налево: 3797, 379, 37, 3.

Найдите сумму единственных одиннадцати простых чисел, из которых можно выбрасывать цифры как справа налево, так и слева направо, но числа при этом остаются простыми.

ПРИМЕЧАНИЕ: числа 2, 3, 5 и 7 таковыми не считаются.

Возьмем число 192 и умножим его по очереди на 1, 2 и 3:

192 1 = 192
192 2 = 384
192 3 = 576

Объединяя все три произведения, получим девятизначное число 192384576 из цифр от 1 до 9 (пан-цифровое число). Будем называть число 192384576 объединенным произведением 192 и (1,2,3)

Таким же образом можно начать с числа 9 и по очереди умножать его на 1, 2, 3, 4 и 5, что в итоге дает пан-цифровое число 918273645, являющееся объединенным произведением 9 и (1,2,3,4,5).

Какое самое большое девятизначное пан-цифровое число можно образовать как объединенное произведение целого числа и (1,2, ... , n), где n 1?

Если p - периметр прямоугольного треугольника с целочисленными длинами сторон {a,b,c}, то существует ровно три решения для p = 120:

{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}

Какое значение p 1000 дает максимальное число решений?

Дана иррациональная десятичная дробь, образованная объединением положительных целых чисел:

0.123456789101112131415161718192021...

Видно, что 12-ая цифра дробной части - 1.

Также дано, что d_n представляет собой n-ую цифру дробной части. Найдите значение следующего выражения:

d₁ d₁₀ d₁₀₀ d₁₀₀₀ d₁₀₀₀₀ d₁₀₀₀₀₀ d_1000000

Будем считать n-значное число пан-цифровым, если каждая из его цифр от 1 до n используется в нем ровно один раз. К примеру, 2143 является 4-значным пан-цифровым числом, а также простым числом.

Какое наибольшее n-значное пан-цифровое простое число существует?

n^ый член последовательности треугольных чисел задается как t_n = ½n(n+1). Таким образом, первые десять треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Преобразовывая каждую букву в число, соответствующее ее порядковому номеру в алфавите, и складывая эти значения, мы получим числовое значение слова. Для примера, числовое значение слова SKY равно 19 + 11 + 25 = 55 = t₁₀. Если числовое значение слова является треугольным числом, то мы назовем это слово треугольным словом.

Используя words.txt (правый клик и 'Save Link/Target As...'), 16 КБ текстовый файл, содержащий около двух тысяч часто используемых английских слов, определите, сколько в нем треугольных слов.

Число 1406357289, является пан-цифровым, поскольку оно состоит из цифр от 0 до 9 в определенном порядке. Помимо этого, оно также обладает интересным свойством делимости под-последовательностей.

Пусть d₁ будет 1^ой цифрой, d₂ будет 2^ой цифрой, и т.д. В таком случае, можно заметить следующее:

• d₂d₃d₄=406 делится на 2 без остатка
• d₃d₄d₅=063 делится на 3 без остатка
• d₄d₅d₆=635 делится на 5 без остатка
• d₅d₆d₇=357 делится на 7 без остатка
• d₆d₇d₈=572 делится на 11 без остатка
• d₇d₈d₉=728 делится на 13 без остатка
• d₈d₉d₁₀=289 делится на 17 без остатка

Найти сумму всех пан-цифровых чисел из цифр от 0 до 9, обладающих данным свойством.

Пятиугольные числа вычисляются по формуле: P_n=n(3n1)/2. Первые десять пятиугольных чисел:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...

Можно убедиться в том, что P₄ + P₇ = 22 + 70 = 92 = P₈. Однако, их разность, 70 22 = 48, не является пятиугольным числом.

Найти пару пятиугольных чисел, P_j и P_k, для которых сумма и разность являются пятиугольными числами и значение D = |P_k P_j| минимально; каково это значение D?

Треугольные, пятиугольные и шестиугольные числа вычисляются по ниже следующим формулам:

Треугольные		Tn=n(n+1)/2		1, 3, 6, 10, 15, ...
Пятиугольные		Pn=n(3n1)/2		1, 5, 12, 22, 35, ...
Шестиугольные		Hn=n(2n1)		1, 6, 15, 28, 45, ...

Можно убедиться в том, что T₂₈₅ = P₁₆₅ = H₁₄₃ = 40755.

Найдите следующее треугольное число, являющееся также пятиугольным и шестиугольным.

Кристиан Гольдбах показал, что любое нечетное составное число можно записать в виде суммы простого числа и удвоенного квадрата.

9 = 7 + 21²
15 = 7 + 22²
21 = 3 + 23²
25 = 7 + 23²
27 = 19 + 22²
33 = 31 + 21²

Оказалось, что данная гипотеза неверна.

Какое наименьшее нечетное составное число, которое нельзя записать в виде суммы простого числа и удвоенного квадрата?

Первые два последовательные числа, каждое из которых состоит из двух отличных простых сомножителей:

14 = 2 7
15 = 3 5

Первые три последовательные числа, каждое из которых состоит из трех отличных простых сомножителей:

644 = 2² 7 23
645 = 3 5 43
646 = 2 17 19.

Найдите первые четыре последовательные числа, каждое из которых состоит из четырех отличных простых сомножителей. Каким будет первое число?

Сумма 1¹ + 2² + 3³ + ... + 10¹⁰ = 10405071317.

Найдите последние десять цифр суммы 1¹ + 2² + 3³ + ... + 1000¹⁰⁰⁰.

Арифметическая прогрессия: 1487, 4817, 8147, в которой каждый член возрастает на 3330, необычна в двух отношениях: (1) каждый из трех членов является простым числом, (2) все три четырехзначные числа являются перестановками друг друга.

Не существует арифметических прогрессий из трех однозначных, двухзначных и трехзначных простых чисел, демонстрирующих это свойство. Однако существует еще одна четырехзначная возрастающая арифметическая прогрессия.

Какое 12-значное число образуется, если объединить три члена этой прогрессии?

Простое число 41, можно записать в виде суммы шести последовательных простых чисел:

Это самая длинная сумма последовательных простых чисел, в результате которой получается простое число меньшее одной сотни.

Самая длинная сумма последовательных простых чисел, в результате которой получается простое число меньшее одной тысячи, содержит 21 слагаемое и равна 953.

Какое из простых чисел, меньшее одного миллиона, можно записать в виде суммы наибольшего количества последовательных простых чисел?

Меняя первую цифру числа *3 (двузначного числа, заканчивающегося цифрой 3), оказывается, что шесть из девяти возможных значений - 13, 23, 43, 53, 73 и 83 - являются простыми числами.

При замене третьей и четвертой цифры числа 56**3 одинаковыми цифрами, получаются десять чисел, из которых семь - простые: 56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773 и 56993. Число 56**3 является наименьшим числом, подставление цифр в которое дает именно семь простых чисел. Соответственно, число 56003, будучи первым из полученных простых чисел, является наименьшим простым числом, обладающим указанным свойством.

Найдите наименьшее простое число, которое является одним из восьми простых чисел, полученных заменой части цифр (не обязательно соседних) одинаковыми цифрами.

Можно заметить, что число 125874 и его удвоенное значение 251748 состоят из одних и тех же цифр, записанных в разном порядке.

Найдите такое наименьшее положительное целое число x, такое, чтобы 2x, 3x, 4x, 5x и 6x состояли из одних и тех же цифр.

Существует ровно десять способов выбора 3 элементов из множества пяти {1, 2, 3, 4, 5}:

123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, и 345

В комбинаторике для этого используется обозначение ⁵C₃ = 10.

В общем случае,

nCr =

n! r!(nr)!

, где r n, n! = n(n1)...321 и 0! = 1.

Однако, начиная с n = 23, это значение превышает один миллион: ²³C₁₀ = 1144066.

Cколько значений, не обязательно различных,  ⁿC_r, для 1 n 100 больше одного миллиона?

В карточной игре покер, ставка состоит из пяти карт, которые оцениваются снизу вверх следующим образом:

• Старшая карта: Карта наибольшего достоинства.
• Одна пара: Две карты одного достоинства.
• Две пары: Две различные пары карт
• Тройка: Три карты одного достоинства.
• Стрейт: Все пять карт по порядку, любые масти.
• Флаш: Все пять карт одной масти.
• Фул-хаус: Три карты одного достоинства и одна пара карт.
• Каре: Четыре карты одного достоинства.
• Стрейт-флаш: Любые пять карт одной масти по порядку.
• Роял-флаш: Десятка, Валет, Дама, Король и Туз одной масти.

Достоинство карт оценивается по порядку:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Валет, Дама, Король, Туз.

Если у двух игроков получились ставки одного порядка, то выигрывает тот, у кого карты старше; к примеру, две восьмерки выигрывают две пятерки (см. пример 1 ниже). Если же достоинства карт у игроков одинаковы, к примеру, у обоих игроков пара Дам, то сравнивают карту наивысшего достоинства (см. пример 4 ниже); если же и эти карты одинаковы, сравнивают следующие две и т.д.

Допустим, два игрока сыграли 5 ставок следующим образом:

Файл poker.txt содержит одну тысячу различных ставок для игры двумя игроками. В каждой строке файла приведены десять карт (отделенные отдельными пробелами): первые пять - карты 1-го игрока, оставшиеся пять - карты 2-го игрока. Можете считать, что все ставки верны (нет неверных символов или повторов карт), ставки каждого игрока не следуют в определенном порядке, и что при каждой ставке есть безусловный победитель.

Сколько ставок выйграет 1-й игрок?

Если взять число 47, перевернуть его и прибавить к исходному, т.е. найти 47 + 74 = 121, получится палиндром.

Не из всех чисел таким образом сразу получается палиндром. К примеру,

349 + 943 = 1292
1292 + 2921 = 4213
4213 + 3124 = 7337

Т.е., понадобилось 3 итерации для того, чтобы превратить число 349 в палиндром.

Хотя никто еще этого не доказал, считается, что из некоторых чисел, таких как 196, невозможно получить палиндром. Такое число, которое не образует палиндром путем переворачивания и сложения с самим собой, называется числом Личрэла. Ввиду теоретической природы таких чисел, а также цели этой задачи, мы будем считать, что число является числом Личрэла до тех пор, пока не будет доказано обратное. Помимо этого дано, что любое число меньше десяти тысяч либо (1) станет палиндромом меньше, чем за 50 итераций, либо (2) никто, с какой бы-то ни было вычислительной мощностью, не смог получить из него палиндром. Между прочим, 10677 является первым числом, для которого необходимо более 50 итераций, чтобы получить палиндром: 4668731596684224866951378664 (53 итерации, 28-значное число).

На удивление, есть такие палиндромы, которые одновременно являются и числами Личрэла; первое такое число - 4994.

Сколько существует чисел Личрэла меньше десяти тысяч?

ПРИМЕЧАНИЕ: Формулировка задачи была немного изменена 24 апреля 2007 года, чтобы подчеркнуть теоретическую природу чисел Личрэла.

Гугол (10¹⁰⁰) - гигантское число: один со ста нулями; 100¹⁰⁰ почти невообразимо велико: одни с двумяста нулями. Несмотря на их размер, сумма цифр каждого числа равна всего лишь 1.

Рассматривая натуральные числа вида a^b, где a, b 100, какова максимальная сумма цифр?

Можно убедиться в том, что квадратный корень из двух можно выразить в виде бесконечно длинной дроби.

2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ... ))) = 1.414213...

Приблизив это выражение для первых четырех итераций, получим:

1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5 = 1.4
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)) = 17/12 = 1.41666...
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) = 41/29 = 1.41379...

Следующие три приближения:99/70, 239/169 и 577/408, а восьмое приближение, 1393/985, является первым примером случая, в котором число цифр числителя превышает число цифр знаменателя.

У скольких дробей длина числителя больше длины знаменателя в первой тысяче приближений выражения?

Начиная с 1, и продвигаясь по спирали в направлении против часовой стрелки, получается квадратная спираль с длиной стороны 7

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Интересно заметить, что нечетные квадраты лежат на правой нижней полу-диагонали. Еще интереснее то, что среди 13 чисел, лежащих на обеих диагоналях 8 из них являются простыми; т.е. отношение составляет 8/13 62%.

Если добавить еще один целый слой вокруг изображенной выше спирали, получится квадратная спираль с длиной стороны 9. Если продолжать данный процесс, какой будет длина стороны квадратной спирали, у которой отношение количества простых чисел к количеству всех чисел на обеих диагоналях упадет ниже 10%?

Каждый символ в компьютере имеет уникальный код, предпочитаемым является стандарт ASCII (American Standard Code for Information Interchange - Американский стандартный код для обмена информацией). Для примера, A верхнего регистра = 65, звездочка (*) = 42, а k нижнего регистра = 107.

Современный метод шифровки состоит в том, что берется текстовый файл, конвертируется в байты по ASCII, а потом над каждым байтом выполняется операция XOR с определенным значением, взятым из секретного ключа. Преимущество функции XOR состоит в том, что применяя тот же ключ к зашифрованному тексту, получается исходный; к примеру, 65 XOR 42 = 107, тогда 107 XOR 42 = 65.

Для невзламываемого шифрования ключ должен быть такой же длины, что и сам текст, и ключ должен быть составлен из случайных байтов. Тогда, если пользователь хранит зашифрованное сообщение и ключ шифрования в разных местах, то без обеих "половинок" расшифровать сообщение просто невозможно.

К сожалению, этот метод непрактичен для большинства пользователей, поэтому упрощенный метод использует в качестве ключа пароль. Если пароль короче текстового сообщения, что наиболее вероятно, то ключ циклично повторяется на протяжении всего сообщения. Идеальный пароль для этого метода достаточно длинный, чтобы быть надежным, но достаточно короткий, чтобы его можно было запомнить.

Ваша задача была упрощена, так как пароль состоит из трех символов нижнего регистра. Используя cipher1.txt (правый клик и 'Save Link/Target As...'), содержащий зашифрованные коды ASCII, а также тот факт, что сообщение должно содержать распространенные английские слова, расшифруйте сообщение и найдите сумму всех значений ASCII в исходном тексте.

Простые числа 3, 7, 109 и 673 достаточно замечательные числа. Если взять любые два из них и объединить их в произвольном порядке, в результате всегда получится простое число. Например, взяв 7 и 109, получатся простые числа 7109 и 1097. Сумма этих четырех простых чисел 792 представляет собой наименьшую сумму множества из четырех простых чисел, обладающих данным свойством.

Найти наименьшую сумму элементов множества из 5 простых чисел, для которых объединение любых двух из них даст новое простое число.

К фигурным (многоугольным) числам относятся треугольные, квадратные, пятиугольные, шестиугольные, семиугольные и восьмиугольные, которые расчитываются по следующим формулам:

Треугольные		P3,n=n(n+1)/2		1, 3, 6, 10, 15, ...
Квадратные		P4,n=n2		1, 4, 9, 16, 25, ...
Пятиугольные		P5,n=n(3n1)/2		1, 5, 12, 22, 35, ...
Шестиугольные		P6,n=n(2n1)		1, 6, 15, 28, 45, ...
Семиугольные		P7,n=n(5n3)/2		1, 7, 18, 34, 55, ...
Восьмиугольные		P8,n=n(3n2)		1, 8, 21, 40, 65, ...

Упорядоченное множество из трех четырехзначных чисел: 8128, 2882, 8281, обладает тремя интересными свойствами

1. Множество является цикличным: последние две цифры каждого числа являются первыми двумя цифрами следующего (включая последнее и первое числа).
2. Каждый тип многоугольника — треугольник (P_3,127=8128), квадрат (P_4,91=8281) и пятиугольник (P_5,44=2882) — представлены различными числами данного множества.
3. Это — единственное множество четырехзначных чисел, обладающее указанными свойствами.

Найдите сумму элементов единственного упорядоченного множества из шести цикличных четырехзначных чисел, в котором каждый тип многоугольников — треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и восьмиугольник — представлены различными числами этого множества.

Можно найти перестановки куба 41063625 (345³), чтобы получить еще два куба: 56623104 (384³) и 66430125 (405³).К слову, 41063625 является наименьшим кубом, для которого ровно три перестановки также являются кубами

Найдите наименьший куб, для которого ровно пять перестановок также являются кубами.

Пятизначное число 16807=7⁵ является также пятой степенью натурального числа. Аналогично, девятизначное число 134217728=8⁹ является девятой степенью.

Сколько существует положительных n-значных целых чисел, являющихся также и n-ыми степенями натурального числа?

Любой квадратный корень является периодическим, если записать его в виде непрерывных дробей в следующей форме:

N = a0 +	1
	a1 +	1
		a2 +	1
			a3 + ...

К примеру, рассмотрим 23:

23 = 4 + 23 — 4 = 4 +	1	= 4 +	1
	1 23—4		1 +	23 – 3 7

Продолжив расписывать, мы получим следующее приближение:

23 = 4 +	1
	1 +	1
		3 +	1
			1 +	1
				8 + ...

Этот процесс можно обобщить в следующем виде:

a0 = 4,		1 23—4	=	23+4 7	= 1 +	23—3 7
a1 = 1,		7 23—3	=	7(23+3) 14	= 3 +	23—3 2
a2 = 3,		2 23—3	=	2(23+3) 14	= 1 +	23—4 7
a3 = 1,		7 23—4	=	7(23+4) 7	= 8 +	23—4
a4 = 8,		1 23—4	=	23+4 7	= 1 +	23—3 7
a5 = 1,		7 23—3	=	7(23+3) 14	= 3 +	23—3 2
a6 = 3,		2 23—3	=	2(23+3) 14	= 1 +	23—4 7
a7 = 1,		7 23—4	=	7(23+4) 7	= 8 +	23—4

Нетрудно увидеть, что последовательность является периодической. Для краткости, введем обозначение 23 = [4;(1,3,1,8)], чтобы показать что блок (1,3,1,8) бесконечно повторяется.

Первые десять представлений непрерывных дробей (иррациональных) квадратных корней:

2=[1;(2)], период=1
3=[1;(1,2)], период=2
5=[2;(4)], период=1
6=[2;(2,4)], период=2
7=[2;(1,1,1,4)], период=4
8=[2;(1,4)], период=2
10=[3;(6)], период=1
11=[3;(3,6)], период=2
12= [3;(2,6)], период=2
13=[3;(1,1,1,1,6)], период=5

Период является нечетным у ровно четырех непрерывных дробей, при N 13.

У скольких непрерывных дробей период является нечетным при N 10000?

Квадратный корень из 2 можно записать в виде бесконечной непрерывной дроби.

2 = 1 +	1
	2 +	1
		2 +	1
			2 +	1
				2 + ...

Бесконечную непрерывную дробь можно записать, воспользовавшись обозначением 2 = [1;(2)], где (2) указывает на то, что 2 повторяется ad infinitum число раз. Подобным образом, 23 = [4;(1,3,1,8)].

Оказывается, что последовательность частичных значений непрерывных дробей предоставляет наилучшую рациональную аппроксимацию квадратного корня. Рассмотрим приближения 2.

1 +	1	= 3/2
	2

1 +	1		= 7/5
	2 +	1
		2

1 +	1			= 17/12
	2 +	1
		2 +	1
			2

1 +	1				= 41/29
	2 +	1
		2 +	1
			2 +	1
				2

Таким образом, последовательность первых десяти приближений для 2 имеет вид:

Наиболее поражает то, что у важной математической константы:
e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...].

Первые десять членов последовательности приближений для e перечислены ниже:

Сумма цифр числителя 10^го приближения равна 1+4+5+7=17.

Найдите сумму цифр числителя 100^го приближения непрерывной дроби e.

Рассмотрим квадратные диофантовые уравнения вида:

x² – Dy² = 1

К примеру, для D=13, минимальное решение x составляет 649² – 13180² = 1.

Можно убедиться в том, что не существует целых положительных решений при квадратах D.

Найдя наименьшие значения решений x при D = {2, 3, 5, 6, 7}, мы получили следующее:

3² – 22² = 1
2² – 31² = 1
9² – 54² = 1
5² – 62² = 1
8² – 73² = 1

Таким образом, рассматривая минимальные решения x при D 7, было получено наибольшее значение x при D=5.

Найти значение D 1000 для минимальных решений x, при котором получено наибольшее значение x.

Начиная с вершины ниже представленного треугольника и продвигаясь к соседним числам на нижнем ряду, было получено максимальное значение при переходе от вершины до основания, равное 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

Т.е., 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Найти максимальное значение при переходе от вершины треугольника до основания, предстваленного текстовым файлом размером 15КБ triangle.txt (щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать 'Save Link/Target As...'), в котором содержится треугольник с одной сотней строк.

ПРИМЕЧАНИЕ: Это намного усложненная версия 18-й проблемы. Данную проблему нельзя решить, испробовав каждый возможный вариант, поскольку всего их 2⁹⁹! Если бы удалось проверять один триллион (10¹²) вариантов в секунду, потребовалось бы двадцать биллионов лет чтобы испробовать их все. Существует эффективный алгоритм решения данной проблемы. ;o)

Рассмотрим следующее "магическое" 3-хугольное кольцо, заполненной числами от 1 до 6, с суммой на каждой линии равной 9.

Проходя по направлению часовой стрелки, начав с группы из трех наименьших внешних узлов (в данном примере: 4,3,2), каждое решение можно описать единственным образом. К примеру, выше указанное решение можно описать множествами: 4,3,2; 6,2,1; 5,1,3.

Существует возможность завершить кольцо с четырьмя различными суммами на линии: 9, 10, 11 и 12. Всего существует восемь решений.

Объединяя каждую группу, можно образовать 9-тизначную строку; ее максимальное значение для 3-хугольного кольца составляет 432621513.

Используя числа от 1 до 10, в зависимости от расположения, можно образовать 16-тизначные и 17-тизначные строки. Каково максимальное значение 16-тизначной строки для "магического" 5-тиугольного кольца?

Функция Эйлера, φ(n) [иногда ее называют фи-функцией] используется для определения количества чисел, меньших n, которые взаимно просты сn. К примеру, т.к. 1, 2, 4, 5, 7 и 8 меньше деваяти и взаимно просты с девятью, φ(9)=6.

Нетрудно заметить, что максимум n/φ(n) наблюдается при n=6, n 10.

Найдите значение n 1,000,000 при котором значение n/φ(n) максимально.

Функция Эйлера, φ(n) [иногда ее называют фи-функцией] используется для определения количества чисел, меньших n, которые взаимно просты с n. К примеру, т.к. 1, 2, 4, 5, 7 и 8 меньше девяти и взаимно просты с девятью, φ(9)=6.
Число 1 считается взаимно простым для любого положительного числа, так что φ(1)=1.

Интересно, что φ(87109)=79180, и, как можно заметить, 87109 является перестановкой 79180.

Найти такое значение n, 1 n 10⁷, при котором φ(n) является перестановкой n, а отношение n/φ(n) является минимальным.

Рассмотрим дробь n/d, где n и d являются положительными целыми числами. Если nd и НОД(n,d)=1, то речь идет о сокращенной правильной дроби.

Если перечислить множество сокращенных правильных дробей для d 8 в порядке возрастания их значений, получим:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Нетрудно заметить, что дробь 2/5 расположена непосредственно слева от дроби 3/7.

Перечислив множество сокращенных правильных дробей для d 1,000,000 в порядке возрастания их значений, найти числитель дроби, расположенной непосредственно слева от дроби 3/7.

Рассмотрим дробь n/d, где n и d являются положительными целыми числами. Если nd и НОД(n,d)=1, то речь идет о сокращенной правильной дроби.

Если перечислить множество сокращенных правильных дробей для d 8 в порядке возрастания их значений, получим:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Нетрудно заметить, что данное множество состоит из 21 элемента.

Из скольки элементов будет состоять множество сокращенных правильных дробей дляd 1,000,000?

Рассмотрим дробь n/d, где n и d являются положительными целыми числами. Если nd и НОД(n,d)=1, то речь идет о сокращенной правильной дроби.

Если перечислить множество сокращенных правильных дробей для d 8 в порядке возрастания их значений, получим:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Нетрудно заметить, между дробями 1/3 и 1/2 расположены 3 другие дроби.

Сколько дробей расположено между 1/3 и 1/2 в упорядоченном множестве сокращенных правильных дробей для d 12,000?

Примечание: Верхний предел был недавно изменен.

Число 145 известно благодаря такму свойству, что сумма факториалов его цифр равна 145:

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

Возможно, менее известно число 169 - оно создает самую длинную цепочку чисел, которая возвращается к 169; оказывается, существует только три таких замкнутых цепи:

169 363601 1454 169
871 45361 871
872 45362 872

Нетрудно доказать, что ЛЮБОЕ начальное число рано или поздно приведет к замыканию цепи. Например,

69 363600 1454 169 363601 ( 1454)
78 45360 871 45361 ( 871)
540 145 ( 145)

Начав с 69, мы получим цепь из пяти неповторяющхися членов, но самая длинная цепь, начинающаяся с числа до одного миллиона, имеет шестьдесят неповторяющихся членов.

Сколько существует цепей, начинающихся с числа до одного миллиона, содержит ровно шестьдесят неповторяющихся членов?

Оказывается, что 12 см - наименьшая длинна проволоки, сгибая которую, можно получить прямоугольный треугольник с целыми сторонами, притом лишь единственным способом. Есть и другие примеры.

12 cm: (3,4,5)
24 cm: (6,8,10)
30 cm: (5,12,13)
36 cm: (9,12,15)
40 cm: (8,15,17)
48 cm: (12,16,20)

В противоположность этим примерам, существуют такие длины проволоки, к примеру 20 см, из которых нельзя получить прямоугольный треугольник с целыми сторонами. Другие же длины, позволяют найти несколько возможных решений; к примеру, сгибая проволоку длинной 120 см, можно получить ровно три различных прямоугольных треугольника с целыми сторонами.

120 cm: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)

Известно, что длинна проволоки составляет L. Для скольких значений L 1,500,000, сгибая проволоку, можно получить ровно один прямоугольный треугольник с целыми сторонами?

Примечание: Эта задача недавно претерпела изменения, убедитесь в том, что Вы используете правильные параметры.

Число 5 можно записать в виде суммы ровно шестью различными способами::

4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

Сколькими различными способами можно записать число 100 в виде суммы по крайней мере двух целых положительных чисел?

Число 10 можно записать в виде суммы простых чисел ровно пятью различными способами:

7 + 3
5 + 5
5 + 3 + 2
3 + 3 + 2 + 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2

Какое наименьшее число можно записать в виде суммы простых чисел по крайней мере пятью тысячами различных способов?

Пусть p(n) представляет собой число различных способов, которыми можно разделить монеты на несколько столбиков. К примеру, пять монет можно разделить на несколько столбиков ровно семью различными способами, таким образом p(5)=7.

Найдите наименьшее значение n для которого p(n) делится на один миллион без остатка.

Для проведения операций с банковскими счетами онлайн распространен метод безопасности, заключающийся в том, что пользователя просят указать три случайные символа его кода доступа. К примеру, если код доступа пользователя 531278, у него могут попросить ввести 2-й, 3-й и 5-й символы; ожидаемым ответом будет: 317.

В текстовом файле keylog.txt содержатся 50 удачных попыток авторизации.

Учитывая, что три символа кода всегда запрашивают в порядке от старшего к младшему, проанализируйте файл с целью определения наиболее короткого секретного кода доступа неизвестной длины.

Как известно, что если квадратный корень натурального числа не является целым числом, то он является иррациональным числом. Разложение таких квадратных корней на десятичные дроби бесконечно и не имеет никакой повторяющейся последовательности.

Квадратный корень из двух равен 1.41421356237309504880..., а сумма его первых ста десятичных цифр равна 475.

Найдите общую сумму первых ста цифр иррациональных квадратных корней для первых ста натуральных чисел.

В представленной ниже матрице 5 на 5, сумма минимального пути при движении из верхнего левого угла в нижний правый (шагами только в следующих направлениях: либо направо, либо вниз) выделена красным жирным шрифтом и равна 2427.

131 673 234 103 18 201 96 342 965 150 630 803 746 422 111 537 699 497 121 956 805 732 524 37 331

Найдите сумму наименьшего пути, взяв матрицу 80 на 80 из текстового файла matrix.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 31KБ, двигаясь шагами (либо направо, либо вниз) от верхнего левого угла в нижний правый.

Примечание: Данная задача является более сложной версией 81-й задачи.

В представленной ниже матрице 5 на 5, сумма минимального пути от любого элемента левого столбца до любого элемента правого столбца, при передвижении шагами вверх, вниз и вправо, выделена красным жирным шрифтом и равна 994.

131 673 234 103 18 201 96 342 965 150 630 803 746 422 111 537 699 497 121 956 805 732 524 37 331

Найдите сумму наименьшего пути, взяв матрицу 80 на 80 из текстового файла matrix.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 31KБ text, двигаясь шагами (вверх, вниз, вправо) от левого столбца к правому стобцу.

Примечание: Данная задача является намного более сложной версией 81-й задачи.

В представленной ниже матрице 5 на 5, сумма минимального пути от верхнего левого угла до нижнего правого угла, при передвижении шагами вверх, вниз, вправо или влево, выделена красным жирным шрифтом и равна 2297.

131 673 234 103 18 201 96 342 965 150 630 803 746 422 111 537 699 497 121 956 805 732 524 37 331

Найдите сумму наименьшего пути, взяв матрицу 80 на 80 из текстового файла matrix.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 31KБ text, передвигаясь шагами в любых направлениях (вверх, вниз, вправо, влево) от верхнего левого угла до нижнего правого.

Стандартная доска игры Монополия выглядит следующим образом:

Игрок начинает на клетке GO и складывает выпавшие на двух шестигранных кубиках числа, чтобы определить количество клеток, которое он должен пройти по часовой стрелке. Пользуясь только этим правилом, вероятность посещения каждой клетки равна 2,5 %. Однако попадание на G2J (Отправляйтесь в тюрьму), CC (Общественный фонд) и CH (Шанс) меняет распределение.

В дополнение к G2J и одной карте в CC и в CH, которые приказывают игроку отправиться в тюрьму, также если игрок выкидывает три дубля подряд, он не двигается в свой третий ход, а отправляется сразу в тюрьму.

В начале игры карты CC и CH перемешиваются. Когда игрок попадает на клетку CC или CH, он берет верхнюю карту с соответствующей колоды и, после выполнения указанных на ней инструкций, возвращает ее в низ колоды. В каждой колоде 16 карт, однако для решения этой задачи важны только карты, связанные с перемещением игрока. Любые другие инструкции игнорируются и игрок остается на той же клетке.

• Общественный фонд (2/16 карт):
  1. Пройдите к GO
  2. Идите в JAIL
• Шанс (10/16 карт):
  1. Пройдите к GO
  2. Идите в JAIL
  3. Идите на C1
  4. Идите на E3
  5. Идите на H2
  6. Идите на R1
  7. Пройдите к следующей R (железнодорожная станция)
  8. Пройдите к следующей R
  9. Пройдите к следующей U (коммунальное предприятие)
  10. Вернитесь назад на 3 клетки

Суть этой задачи заключается в вероятности посещения одной конкретной летки. То есть, вероятность оказаться на этой клетки по завершению хода. Поэтому ясно, что, за исключением G2J, чья вероятность посещения равна нулю, клетка CH будет иметь наименьшую вероятность посещения, потому что в 5/8 случаев игроку придется переместиться на другую клетку, а нас интересует именно клетка, на которой завершится ход игрока. Мы также не будем разделять попадание в тюрьму как посетитель или как заключенный, также не берем во внимание правило, что выкинув дубль, игрок выходит из тюрьмы - предположим, что игроки платят за выход из тюрьмы на следующий же ход после попадания в нее.

Начиная с GO и последовательно нумеруя клетки от 00 до 39, мы можем соединить эти двузначные числа, чтобы получить соответствующую определенному множеству клеток строку.

Статистически можно доказать, что три наиболее популярных клетки будут JAIL (6,24%) = Клетка 10, E3 (3,18%) = Клетка 24, и GO (3,09%) = Клетка 00. Итак, их можно перечислить как строку из шести цифр: 102400.

Найдите такую шестизначную строку, если игроки будут использовать вместо двух шестигранных кубиков два четырехгранных.

Внимательно сосчитав, можно понять, что в прямоугольной сетке 3 на 2 содержится восемнадцать прямоугольников:

Несмотря на то, что не существует такой прямоугольной сетки, которая содержит ровно два миллиона прямоугольников, найдите площадь сетки с ближайшим количеством прямоугольников.

Паук S сидит в одном углу комнаты в форме прямоугольного параллелепипеда, размерами 6 на 5 на 3, а муха F сидит в противоположном углу. Путешествуя по поверхностям комнаты, кратчайший путь "по прямой" от S до F имеет длину 10 и показан на рисунке ниже.

Однако в любом данном прямоугольном параллелепипеде существует до трех кандидатов на "кратчайший" путь, и кратчайший путь не всегда имеет целую длину.

Рассматривая все комнаты в форме прямоугольного параллелепипеда с максимальными размерами M на M на M, существует ровно 2060 прямоугольных параллелепипедов, для которых кратчайшее расстояние - целое число при M = 100, и это - наименьшее значение M, при котором количество решений превышает две тысячи; при M = 99 количество решений равно 1975.

Найдите наименьшее значение M, при котором количество решений превышает один миллион.

Наименьшее число, которое одновременно можно представить в виде суммы квадратов простых чисел, кубов простых чисел и четвертых степеней простых чисел, равно 28. Между прочим, существует ровно 4 таких числа, меньших пятидесяти, которые можно представить в виде суммы указанным способом:

28 = 2² + 2³ + 2⁴
33 = 3² + 2³ + 2⁴
49 = 5² + 2³ + 2⁴
47 = 2² + 3³ + 2⁴

Сколько чисел до пятидесяти миллионов можно представить в виде суммы простых квадратов, простых кубов и четвертых степеней простых чисел?

Каждое натуральное число N, которое можно записать как в виде суммы, так и в виде произведения по крайней мере двух натуральных чисел {a₁, a₂, ... , a_k}, называется числом произведения-суммы: N = a₁ + a₂ + ... + a_k = a₁ a₂ ... a_k.

К примеру, 6 = 1 + 2 + 3 = 1 2 3.

Для заданного множества размером k, мы будем называть наименьшее число N, обладающее данным свойством наименьшим числом произведения-суммы. Наименьшие числа произведения-суммы, принадлежащие множествам размеров k = 2, 3, 4, 5 и 6, являются следующие числа.

k=2: 4 = 2 2 = 2 + 2
k=3: 6 = 1 2 3 = 1 + 2 + 3
k=4: 8 = 1 1 2 4 = 1 + 1 + 2 + 4
k=5: 8 = 1 1 2 2 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
k=6: 12 = 1 1 1 1 2 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6

Отсюда следует, что сумма всех минимальных чисел произведения-суммы при 2k6 равна 4+6+8+12 = 30; обратите внимание на то, что число 8 учитывалось в сумме лишь один раз.

Т.к. множеством минимальных чисел произведения-суммы при 2k12 является {4, 6, 8, 12, 15, 16}, то их сумма равна 61.

Какова сумма всех минимальных чисел произведения-суммы при 2k12000?

Правило записи римских цифр позволяют записывать одно и то же число несколькими способами (см. FAQ: Римские числа). Однако, всегда существует "наилучший" способ записи определенного числа.

К примеру, ниже представлены все разрешенные способы записи числа шестнадцать:

IIIIIIIIIIIIIIII
VIIIIIIIIIII
VVIIIIII
XIIIIII
VVVI
XVI

Последнее из них считается наиболее эффективным, поскольку использует наименьшее число элементов римских чисел.

В текстовом файле roman.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 11KБ записана тысяча чисел правильными, но не обязательно наименьшими римскими цифрами; т.е. они отсортированы в порядке убывания и подчиняются правилу вычитания пар (для информации по поводу определений правил данной проблемы, см. FAQ).

Найдите число символов, сэкономленных путем перезаписи каждого числа в его наиболее короткий вид.

Примечание: Можете считать, что все римские числа файла содержат не более четырех последовательных одинаковых единиц.

На каждую грань кубика нанесена своя цифра (от 0 до 9); на втором кубике также нанесены цифры. Располагая два кубика рядом на разные грани, можно получить различны 2-значные числа.

К примеру, можно получить число-квадрат 64:

Между прочим, внимательно выбирая цифры обоих кубиков, можно получить все возможные квадраты меньшие сотни: 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64 и 81.

К примеру, один из способов достижения такой цели - нанести цифры {0, 5, 6, 7, 8, 9} на грани одного кубика, а на грани второго - цифры {1, 2, 3, 4, 8, 9}.

Однако, в данной задаче мы разрешаем переворачивать 6 и 9, таким образом нанеся на грани одного кубика цифры {0, 5, 6, 7, 8, 9}, а на грани другого - {1, 2, 3, 4, 6, 7}, можно получить все девять квадратов; в противном случае, не получится получить 09.

Определяя отдельные порядки нанесения цифр на кубики, нас интересуют только цифры каждого из них, а не их порядок следования.

{1, 2, 3, 4, 5, 6} равносильно {3, 6, 4, 1, 2, 5}
{1, 2, 3, 4, 5, 6} отличается от {1, 2, 3, 4, 5, 9}

Однако, т.к. мы разрешили переворачивать 6 и 9, два различных множества предыдущего примера представляют расширенное множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} для получения 2-значных чисел.

Сколько различных порядков нанесения цифр на кубики дают возможность получения всех квадратов?

Точки P (x₁, y₁) и Q (x₂, y₂) нанесены на координатную плоскость и соединены с ее началом координат O(0,0), образуя треугольник ΔOPQ.

Существует ровно четырнадцать треугольников с прямым углом, которые можно получить для координат в пределах от 0 до 2, включительно; т.е.,
0 x₁, y₁, x₂, y₂ 2.

Известно, что 0 x₁, y₁, x₂, y₂ 50. Сколько прямоугольных треугольников можно построить?

Последовательность чисел получается путем непрерывного получения новых чисел сложением квадратов цифр предыдущего, до тех пор, пока не получится уже встречавшееся ранее число.

К примеру,

44 32 13 10 1 1
85 89 145 42 20 4 16 37 58 89

Таким образом, любая последовательность, приводящая к получению 1 или 89 замкнется в бесконечный цикл. Наиболее удивительным является то, что ЛЮБОЕ начальное число рано или поздно даст 1 или 89.

Сколько начальных чисел меньших десяти миллионов приведут к получению 89?

Используя каждую из цифр множества {1, 2, 3, 4} только один раз, с помощью четырех арифметических действий (+, , *, /) и скобок можно получить различные положительные целые искомые числа.

К примеру,

8 = (4 * (1 + 3)) / 2
14 = 4 * (3 + 1 / 2)
19 = 4 * (2 + 3) 1
36 = 3 * 4 * (2 + 1)

Обратите внимание, что объединять цифры, например 12 + 34, не разрешается.

Используя множество {1, 2, 3, 4}, можно получить тридцать одно отличное число, среди которых максимальным является 36. Помимо этого, до обнаружения первого числа, которое нельзя выразить данным способом, были получины числа от 1 до 28.

Найти множество четырех отличных цифр a b < c d, для которых можно получить максимально длинную последовательность следующих друг за другом чисел от 1 до n. Ответ дайте объеденив числа в строку: abcd.

Легко доказать, что существуют неравносторонние треугольники с целыми сторонами и площадью. Однако, площадь почти равностороннего треугольника со сторонами 5-5-6 равна 12 квадратным единицам.

Определим почти равносторонний треугольник как равнобедренный треугольник, у которого основание отличается от боковой стороны не более чем на одну единицу.

Найдем сумму периметров всех почти равносторонних треугольников с целыми боковыми сторонами и площадью, периметр каждого из которых не превышает один миллиард (1,000,000,000).

Собственными делителями числа являются все его делители, за исключением самого числа. К примеру, собственными делителями числа 28 являются 1, 2, 4, 7 и 14. Т.к. сумма этих делителей равна 28, будем называть такое число идеальным.

Интересно, что сумма всех собственных делителей числа 220 равна 284, а сумма всех собственных делителей числа 284 равна 220.Interestingly the sum of the proper divisors of 220 is 284 and the sum of the proper divisors of 284 is 220, образуя последовательность двух чисел. forming a chain of two numbers. По этой причине, числа 220 и 284 называют парой дружественных чисел.

Менее известны последовательности большей длины. К примеру, начиная числом 12496, образуем последовательность 5 чисел:

12496 14288 15472 14536 14264 ( 12496 ...)

Т.к. эта последовательность оканчивается тем же числом, которым она начиналась, ее называют последовательностью дружественных чисел.

Найти наименьший член самой длинной последовательности дружественных чисел, у которой значение ни одного элемента не превышает один миллион.

Су Доку (по-японски значит место числа) - название популярной головоломки. Ее происхождление неизвестно, однако нужно отдать должное Леонарду Эйлеру, который придумал идею похожей, но более сложной головоломки под названием Латинские Квадраты. Целью Су Доку является заменить пустые места (или нули) в сетке 9 x 9 цифрами таким образом, чтобы в каждой строке, колонке и квадрате 3 x 3 содержались все цифры от 1 до 9. Ниже приведен пример типичной исходной головоломки и ее решение.

0 0 3 9 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 5 8 0 6 6 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 8 7 0 0 0 0 6 1 0 2 0 0 0 7 0 8 9 0 0 0 0 8 2 0 0 0 0 2 8 0 0 0 0 5 6 0 9 2 0 3 0 1 0 5 0 0 0 0 9 3 0 0

4 8 3 9 6 7 2 5 1 9 2 1 3 4 5 8 7 6 6 5 7 8 2 1 4 9 3 5 4 8 7 2 9 1 3 6 1 3 2 5 6 4 7 9 8 9 7 6 1 3 8 2 4 5 3 7 2 8 1 4 6 9 5 6 8 9 2 5 3 4 1 7 5 1 4 7 6 9 3 8 2

Правильно составленная головоломка Су Доку имеет единственное решение и может быть решена с помощью логики, однако иногда необходимо применять метод "гадай и проверяй", чтобы исключить неверные варианты (существует очень спорное мнение по этому поводу). Сложность поиска определяет уровень головоломки; приведенный выше пример считается легким, так как его можно решить прямой дедукцией.

6К текстовый файл, sudoku.txt (правый клик и Save Link/Target As...), содержит пятьдесят разных головоломок Су Доку различной сложности, но каждая имеет единственное решение (первая головоломка в файле рассмотрена выше).

Решив все пятьдесят головоломок, надйите сумму трехзначных чисел, находящихся в верхнем левом углу каждого решения; для примера, 483 является трехзначным числом, находящимся в верхнем левом углу приведенного выше решения.

Первое из известных простых чисел, длина которого превышает миллион цифр, было открыто в 1999 году. Это - простое число Мерсенна, имеющее вид 2^69725931; оно состоит ровно из 2,098,960 цифр. Позже были найдены другие простые числа Мерсенна, имеющие вид 2^p1, длина которых еще больше.

Однако, в 2004 году было найдено огромное простое число, не являющееся числом Мессена, которое состоит из 2,357,207 цифр: 284332^7830457+1.

Найдите последние десять цифр этого простого числа.

Заменяя каждую из букв слова "CARE" цифрами 1, 2, 9 и 6, соответственно, получим квадратное число: 1296 = 36². Примечательно и то, что после осуществления такой подстановки в слове "RACE", также было получено квадратное число: 9216 = 96². Слова "CARE" и "RACE" впредь будем называть анаграммой-квадратом пары слов, помимо этого, установим, что нули не могут быть в начале, а также ни одной букве нельзя присвоить цифру, уже присвоенную другой букве.

В текстовом файле words.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 16KБ, содержится около двух тысяч английских слов на общую тему. Найдите все анаграммы-квадраты пар слов (слово-палиндром не считается своей же анаграммой).

Каким будет наибольшее квадратное число, полученное из любого слова такой пары?

Примечание: Все анаграммы должны содержаться в указанном текстовом файле.

Сравнить два числа, записанных в виде степени, как, например, 2¹¹ и 3⁷, не так уж трудно, поскольку любой калькулятор подтвердит, что 2¹¹ = 2048 3⁷ = 2187.

Однако, гораздо сложнее подтвердить, что 632382⁵¹⁸⁰⁶¹ 519432⁵²⁵⁸⁰⁶, поскольку каждое из чисел состоит из более чем трех миллионов цифр.

Текстовый файл base_exp.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 22КБ, содержит тысячу строк с парами основание/показатель степени на каждой строке. Определите, номер строки, на которой записано самое большое по своему значению число.

Примечание: Первые две строки файла - числа из примера, приведенного выше.

Пусть в коробке лежит двадцать один диск, среди которых пятнадцать окрашены в синий цвет и шесть остальных - в красный. Из коробки случайным образом взяли два диска. Нетрудно показать, что вероятности достать два синих диска равна P(BB) = (15/21)(14/20) = 1/2.

Другим вариантом той же выборки, для которой шанс случайным образом достать 2 синих диска равен 50%, коробка с восьмидесяти пятью синими дисками и тридцати пятью красными.

Если бы в первом варианте выборки общее число дисков превышало бы 10¹² = 1,000,000,000,000, то сколько синих дисков находилось бы в коробке?

Если нам известны первые k членов некоторой последовательности, то это еще не значит, что мы сможем с уверенностью определить значение следующего члена, поскольку существует бесконечное множество полиномиальных функций, которыми можно описать такую последовательность.

К примеру, рассмотрим последовательность чисел-кубов. Такую последовательность можно определить образующей функцией:
u_n = n³: 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...

Предположим, что нам известны только два первых члена такой последовательности. Руководствуясь принципом "чем проще, тем лучше", мы предполагаем линейную зависимость и предсказываем следующее значение равным 15 (общая разность равна 7). Даже если нам известны первые три члена последовательности, согласно тому же принципу простоты, следует предположить квадратичную зависимость.

Определим OP(k, n) как n^ный член оптимальной полиномиальной образующей функции для первых k членов последовательности. Очевидно, что OP(k, n) даст точные значения членов последовательности при n k, а первым неверным членом (FIT - First Incorrect Term) будет OP(k, k+1), который в дальнейшем мы будем называть плохим OP (BOP - Bad OP).

В частности, если бы нам был известен только первый член последовательности, наиболее разумным было бы предположить постоянство; т.е. при n 2, OP(1, n) = u₁.

Таким образом, получим следующие значения OP(k, n) для последовательности кубов:

OP(1, n) = 1	1, 1, 1, 1, ...
OP(2, n) = 7n6	1, 8, 15, ...
OP(3, n) = 6n211n+6	1, 8, 27, 58, ...
OP(4, n) = n3	1, 8, 27, 64, 125, ...

Понятно, что при k 4 не существует ни одной BOP- последовательности.

Рассмотрим сумму значений FIT, которые образованы BOP-последовательностями (отмечены выше red above). Получим: 1 + 15 + 58 = 74.

Дана следующая полиномиальная образующая функция 10-й степени:

u_n = 1 n + n² n³ + n⁴ n⁵ + n⁶ n⁷ + n⁸ n⁹ + n¹⁰

Найдите сумму значений FIT, образованные BOP-последовательностями.

На декартову координатную плоскость случайным образом нанесены три точки, у которых -1000 x, y 1000. В итоге, получим треугольник.

Рассмотрим следующие два треугольника:

A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)

Нетрудно убедиться в том, что треугольнику ABC принадлежит точка начала координат, а треугольнику XYZ - нет.

Найдите число таких треугольников из перечисленных в текстовом файле triangles.txt (right click and щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 27KБ тысячи "случайных" треугольников, внутри которых расположена точка начала координат.

Примечание: первые две строки данного файла представляют собой координаты точек для рассмотренных выше двух треугольников.

Пусть S(A) представляет собой сумму элементов множества А размером n. Будем называть его специальным множеством суммы, если для любых двух непустых и непересекающихся подмножеств B и C справедливо следующее:

1. S(B) S(C); т.е. суммы элементов подмножеств не могут быть равными.
2. Если в B больше элементов, чем в C, то S(B) S(C).

Если минимизировать сумму S(A) при заданном значении n, получим оптимальное специальное множество -сумму. Ниже даны первые пять оптимальные специальные подмножества-суммы.

n = 1: {1}
n = 2: {1, 2}
n = 3: {2, 3, 4}
n = 4: {3, 5, 6, 7}
n = 5: {6, 9, 11, 12, 13}

Похоже на то, что для заданного оптимального множества A = {a₁, a₂, ... , a_n}, следующим оптимальным множеством будет множество вида B = {b, a₁+b, a₂+b, ... ,a_n+b}, где b - "средний" элемент предыдущей строки.

Применяя данное "правило", можно было бы ожидать, что оптимальным множеством при n = 6 станет A = {11, 17, 20, 22, 23, 24}, у которого S(A) = 117. Однако, данное множество не является оптимальным, поскольку мы всего-лишь применили алгоритм нахождения близкого к оптимальному множества. Оптимальным множеством при for n = 6 будет A = {11, 18, 19, 20, 22, 25}, у которого S(A) = 115, а соответствующая ему последовательность: 111819202225.

Дано, что A является оптимальным специальным множеством-суммой при n = 7. Найдите для данного множества последовательность.

Примечание: Данная задача имеет также отношение к задачам №105 и №106.

Последовательность Фибоначчи определяется следующим рекуррентным выражением:

F_n = F_n1 + F_n2, where F₁ = 1 and F₂ = 1.

Оказывается, что число F₅₄₁, состоящее из 113 цифр, является первым числом Фибоначчи, у которого последние девять цифр образуют пан-цифровое число с цифрами от 1 до 9 (оно содержит все цифры от 1 до 9, но не обязательно в порядке возрастания). А число F₂₇₄₉, состоящее из 575 цифр, является первым числом Фибоначчи, у которго первые девять цифр образуют пан -цифровое число с цифрами от 1 до 9.

Известно, что число F_k является первым числом Фибоначчи, у которого пан-цифровыми числами являются как первые девять цифр, так и последние. Найдите k.

Пусть S(A) представляет собой сумму элементов множества А размером n. Будем называть его специальным множеством суммы, если для любых двух непустых и непересекающихся подмножеств B и C справедливо следующее:

1. S(B) S(C); т.е. суммы элементов подмножеств не могут быть равными.
2. Если в B больше элементов, чем в C, то S(B) S(C).

К примеру, {81, 88, 75, 42, 87, 84, 86, 65} не является специальным множеством-суммой, поскольку 65 + 87 + 88 = 75 + 81 + 84, в то время как {157, 150, 164, 119, 79, 159, 161, 139, 158} удовлетворяет обоим правилам для всех возможных комбинаций пар подмножеств, S(A) = 1286.

В текстовом файле sets.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 4KБ записана одна сотня множеств, содержащих от семи до двенадцати элементов (два примера, рассмотренные выше, являются первыми двумя множествами в файле). Обнаружьте все специальные множества-суммы A₁, A₂, ..., A_k и найдите значение S(A₁) + S(A₂) + ... + S(A_k).

Примечание: Данная задача имеет также отношение к задачам №103 и №106.

Пусть S(A) представляет собой сумму элементов множества А размером n. Будем называть его специальным множеством суммы, если для любых двух непустых и непересекающихся подмножеств B и C справедливо следующее:

1. S(B) S(C); т.е. суммы элементов подмножеств не могут быть равными.
2. Если в B больше элементов, чем в C, то S(B) S(C).

Для этой задачи предположим, что данное множество состоит из n строго возрастающих элементов и оно уже соответствует второму правилу.

К удивлению, из 25 возможных пар подмножеств, которые можно получить из множества при n = 4, лишь одну из них надо проверить на равенство (первое условие). Подобным образом, при n = 7, лишь 70 из 966 пар подмножеств надо проверять на равенство.

Сколько пар подмножеств необходимо проверить на равенство из общего числа 261625 пар, которые можно образовать при n = 12?

Примечание: Данная задача имеет также отношение к задачам №103 и №105.

Представленная ниже ненаправленная сеть состоит из семи узлов и двенадцати линий, общий вес которых равен 243.

Ту же сеть можно представить в виде матрицы, как это сделано ниже.

Однако, данную сеть можно оптимизировать, выкинув из нее несколько линий таким образом, чтобы все узлы сети оставались соединенными друг с другом. Наиболее экономичный вариант такой сети показан ниже. Общий вес ее граней равен 93, что на 243 93 = 150 меньше, чем у исходной сети.

В текстовом файле network.txt (щелкнув правой кнопкой мыши, выберите 'Save Link/Target As...') размером 6KБ, в виде матрицы задана сеть, у которой сорок узлов. Найдите наибольший выйгрыш, который можно достигнуть удаляя избыточные линии так, чтобы в это же время все узлы оставались соединенными между собой.

В представленном ниже равенстве, x, y и n являются целыми положительными числами.

1 x

+

1 y

=

1 n

При n = 4 существуют ровно три отличных решения:

1 5	+	1 20	=	1 4
1 6	+	1 12	=	1 4
1 8	+	1 8	=	1 4

Каково наименьшее значение n, при котором число отличных друг от друга решений превышает одну тысячу?

Примечание: Данная задача является более простым вариантом 110 -й задачи; настоятельно рекомендуем Вам решить эту задачу, перед тем как браться к ней.

Играя в "Дартс", игрок бросает три дротика в мишень, разделенную на двадцать секций одинакового размера, которые пронумерованы от одного до двадцати.

Очки за попадание дротика определяются номером секции, в которую он попал. Дротик, попавший за пределы зеленого/красного внешнего кольца получает ноль очков. Области черного и сливочного цветов, заключенные внутри этого кольца начисляют очки этого сектора. В свою очередь, попадание в зеленое/красное внешнее или среднее кольцо начисляет двойные и тройные очки, соответственно.

В центре мишени расположены два концентрических круга, которые называют "яблочком". За попадание во внешний круг "яблочка" начисляют 25 очков, а за попадание во внутренний - в два раза больше, т.е. 50 очков.

Существует много различных вариантов правил игры, но наиболее популярной является игра, при которой игроки начинают со счета 301 или 501, и кто первый уменьшит свои общие очки до нуля, тот и победил. Однако, часто принято играть по системе "броском в удвоение ", согласно которой игрок должен бросить последний дротик в удвоенную зону (в том чилсе и "яблочко" в центре мишени); любой другой дротик, уменьшивший значение очков до единицы или меньше приведет к тому, что очки за подход из трех дротиков "прогорают".

Когда игрок может закончить игру со своего текущего счета, это называется "списыванием" и наибольшее списывание составляет 170: T20 T20 D25 (две тройные 20-ки и удвоенное "яблочко").

Существует ровно одинадцать друг от друга отличных способов списаться с 6 очков:

D3
D1	D2
S2	D2
D2	D1
S4	D1
S1	S1	D2
S1	T1	D1
S1	S3	D1
D1	D1	D1
D1	S2	D1
S2	S2	D1

Обратите внимание на то, что D1 D2 отличается от D2 D1, т.к. оканчиваются разными удвоенными значениями. В свою очередь, S1 T1 D1 не отличается от T1 S1 D1.

Помимо этого, рассматривая комбинации, мы не будем учитывать промахи; к примеру, D3 совпадает с 0 D3 и 0 0 D3.

Невероятно, но всего существует 42336 друг от друга отличных способов списаться.

Сколькими отличными друг от друга способами игрок может списаться с менее чем 100 очков?

В представленном ниже равенстве, x, y и n являются целыми положительными числами.

1 x

+

1 y

=

1 n

При n = 4 существуют ровно три отличных решения:

1 5	+	1 20	=	1 4
1 6	+	1 12	=	1 4
1 8	+	1 8	=	1 4

Нетрудно убедиться в том, что при n = 1260 существует 113 друг от друга отличных решений и это значение n является наименьшим, при котором общее число решений превышает одну сотню.

Чему равно наименьшее значение n, при котором число отличных друг от друга решений превышает четыре миллиона?

Примечание: Данная задача намного сложнее 108-й задачи, и, поскольку для прямого подбора требуются куда большие вычислительные возможности, чем существуют на сегодняшний день, необходима грамотная реализация.

Рассматривая 4-ехзначные простые числа с повторяющимися цифрами, становится очевидным что все цифры не могут быть одинаковыми: 1111 делится без остатка на 11, 2222 без остатка на 22, и так далее. но существует девять 4-ехзначных чисел, которые имеют 3 единицы:

1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111

Будем считать, что M(n, d) указывает на максимальное количество повторений цифры в n-значном простом числе, где d - повторяющаяся цифра, N(n, d) указывает на количество таких простых чисел, а S(n, d) равно сумме всех таких простых чисел.

Таким образом, M(4, 1) = 3 является максимальным числом повторения цифр 4-ехзначного простого числа, сама повторяющаяся цифра является единицей, и существует N(4, 1) = 9 таких простых чисел, сумма которых равна S(4, 1) = 22275. Оказывается, что для цифры d = 0, можно получить повторение этой цифры всего два раза, однако количество таких простых чисел равно N(4, 0) = 13

Аналогичным способом, получим следующие результаты для 4-ехзначных простых чисел.

При значениях d от 0 до 9, сумма всех S(4, d) равна 273700.

Найти сумму всех S(10, d).

Если, читая число слева направо, ни одна цифра не превышает цифру справа от нее, то такое число называется возрастающим; например, 134468.

Таким же образом, если ни одна цифра не превышает цифру слева от нее, число называется убывающим; например, 66420.

Назовем положительное целое число, не являющееся ни убывающим, ни возрастающим, "прыгучим" числом; например, 155349.

Очевидно, не существует прыгучих чисел меньше ста, однако больше половины чисел до одной тысячи (525) являются прыгучими. Вообще, первое число, пропорция прыгучих чисел до которого достигает 50% - это 538.

Удивительно, но далее прыгучие числа становятся все более и более распространенными, и когда мы достигнем 21780, пропорция прыгучих чисел будет равна 90%.

Найдите наименьшее число, пропорция прыгучих чисел до которого составляет ровно 99%.

Если, читая число слева направо, ни одна цифра не превышает цифру справа от нее, то такое число называется возрастающим; например, 134468.

Таким же образом, если ни одна цифра не превышает цифру слева от нее, число называется убывающим; например, 66420.

Назовем положительное целое число, не являющеся ни убывающим, ни возрастающим, "прыгучим" числом; например, 155349.

При увеличении n увеличивается пропорция прыгучих чисел меньше этого числа. Таким образом, существует только 12951 непрыгучее число до миллиона, и только 277032 непрыгучих числа до 10¹⁰.

Сколько чисел меньше гугола (10¹⁰⁰) не являются "прыгучими"

В ряд в семь единиц длиной помещены красные блоки длиной как минимум три единицы так, что любые два красных блока (которые могут быть и разной длины) разделены между собой хотя бы одним черным квадратом. Существует ровно семнадцать способов этого достичь.

Сколькими способами может быть заполнен ряд длиной в пятьдесят единиц?

ПРИМЕЧАНИЕ: Несмотря на то, что в примере выше это невозможно проиллюстрировать, в общем случае разрешено использовать блоки разной длины. Например, ряд длиной в восемь единиц может быть заполнен так: красный (3), черный (1), красный (4).

В ряд длиной в семь единиц помещены красные блоки длиной в по крайней мере три единицы так, что любые два красных блока (длины которых могут и отличаться) разделены между собой хотя бы одним черным квадратом.

Пусть функция числа заполнений F(m, n) указывает количество способов, которыми можно заполнить ряд.

К примеру, F(3, 29) = 673135 и F(3, 30) = 1089155.

Это значит, что при заданном значении m = 3, значение n = 30 является наименьшим, при котором значение функции числа заполнений превышает один миллион.

Аналогичным образом, при заданном значении m = 10, можно убедиться в том, что F(10, 56) = 880711 и F(10, 57) = 1148904, так что n = 57 является наименьшим значением, при котором значение функции числа заполнений превышает один миллион.

Дано, что m = 50. Найдите наименьшее значение n, при котором значение функции числа заполнений превысит один миллион.

В ряду черных квадратных плиток заменяют часть плиток цветными продолговатыми плитками, выбирая из красных (длиной двум), зеленых (длиной три) и синих (длиной четыре).

Если выбрать красные плитки, то замену можно осуществить ровно семью способами

Если выбрать зеленую плитку - таких способов только три.

И, наконец, если выбрать синюю плитку, то способов всего два.

Учитывая, что плитки нельзя смешивать, заменить черную плитку ряда длиной пять единиц можно 7 + 3 + 2 = 12 способами.

Сколькими способами можно заменить черную плитку из ряда длиной пятьдесят единиц на цветную, если плитки разных цветов нельзя смешивать и необходимо установить по крайней мере одну цветную плитку?

Примечание: Эта задача похожа на 117-ю задачу.

Комбинируя черные квадратные плитки с продолговатыми разноцветными: красными длиной две единицы, зелеными длиной три единицы и синими плитками длиной четыре единицы, можно покрыть ряд длиной в пять единиц ровно пятнадцатью различными способами.

Сколькими способами можно покрыть плиткой ряд длиной в пятьдесят единиц?

Примечание: Эта задача похожа на 116-ю задачу.

Используя цифры от 1 до 9 и объединяя их в произвольном порядке для получения десятичных целых чисел, можно образовать различные множества. Интересен случай множества {2,5,47,89,631}, в котором все элементы являются простыми числами.

Сколько можно образовать различных множеств, состоящих только из простых элементов и в которых каждая цифра встречается только один раз?

Интересно число 512, поскольку оно является суммой своих цифр, возведенной в некоторую степень: 5 + 1 + 2 = 8, и 8³ = 512. Другой пример числа с такими свойствами 614656 = 28⁴.

Определим a_n как n-й член этой последовательности и подчеркнем, что число должно состоять хотя бы из двух цифр, чтобы образовать сумму.

Дано, что a₂ = 512 и a₁₀ = 614656.

Найти a₃₀.

Пусть r – остаток от деления (a1)ⁿ + (a+1)ⁿ на a².

К примеру, если a = 7 и n = 3, то r = 42: 6³ + 8³ = 728 42 mod 49. При изменении n, будет изменяться и r, однако для a = 7 оказывается, что r_max = 42.

Найти r_max для 3 a 1000, .

В сумке лежит один красный диск и один синий диск. При игре в рулетку, играющий случайным образом достает один диск, цвет учитывается в дальнейшем. После каждого вращения рулетки, диск возвращается в сумку и добавляется дополнительный красный диск. После этого, процесс повторяется – играющий случайным образом достает новый диск.

Играющий платит £1 за игру, и выигрывает, если к концу игры достает больше синих дисков, чем красных.

Если игра состоит из 4 вращений рулетки, вероятность выигрыша для играющего составляет 11/120, поэтому фонд максимального выигрыша в данном случае должен составлять £10 во избежание убытка. Отметим, что любая выплата производится целым числом фунтов стерлингов, а также включает в себя стоимость игры в размере £1, так что, в данном примере, играющий получит приз в размере £9.

Найти, какой фонд максимального выигрыша необходимо обеспечить для одной игры с 15 вращениями рулетки.

Наиболее простой способ нахождения n¹⁵ требует выполнения 14 умножений:

n n ... n = n¹⁵

Если воспользоваться "двойным" методом, n¹⁵ можно найти, выполнив 6 умножений:

n n = n²
n² n² = n⁴
n⁴ n⁴ = n⁸
n⁸ n⁴ = n¹²
n¹² n² = n¹⁴
n¹⁴ n = n¹⁵

Однако, количество умножений можно еще уменьшить – до 5 умножений:

n n = n²
n² n = n³
n³ n³ = n⁶
n⁶ n⁶ = n¹²
n¹² n³ = n¹⁵

Определим m(k) как минимальное количество умножений для нахождения n^k; к примеру m(15) = 5.

Найти m(k) для 1 k 200.

Пусть p_n – n-й член последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, ..., а r – остаток от деления (p_n1)ⁿ + (p_n+1)ⁿ на p_n².

К примеру, при n = 3, p₃ = 5, и 4³ + 6³ = 280 5 mod 25.

Наименьшее значение n, при котором остаток превышает величину 10⁹, составляет 7037.

Найти наименьшее значение n, при котором остаток превышает величину 10¹⁰.

Радикалом числа n, rad(n), является произведение уникальных простых множителей числа n. К примеру, 504 = 2³ 3² 7, таким образом, rad(504) = 2 3 7 = 42.

Если подсчитать rad(n) для 1 n 10 и упорядочить их по rad(n), а затем и по n для одинаковых значений радикалов, получим

Неупорядоченная функция			Упорядоченная функция
n	rad(n)		n	rad(n)	k
1	1		1	1	1
2	2		2	2	2
3	3		4	2	3
4	2		8	2	4
5	5		3	3	5
6	6		9	3	6
7	7		5	5	7
8	2		6	6	8
9	3		7	7	9
10	10		10	10	10

Пусть E(k) – k-й элемент в упорядоченной колонне n; к примеру, E(4) = 8, а E(6) = 9.

Найти E(10000), если функция rad(n) упорядочена для 1 n 100000.

Палиндромическое число 595 интересно тем, что его можно записать в виде суммы последовательных квадратов: 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12².

Существует ровно одиннадцать палиндромов меньше тысячи, которые можно записать в виде суммы последовательных квадратов. Сумма этих одиннадцати палиндромов равна 4164. Заметим, что 1 = 0² + 1² не входит в их число, поскольку в данной проблеме рассматриваются квадраты положительных целых чисел.

Найти сумму всех чисел, меньших 10⁸, которые являются палиндромическими и одновременно могут быть записаны в виде суммы последовательных квадратов.

Минимальное количество кубов, необходимое для покрытия всех видимых граней прямоугольного параллелепипеда размерами 3 x 2 x 1, составляет двадцать два.

Если мы добавим второй слой кубов на полученное тело, то потребуется еще сорок шесть кубов для покрытия каждой видимой грани. Для третьего слоя понадобится еще семьдесят восемь кубов, а для четвертого – сто восемнадцать кубов, покрывающих каждую грань тела.

Однако, для покрытия граней прямоугольного параллелепипеда размерами 5 x 1 x 1 первым слоем, требуются те же двадцать два куба; похожим образом, для первого слоя каждого из прямоугольных параллелепипедов размерами 5 x 3 x 1, 7 x 2 x 1, and 11 x 1 x 1 требуется сорок шесть кубов.

Определим C(n) как число прямоугольных параллелепипедов, содержащих n кубов на любом из своих слоев. Таким образом, C(22) = 2, C(46) = 4, C(78) = 5, and C(118) = 8.

Оказывается, что 154 – наименьшее значение n, при котором C(n) = 10.

Найти наименьшее значение n, при котором C(n) = 1000.

Радикалом числа n, rad(n), называют произведение простых множителей этого числа n. К примеру, 504 = 2³ 3² 7, так что rad(504) = 2 3 7 = 42.

Определим тройку положительных целых чисел (a, b, c) как abc-совпадение, если:

1. НОД(a, b) = НОД(a, c) = НОД(b, c) = 1
2. a b
3. a + b = c
4. rad(abc) c

К примеру, (5, 27, 32) является abc-совпадением, т.к.:

1. НОД(5, 27) = НОД(5, 32) = НОД(27, 32) = 1
2. 5 27
3. 5 + 27 = 32
4. rad(4320) = 30 32

Оказывается, что abc-совпадения достаточно редки и существует всего тридцать одно abc-совпадение при значениях c 1000, таких, что c = 12523.

Найти c при c 120000.

Примечание: Данная задача была недавно изменена, убедитесь в том, что Вы используете верные параметры.

Шестиугольная плитка с номером 1 окружена кольцом из шести других шестиугольных плиток, которые нумеруются от 2 до 7 против часовой стрелки, начиная с плитки в "12 o'clock".

Новые кольца из плиток, которые добавляются по тому же принципу, нумеруются числами от 8 до 19, от 20 до 37, от 38 до 61, и т.д. На рисунке ниже показаны первые 3 кольца.

Найдем разности между плиткой n и каждой из шести соседних плиток, и определим PD(n) как число разностей, являющихся простыми числами.

К примеру, идя по часовой стрелке вокруг плитки 8, разности равны: 12, 29, 11, 6, 1 и 13. Таким образом, PD(8) = 3.

Подобным образом, разности вокруг плитки 17 равны: 1, 17, 16, 1, 11, и 10, так что PD(17) = 2.

Можно показать, что максимальное значение PD(n) = 3.

Если записать все номера плиток, для которых PD(n) = 3, в возрастающем порядке, формируя последовательность, то 10-й член этой последовательности будет 271.

Найти 2000-ую плитку в этой последовательности.

Число, полностью состоящее из единиц называется репьюнитом. Определим R(k) как репьюнит длиной k; к примеру, R(6) = 111111.

Дано, что n – положительное целое число, а НОД(n, 10) = 1. Можно показать, что всегда существует такое значение k, для которого R(k) делится нацело на n. Пусть A(n) будет наименьшим таким значением k; к примеру, A(7) = 6 и A(41) = 5.

Наименьшее значение n, при котором A(n) впервые превышает десять, равно 17.

Найти наименьшее значение n, при котором A(n) впервые превысит один миллион.

Число, полностью состоящее из единиц называется репьюнитом. Определим R(k) как репьюнит длиной k; к примеру, R(6) = 111111.

Дано, что n – положительное целое число, а НОД(n, 10) = 1. Можно показать, что всегда существует такое значение k, для которого R(k) делится нацело на n. Пусть A(n) будет наименьшим таким значением k; к примеру, A(7) = 6 and A(41) = 5.

Известно, что для всех простых чисел p 5, число p 1 делится на A(p) без остатка. К примеру, при p = 41, A(41) = 5, а 40 делится на 5 без остатка.

В то же время, существуют редкие составные числа, которые также подчиняются этому правилу; пример первых пяти чисел: 91, 259, 451, 481 и 703.

Найти сумму первых двадцати пяти составных чисел n для которых
НОД(n, 10) = 1, а n 1 делится на A(n) без остатка.

Для некоторых простых чисел p существуют такие целые положительные числа n, что выражение n³ + n²p становится идеальным кубом.

К примеру, при p = 19, 8³ + 8²19 = 12³.

Наиболее поразителен тот факт, что для каждого простого числа, обладающего таким свойством, существует уникальное значение n, а самих таких простых чисел в первой сотне всего четыре.

Сколько простых чисел, меньших миллиона, обладает этим замечательным свойством?

Число, полностью состоящее из единиц называется репьюнитом. Определим R(k) как репьюнит длиной k.

К примеру, R(10) = 1111111111 = 11412719091. Сумма этих простых множителей равна 9414.

Найти сумму первых сорока простых множителей R(10⁹).

Число, полностью состоящее из единиц называется репьюнитом. Определим R(k) как репьюнит длиной k; к примеру, R(6) = 111111.

Рассмотрим репьюниты вида R(10ⁿ).

Несмотря на то, что R(10), R(100), или R(1000) не делятся нацело на 17, R(10000) делится на 17 без остатка. Однако, нет такого значения n при котором R(10ⁿ) будет делиться на 19 нацело. К слову, отличительный факт, что числа 11, 17, 41 и 73 являются единственными простыми числами в первой сотне, которые вообще могут быть простыми множителями R(10ⁿ).

Найти сумму всех простых чисел, меньших чем одна тысяча, которые не могут быть простыми множителями ни для какого R(10ⁿ).

Рассмотрим последовательные простые числа p₁ = 19 и p₂ = 23. Можно доказать, что 1219 является наименьшим числом, которое содержит число p₁ в своих последних цифрах, и в то же время делится на p₂.

К слову, за исключением пары p₁ = 3 и p₂ = 5, для каждой пары последовательных простых чисел, таких, что p₂ p₁, существуют такие значения n, у которых последние цифры совпадают с числом p₁, и, в то же время, число n делится на p₂ без остатка. Пусть S – наименьшее из таких значений n.

Найти S для каждой пары последовательных простых чисел при 5 p₁ 1000000.

Дано, что положительные целые числа x, y, z – последовательные члены арифметической прогрессии. Наименьшее положительное целое число n, при котором уравнение x² y² z² = n имеет 2 решения, составляет n = 27:

34² 27² 20² = 12² 9² 6² = 27

Оказывается, что n = 1155 – наименьшее значение, при котором уравнение имеет ровно десять решений.

При скольких значениях n, меньших одного миллиона, уравнение имеет ровно десять отличных решений?

Положительные целые числа x, y, z являются членами арифметической прогрессии, а n – положительное целое число. Уравнение x² y² z² = n имеет ровно одно решение при n = 20:

13² 10² 7² = 20

Между прочим, существует двадцать пять значений n, меньших ста, при которых уравнение имеет единственное решение.

При скольких значениях n, меньших пятидесяти миллионов, уравнение имеет ровно одно решение?

Рассмотрим бесконечный полиномиальный ряд A_F(x) = xF₁ + x²F₂ + x³F₃ + ..., где F_k - k-ый член последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ; Т.е., F_k = F_k1 + F_k2, F₁ = 1 и F₂ = 1.

В данной задаче нас интересуют такие значения x, при которых A_F(x) является положительным целым числом.

Удивительно, но AF(1/2)	=	(1/2).1 + (1/2)2.1 + (1/2)3.2 + (1/2)4.3 + (1/2)5.5 + ...
	=	1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ...
	=	2

Соответствующие значения x для первых пяти натуральных чисел приведены в таблице ниже.

x	AF(x)
21	1
1/2	2
(132)/3	3
(895)/8	4
(343)/5	5

Если x - рациональное число, то будем называть A_F(x) золотым слитком, т.к. такие значения встречаются все реже и реже; так, например, 10-й золотой слиток равен 74049690.

Найдите 15-й золотой слиток.

Рассмотрим равнобедренный треугольник с длиной основания b = 16 и длиной боковой стороны L = 17.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно заметить что высота такого треугольника h = (17² 8²) = 15, что на единицу меньше длины основания.

With b = 272 and L = 305, we get h = 273, что на единицу больше длины основания, и это второй наименьший треугольник со свойством h = b 1.

Найдите L для двенадцати наименьших равнобедренных треугольников обладающих свойством h = b 1, где b и L - положительные целые числа.

Пусть числами (a, b, c) представлены три стороны прямоугольного треугольника с целыми сторонами. Объединив четыре такие треугольника, можно получить квадрат с длиной стороны c.

К примеру, треугольники (3, 4, 5) можно совместить, тем самым образовав квадрат со стороной 5 и прорезью размерами 1 на 1 в его середине. Нетрудно подсчитать, что квадрат со стороной 5 можно покрыть двадцатью пятью квадратными плитками со стороной 1.

В то же время, если воспользоваться треугольниками (5, 12, 13), размеры прорези составят 7 на 7, и квадратной плиткой с такой стороной не получится покрыть квадрат со стороной 13.

Дано, что периметр прямоугольного треугольника меньше ста миллионов. У скольких Пифагоровых треугольников возможно покрытие квадратной плиткой, площадь которой равна площади прорези в образованном квадрате?

Рассмотрим бесконечный полиномиальный ряд A_G(x) = xG₁ + x²G₂ + x³G₃ + ..., где G_k - k-ый член рекуррентного соотношения второго порядка G_k = G_k1 + G_k2, G₁ = 1 и G₂ = 4; т.е. 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... .

В данной задаче нас интересуют такие значения x, при которых A_G(x) является положительным целым числом.

Соответствующие значения x для первых пяти натуральных чисел приведены в таблице ниже.

x	AG(x)
(51)/4	1
2/5	2
(222)/6	3
(1375)/14	4
1/2	5

Если x - рациональное число, то будем называть A_G(x) золотым слитком, т.к. такие значения встречаются все реже и реже; так, например, 20-й золотой слиток равен 211345365.

Найдите сумму первых тридцати золотых слитков.

Положительное целое число n делится на d, при этом частное и остаток равны q и r, соответственно. Помимо этого, числа d, q и r являются положительными целыми числами, которые следуют друг за другом и образуют геометрическую прогрессию (не обязательно в таком же порядке).

К примеру, при делении 58 на 6 получено частное 9 и остаток 4. Несложно заметить и то, что числа 4, 6, 9 следуют в порядке возрастания и являются членами геометрической прогрессииare consecutive terms in a geometric sequence (знаменатель прогрессии 3/2).
Такие числа n будем называть прогрессирующими.

Некоторые прогрессирующие числа, такие как 9 и 10404 = 102² также являются идеальными квадратами.
Сумма всех прогрессирующих идеальных квадратов меньших сотни равна 124657.

Найдите сумму всех прогрессирующих идеальных квадратов меньших одного триллиона (10¹²).

Найдите наименьшее x + y + z с целыми числами x y z 0 такими, что x + y, x y, x + z, x z, y + z, y z все являются квадратами целых чисел.

Пусть АBC - треугольник с углами, не превышающими 120 градусов. Пусть X - любая точка, лежащая в треугольнике, такая что XA = p, XB = q, and XC = r.

Фермат поспорил с Торричелли, сможет ли тот найти такое положение точки Х, чтобы сумма p + q + r была минимальной.

Торричелли смог доказать, что если построить на каждой из сторон треугольника АВС по равностороннему треугольнику - AOB, BNC и AMC, то описанные окружности, проведенные вокруг каждого из этих равносторонних треугольников пересекутся в одной точке Т, расположенной внутри треугольника. Более того, он доказал, что в точке Т, названной точкой Торричелли/Фермата, сумма p + q + r минимальна. Еще более выдающимся фактом является то, что можно доказать справедливость равенства AN = BM = CO = p + q + r, причем AN, BM и CO также пересекаются в точке Т.

Если эта сумма минимальна, а также если все числа a, b, c, p, q и r являются положительными и целыми, то такой треугольник АВС будем называть треугольником Торричелли. К примеру, a = 399, b = 455, c = 511 является примером треугольника Торричелли, у которого p + q + r = 784.

Найдите сумму всех отличных друг от друга значений p + q + r 120000 в треугольниках Торричелли.

Примечание: Данная задача недавно была изменена, убедитесь в том, что Вы используете верные параметры.

В лазерной физике под "белой камерой" подразумевают систему зеркал, которая действует подобно линии задержки для лазерного луча. Луч входит в камеру, "скажет" по ней, отражаясь от зеркал, и, в конце концов, находит выход из неё.

Специфической белой камерой будем считать эллипс, уравнение которого имеет следующий вид: 4x² + y² = 100

Чтобы луч мог попасть в белую камеру (и выйти из нее), верхняя часть эллипса 0.01 x +0.01 удалена.

В данной задаче, световой луч начинает движение в точке (0.0,10.1) снаружи белой камеры, а первое отражение от зеркала происходит в точке (1.4,-9.6).

Каждый раз, когда лазерный луч достигает поверхность эллипса, он меняет направление согласно закону отражения: "угол падения равен углу отражения". Т.е. и падающий луч, и отраженный луч образуют одинаковые углы с нормалью к плоскости зеркала в точке падения луча.

На рисунке слева красной линией показаны первые два падения лазерного луча на стенки белой камеры; синей линией показана касательная к эллипсу в первой точке падения луча.

Наклон m этой касательной линии в любой точке данного эллипса равен: m = 4x/y.

Нормаль, проведенная к точке падения луча, перпендикулярна касательной.

Анимация справа показывает первые 10 отражений лазерного луча.

Сколько раз лазерный луч ударится об внутреннюю стенку белой камеры перед тем кам выйдет из нее?

Некоторые положительные целые числа n обладают свойством: сумма [ n + перевернутое(n) ] состоит исключительно из нечетных (десятичных) цифр. К примеру, 36 + 63 = 99 и 409 + 904 = 1313. Такие числа будем называть переворачиваемыми; так что 36, 63, 409, и 904 являются переворачиваемыми. Ни n, ни перевернутое(n) не могут начинаться с нулей.

В пределах одной тысячи существует 120 переворачиваемых чисел.

Сколько переворачиваемых чисел существует в пределах одного миллиарда (10⁹)?

Наименьшее положительное целое число n, для которого числа n²+1, n²+3, n²+7, n²+9, n²+13, и n²+27 являются возрастающими простыми числами, равно 10. Сумма всех таких чисел n, не превышающих один миллион, равна 1242490.

Какова сумма всех таких целых чисел n в пределах 150 миллионов?

В сетчатую решетку 3x2 всего можно вместить 37 различных прямоугольников, как это показано на эскизе ниже.

Есть еще 5 решеток, которые меньше решетки 3x2, при этом учитывается различие между вертикальным и горизонтальным измерением, т.е.: 1x1, 2x1, 3x1, 1x2 и 2x2. Если каждая из таких решеток является сетчатой, то следующее число прямоугольников можно вместить в каждую из этих меньших решеток:

1x1: 1
2x1: 4
3x1: 8
1x2: 4
2x2: 18

Добавив все эти значения к имеющимся 37, полученным решеткой 3х2, в итоге получим 72 различных прямоугольника, которые можно вместить в решетки, размеры которых не превышают 3x2.

Сколько различных прямоугольников можно вместить в решетки, размеры которых не превышают 47x43?

Можно легко показать, что ни одно из чисел в первых семи рядах треугольника Паскаля не делится на 7:

Однако, если мы проверим первые сто рядов, то обнаружим, что только 2361 из 5050 чисел не делятся на 7.

Найдите количество чисел, которые не делятся на 7, в первом миллиарде (10⁹) рядов треугольника Паскаля.

Бросив взгляд в таблицу ниже, легко убедиться в том, что максимально возможная сумма соседних чисел в любом направлении (горизонтальном, вертикальном, диагональном и анти-диагональном) равна 16 (= 8 + 7 + 1).

2	5	3	2
9	6	5	1
3	2	7	3
1	8	4	8

Теперь, давайте повторим поиск, но на этот раз в гораздо более крупных масштабах:

Для начала, сгенерируем четыре миллиона псевдо-случайных чисел с помощью особой формы, того, что известно под названием "Запаздывающий Генератор Фибоначчи":

Для 1 k 55, s_k = [100003 200003k + 300007k³] (modulo 1000000) 500000.
Для 56 k 4000000, s_k = [s_k24 + s_k55 + 1000000] (modulo 1000000) 500000.

Таким образом, s₁₀ = 393027 и s₁₀₀ = 86613.

Затем члены s упорядочиваются в виде таблицы размерами 20002000, при этом первыми 2000 числами заполняется первая строка, следущими 2000 числами - вторая строка, и т.д.

Наконец, найдите наибольшую сумму (любого числа) соседних записей по любому направления (по горизонтали, по вертикали, по диагонали или по анти-диагонали).

В треугольном массиве положительных и отрицательных целых чисел мы хотим найти под-треугольник, такой чтобы сумма всех чисел, из которых он состоит, была по возможности меньшей.

В примере ниже отчетливо видно, что выделенный треугольник удовлетворяет условию, т.к. его сумма равна 42.

Мы собираемся сделать такой треугольный массив с одной тысячью строк, так что нам необходимо сгенерировать 500500 псевдо-случайных числа s_k в диапазоне 2¹⁹, воспользовавшись определнным типом генератора случайных чисел (известен как Линейный Конгруэнтный Генератор) следующим образом:

t := 0
при k = 1 до k = 500500:
    t := (615949*t + 797807) modulo 2²⁰
    s_k := t2¹⁹

Таким образом: s₁ = 273519, s₂ = 153582, s₃ = 450905 и.т.д.

В таком случае, наш треугольный массив формируется из псевдо-случайных чисел следующим образом:

s₁
s₂  s₃
s₄  s₅  s₆ 
s₇  s₈  s₉  s₁₀
...

Под-треугольники можно начинать с любого элемента массива и продолжать их вниз настолько, насколько это необходимо (выбирая два элемента на следующей строке, три элемента на идущей через одну строке и.т.д.).
"Сумма под-треугольника" определяется как сумма всех его элементов.
Найдите наименьшую возможную сумму под-треугольника.

Типография выполняет 16 заданий каждую неделю, для каждой задачи требуется лист специальной бумаги формата A5.

Каждый понедельник старший работник открывает новый конверт, содержащий большой лист специальной бумаги формата A1.

Далее он разрезает его пополам, получая два листа формата A2. Потом он разрезает один из них пополам на два листа формата A3, и так далее до тех пор, пока он не получит лист формата A5, необходимый для первого задания на этой неделе.

Все неиспользованные листы складываются обратно в конверт.

В начале каждой последующей задачи он берет из конверта случайный кусок бумаги. Если он имеет формат A5, его тут же используют. Если он больше, то работник снова режет его пополам, пока не получит то, что нужно, а все оставшиеся листы всегда складывает обратно в конверт.

Исключая первое и последнее задание на неделе, найдите ожидаемое количество раз (в течение недели), которое старший работник обнаруживает в конверте всего один лист бумаги.

Дайте ответ, округленный до шестого знака после запятой (x.xxxxxx) .

Существует несколько путей, как записать число 1/2 как сумму обратных квадратов разных целых чисел.

Например, могут быть использованы числа {2,3,4,5,7,12,15,20,28,35}:

Вообще, используя только целые числа от 2 до 45 включительно, существует ровно три способа это сделать. Другие два: {2,3,4,6,7,9,10,20,28,35,36,45} и {2,3,4,6,7,9,12,15,28,30,35,36,45}.

Сколькими способами можно записать число 1/2 как сумму обратных квадартов различных целых чисел от 2 до 80 включительно?

Как известно, уравнение x²=-1 не имеет решений в области действительных значений x.
Однако, если ввести мнимое число i, то у такого уравнения будет два решения: x=i и x=-i.
Если продолжить, то уравнение (x-3)²=-4 имеет два комплексных решения: x=3+2i и x=3-2i.
x=3+2i и x=3-2i, которые называют сопряженными друг другу.
Числа вида a+bi принято называть комплексными числами.
В общем случае, числа a+bi и abi являются комплексно-сопряженными.

Число Гаусса - это такое комплексное число a+bi, для которого a и b являются целыми числами.
Правильные числа также являются числами Гаусса (при b=0).
Для того чтобы отличить такие числа от целых Гауссовых чисел, у которых b 0, будем называть их "рациональными целыми числами."
Целое число Гаусса называют делителем рационального целого числа, если результат деления также будет целым Гауссовым числом.
К примеру, если мы разделим 5 на 1+2i, то полученное выражение можно упростить следующим способом:
Домножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряженное значение числа 1+2i: 12i.
Получим .
Таким образом, 1+2i является делителем числа 5.
Обратите внимание, что 1+i не является делителем числа 5, поскольку .
Также отметим: если целое число Гаусса (a+bi) является делителем рационального целого числа n, то комплексно-сопряженное ему число (abi) также будет являться делителем n.

Между прочим, для числа 5 существует 6 делителей с положительной вещественной частью: {1, 1 + 2i, 1 2i, 2 + i, 2 i, 5}.
Ниже приведена таблица всех делителей для первых пяти положительных рациональных целых чисел:

В таком случае, для делителей с положительными вещественными частями, мы можем найти следующую сумму: .

При 1 n 10⁵, s(n)=17924657155.

Чему равна сумма s(n), если 1 n 10⁸?

Треугольная пирамида составлена из шаров таким образом, что каждый шар лежит ровно на трех шарах нижнего уровня.

Итак, рассчитаем количество путей, ведущих из вершины к каждому шару:

Каждый путь начинается в вершине и следует вниз к одному из трех шаров, находящихся под текущим положением.

В результате выходит, что количество путей до определенного шара равно сумме чисел, находящихся над ним (в зависимости от положения, над ним может находиться до трех чисел).

Таким образом получаем пирамиду Паскаля, а числа на каждом уровне n равны коэффициентам разложения трехчлена (x + y + z)ⁿ.

Сколько коэффициентов разложения (x + y + z)²⁰⁰⁰⁰⁰ делятся на 10¹²?

Электронная схема состоит исключительно из одинаковых конденсаторов одинаковой емкости C.
Конденсаторы можно соединять как последовательно, таки параллельно, получая, таким образом, блоки, которые можно также соединять либо последовательно, либо параллельно, тем самым образуя более сложные блоки. Процесс повторяется до получения конечной схемы.

С помощью такой простой процедуры, используя до n одинаковых конденсаторов, мы можем создать ряд схем с различными конечными емкостями. К примеру, используя до n=3 конденсаторов ёмкостью 60 мкФ, можно получить 7 различных значений емкости:

Если это число различных значений емкости обозначить как D(n), в соответствии с описанной выше процедурой, можно найти: D(1)=1, D(2)=3, D(3)=7 ...

Найдите D(18).

Напоминание: При параллельном соединении конденсаторов C₁, C₂ и.т.д., их общая емкость равна C_Т = C₁ + C₂ +...,
, в свою очередь, при последовательном соединении, общая емкость равна:

Начиная с нуля, натуральные числа записываются в основании 10 следующим способом:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12....

Рассмотрим цифру d=1. После того, как мы запишем каждое из n чисел, мы обновляем счетчик единиц, и полученное значение обозначаем через f(n,1). В таком случае, первые значенияf(n,1) будут следующими:

Заметим, что f(n,1) никогда не принимает значение 3.
Таким образом, первыми двумя решениями уравнения f(n,1)=n будут n=0 иn=1. Следующее решение равно n=199981.

Аналогичным образом, значение функции f(n,d) равно числу встретившихся цифр d, при записи всех целых чисел от 0 до n.
Между прочим, для каждой цифры d 0, первое решение уравнения f (n,d)=n равно 0.

Пусть s(d) является суммой всех решений, для которых f(n,d) =n.
Известно, что s(1)=22786974071.

Найдите s(d), где 1 d 9.

Примечание: если, для некоторых значений n, функция f(n,d)=n при более, чем одном значении d, то полученное значение n прибавляется вновь при каждой цифре d, для которой f(n,d)=n.

Рассмотрим уравнение Диофанта ¹/_a+¹/_b= ^p/_10ⁿ, где a, b, p, n - положительные целые числа, притом a b.
При n=1, у этого уравнения 20 корней, которые перечислены ниже:

1/1+1/1=20/10	1/1+1/2=15/10	1/1+1/5=12/10	1/1+1/10=11/10	1/2+1/2=10/10
1/2+1/5=7/10	1/2+1/10=6/10	1/3+1/6=5/10	1/3+1/15=4/10	1/4+1/4=5/10
1/4+1/20=3/10	1/5+1/5=4/10	1/5+1/10=3/10	1/6+1/30=2/10	1/10+1/10=2/10
1/11+1/110=1/10	1/12+1/60=1/10	1/14+1/35=1/10	1/15+1/30=1/10	1/20+1/20=1/10